3. 3. Непрерывность числовой оси

Определение 1. Числовой осью называется прямая с выбранным на ней началом отсчёта, масштабом и направлением.

Теорема 1. Между точками числовой оси и действительными числами существует одно-однозначное соответствие (биекция).

Необходимость. Покажем, что каждой точке числовой оси соответствует действительное число. Для этого отложим масштабный отрезок единичной длины

раз так, что точка будет лежать левее точки , а точка уже правее. Далее отрезок поделим на частей и отложим отрезок и раз так, что точка будет лежать левее точки , а точка уже правее. Таким образом, на каждом этапе число , … Если эта процедура закончится на каком-то этапе, мы получим число (координату точки на числовой оси). Если нет, то назовём левую границу любого интервала «числом с недостатком», а правую – «числом с избытком», или «приближением числа с недостатком или избытком», а само число будет бесконечной непериодической (почему?) десятичной дробью. Можно показать, что все операции с рациональными приближениями иррационального числа определяются однозначно.

Достаточность. Покажем, что любому действительному числу соответствует единственная точка числовой оси. 

Определение 2. Если , то числовой промежуток называют сегментом, если , то числовой промежуток называют интервалом, если , то числовой промежуток называют полуинтервалом.

Определение 3. Если в сегмент вложены сегменты   так, что , а , то такая система называется СВС (системой вложенных сегментов).

Определение 4. Говорят, что (длина сегмента стремится к нулю, при условии, что ), если .

Определение 5. СВС, у которой называется ССС (системой стягивающих сегментов).

Аксиома Кантора-Дедекинда: В любой СВС существует хоть одна точка, принадлежащая всем им сразу.

Так как рациональные приближения числа можно изобразить системой стягивающихся сегментов, то рациональному числу будет соответствовать единственная точка числовой оси, если в системе стягивающих сегментов будет единственная точка, принадлежащая всем им сразу (теорема Кантора). Покажем это от противного.

. Пусть и две такие точки, причём , . Так как, , то . Но, с другой стороны, , а, т.е. начиная с некоторого номера , будет меньше любой константы. Это противоречие и доказывает требуемое. ■

Таким образом, мы показали, что числовая ось непрерывна (не имеет «дырок») и больше никаких чисел на ней разместить нельзя. Однако, мы по-прежнему не умеем извлекать корни из любых действительных чисел (в частности из отрицательных) и не умеем решать уравнения типа . В п.5 мы займемся решением этой проблемы.

3. 4. Теория граней

Определение 1. Множество ограничено сверху (снизу), если существует число , такое что . Число называется верхней (нижней) гранью.

Определение 2. Множество ограниченно, если оно ограниченно и сверху, и снизу.

Определение 3. Точной верхней гранью ограниченного сверху множества действительных чисел называется :

(т.е. – одна из верхних граней);

(т.е. – несдвигаемая).

Замечание. Точная верхняя грань (ТВГ) числового множества обозначается (от лат. supremum - самый малый из больших).

Замечание. Соответствующее определение для ТНГ (точной нижней грани) дать самостоятельно. ТНГ числового множества обозначается (от лат. infinum - наибольший из меньших).

Замечание. может принадлежать , а может, и нет. Число есть ТВГ множества отрицательных действительных чисел, и ТНГ множества положительных действительных чисел, но не принадлежит ни тем, ни другим. Число есть ТНГ множества натуральных чисел и относится к ним.

Возникает вопрос: любое ли ограниченное множество имеет точные границы и сколько их?

Теорема 1. Любое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет единственную ТВГ. (аналогично теорему для ТНГ сформулировать и доказать самостоятельно).

Конструкция. Множество непустое, ограниченное сверху множество действительных чисел. Тогда и . Разделим отрезок

пополам и назовём отрезком тот из них, который обладает следующими свойствами:

отрезок содержит хоть одну точку . (например, точку );

всё множество лежит левее точки , т.е. .

Продолжив эту процедуру, получим ССС . Таким образом, по теореме Кантора существует и единственна точка , принадлежащая всем сегментам сразу. Покажем, что .

Покажем, что (т.е. – одна из граней). Предположим противное, что . Так как , то как только , , т.е. , т.е. . По правилу выбора точек , точка всегда левее , т.е. , следовательно, и . Но выбирается так, что все , а , т.е. и . Это противоречие доказывает эту часть теоремы.

Покажем несдвигаемость , т.е. . Зафиксируем и найдём номер . В соответствии с правилом 1 выбора отрезков . Мы только что показали, что , т.е. , или . Таким образом , или . ■