Порядковая (ранговая) шкала

В этом случае на исходном множестве состояний (и в множестве их обозначений) можно определить отношение порядка (строгого или нестрогого). Это подразумевает выполнение аксиом:

для строгого порядка:

1. транзитивность: (x>y)&(y>z)  x>z x,y,zA,

2. антирефлексивность: если x>y, тоxyx,yA;

для нестрогого порядка:

1. рефлексивность: xxxA,

2. транзитивность: (xy)&(yz)  xzx,y,zA,

3. антисимметричность: (xy)&(yx) x=y.

Если имеются несравнимые пары, то есть такие пары (x,y)x,yA, для которых не выполняются ниx>yниy>x, то такое отношение > называется отношением частичного порядка. Если же все пары сравнимы, то такое отношение называется полным или линейным порядком.

Примеры измерений в ранговой шкале:

• шкала силы ветра по Бофорту (0 – штиль,..., 4 – умеренный ветер,  ... 6 – сильный ветер, ... 10 – шторм, буря, ... 12 – ураган);

• 12‑балльная шкала магнитуд землетрясений по Рихтеру;

• шкала твердости по Моосу (1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз);

• балльные оценки знаний учащихся, спортсменов;

• результаты соревнований и конкурсов в виде занятого места.

Допустимые операции: непосредственно над результатами измерений можно выполнять, кроме операции сравнения_ij, только операцию определения ранга i‑го элемента R_i. Ранг –  это некоторая функция на множествеA, которая характеризует, насколько далеко от начала стоит i‑й элемент, если все множество выстроить «в очередь» в порядке возрастания элементов. Ранговую функцию можно построить, например, так:

,

где С() – функция‑индикатор положительных чисел

Числа _ijиR_iуже можно обрабатывать с помощью определенных статистических процедур: находить медиану выборки³, вычислять коэффициенты ранговой корреляции и т.п.

Интервальная шкала

Здесь вводится метрика(расстояние) между различными состояниями. Метрика – это функция двух аргументов(x,y), которая каждой паре элементов произвольного множестваAставит в соответствие вещественное число – расстояние. Другими словами, метрика отображает множество пар элементов на множество вещественных чиселAAR₊, при этом выполняются аксиомы метрики:

1) (x,y)=0 тогда и только тогда, когдаx=y,

2) (x,y)+(y,z)(x,z)x,y,zA(неравенство треугольника).

Из этих аксиом непосредственно следует, что

(x,y)0,

(x,y) = (y,x).

Расстояния могут выражаться в произвольных, но постоянных в пределах всей шкалы единицах. Поэтому длина интервала не зависит от его положения. Именно длина(интервала) является инвариантом в интервальных шкалах.

Для однозначного задания интервальной шкалы нужно зафиксировать два эталона: единицу измерения и начало отсчета. Результаты x,yизмерения одного и того же объекта, но вразныхинтервальных шкалах связаны между собой линейным преобразованиемy= ax+ b.

Примеры: температура в шкалах Цельсия и Фаренгейта (F = (5/9)C + 32), календарное время (разные календари), высота и расстояние на местности, электрическое напряжение (разность потенциалов), уровень мощности сигналов в децибелах.

Допустимые операции: единственная допустимая операция непосредственно над результатами – определение интервала. Над величиной интервала уже можно осуществлять произвольную арифметическую и другую обработку. Для интервальной шкалы не имеет смысла относительная погрешность результата измерения (хотя приведенная может быть определена корректно)! Например, фраза «результат измерения температуры равен 20C с относительной погрешностью 5%» является бессмысленной.