Основные результаты теории сигналов
С точки зрения системного анализа наибольшее значение, среди множества других, имеют два фундаментальных результата теории сигналов: принцип частотно-временной неопределенностии возможностьоднозначного представления непрерывных сигналов с финитным спектром дискретнымисигналами.
Оба результата базируются на частотном представлении сигналов (в том числе и случайных процессов). Переход в частотную область представления основан на преобразовании Фурье с гармоническим ядром.
Спектральная плотность X(ω) связана с сигналом x(t) парой прямого и обратного преобразований Фурье:
пишем x(t) X(ω), если
;
где ω = 2πf –круговая частота (рад/с), f– циклическая частота (Гц),j– мнимая единица.
Энергетический спектр сигнала x(t):
Полная энергия сигнала X(t) (равенство Парсеваля)
Принцип частотно-временной неопределенности
Длительность T (ширина спектра F) сигнала – это интервал времени (полоса частот), за пределами которого значения сигнала (спектральной плотности) всюду равны нулю.
Сигнал с ограниченной длительностью имеет спектр неограниченной ширины и, наоборот, сигнал с ограниченным спектром имеет неограниченную длительность:
если T- конечно, тоF=∞,
если F- конечно, тоT = ∞.
Это не является свойством сигналов, а следует из свойств преобразования Фурье. В частности, для этого принципа ключевым является свойство изменения масштаба аргумента:
если
x(t)↔X(ω),
то
Практическая(эффективная, энергетическая) длительностьTп(ширина спектраFп, Ωп) – это область значений времени (частот), в которой сосредоточена некоторая доля kвсей энергииEсигналаx(t).
Обычно k= 0,9 ... 0,99.
Принцип частотно-временной неопределенности (формулировка)
FпTп≥ CилиFп~ (Tп)-1,
где C -некоторая константа, зависящая только от формы сигнала, в приближенных оценках можно принять C= 1.
Следствия:
– короткий импульс обязательно имеет широкий спектр;
– узкополосный сигнал обязательно имеет большую длительность.
Дискретное представление непрерывных сигналов
Теорема(Шеннона–Котельникова): Сигнал со спектром, ограниченным полосой F,может бытьоднозначновосстановлен (с помощью идеального ФНЧ), если шаг дискретизации по времени Δtудовлетворяет условию:
Частота FN= 2Fназывается частотой Найквиста.
Следствия:
– непрерывные сигналы с финитным спектром на конечном интервале времени содержат конечное количество информации;
– сигнал с финитным спектром может быть однозначно заменен дискретным и, с известной точностью, цифровым сигналом;
– равномерная дискретизация сигналов с нефинитным спектром всегда приводит к необратимым потерям информации (эффекты наложения и подмены или мимикрии частот);
– если сигнал с финитным спектром зашумлен широкополосным шумом, то для устранения эффектов наложения и подмены частот перед дискретизацией нужна низкочастотная (или полосовая) фильтрация непрерывного сигнала (противоподменный или преддискретизационный фильтр).
К задаче выбора частоты дискретизации
Поскольку в общем случае условия безошибочного представления непрерывного сигнала дискретным строго не выполняются, возникает задача выбора такой частоты дискретизации, при которой погрешность от такой замены не превышает заданной величины. Общая схема определения погрешности в этом случае показана на Рис. 18.
Данная схема в чистом виде дает четкую методику определения сигнала ошибки ε(t) только при однозначно известном входном сигналеxн(t). Однако на практике такая постановка задачи редко когда имеет практический смысл: зачем создавать устройство для обработки заранее известного сигнала? С другой стороны, если о входном сигнале вовсе ничего не известно, то и о погрешности мало что можно сказать вполне определенного и, значит, в расчете на наихудший случай можно только сказать, что ее величина может быть любой, вплоть до бесконечности. Более точно: в множестве сигналов найдется такой сигнал (функция), для которого сигнал погрешности ε(t) может достигать сколь угодно больших значений.
Наличие априорных сведений (информации) о входных сигналах часто позволяет сузить множество возможных входных сигналов. Уже для этого подмножества допустимых сигналов можно найти границы, в которых будет находиться погрешность.
Рис. 18. Схема определения погрешности при замене непрерывной модели дискретной
В зависимости от того, какая априорная информация о входном сигнале известна и принимается к сведению, какаяметрика(функция расстояния ρ(yн, y~) в пространстве сигналов) используется для оценки погрешности, а также в каких терминах осуществляетсяописание постановки и решения задачи обработки сигналов (или моделирования), можно выделить три основных направления:
– использование динамических свойств сигналов (модель сигнала с ограниченными производными, предельные значения производныхMn, аппроксимация решения степенными полиномами, максимальная оценка погрешности);
– использование частотных свойств сигналов (модель сигнала с финитным спектром, ширина спектраΔF, описание обработки в терминах фильтрации, линейных динамических систем, энергетическая оценка погрешности);
– использование статистических свойствсигналов (модель сигнала в виде стационарного случайного процесса с известной автокорреляционной функцией, интервал корреляции, статистическая аппроксимация временных рядов, среднеквадратическая оценка погрешности).
Все три направления имеют глубинные взаимосвязи друг с другом, однако полностью друг к другу не сводятся. Важно только помнить, что каждый подход задает свою систему понятий и следует четко понимать границы их применимости. Например, понятие эффекта наложения спектраявляется атрибутом частотного представления, предполагающего процедуру восстановления с помощью идеального фильтра низких частот (или полосового). Теоретически этот эффект возникает из-за отклонения реальной ситуации от требований теоремы Шеннона–Котельникова. Для учета такого отклонения в итоговой погрешности может быть выделена составляющая, обусловленная наложением спектра.
При описании же процедуры восстановления с помощью степенных интерполяционных полиномов используется временное представление всей задачи, при этом остаточный член ряда Тейлора дает исчерпывающую оценку полной погрешности аппроксимации непрерывного сигнала. В этой ситуации попытка суммировать оценку погрешности восстановления с помощью степенного полинома и оценку погрешности наложения спектра выглядит совершенно абсурдной.Исчезает ли при этом эффект наложения спектров? Это вопрос из числа тех, на которые нет однозначного ответа, по той простой причине, что сам вопрос по своей сути некорректен, так как в нем есть косвенные ссылки на неопределенные понятия. В частности,в каком смысле мы понимаем существование эффекта наложения спектра? При попытке уточнения этого мы не можем не заметить, что понятие спектра и его деформации, вызванные дискретизацией непрерывного сигнала, не являются атрибутами исходной постановки задачи, которую мы сейчас анализируем, а являются атрибутами спектральной (частотной)моделиданной задачи. Эта модель предполагает не только частотное представление входного сигнала, но и (непременно!) представление обработки (более точно - восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам) в частотной области как линейной фильтрации, поскольку в определение погрешности от наложения спектра входит выходной сигнал низкочастотного фильтра.
Отсюда ответ: эффект наложения спектров существует всякий раз, когда мы используемчастотную модельдля представления задачи дискретизации-восстановления и условия теоремы Шеннона–Котельникова нарушены. То естьего существование зависит от нашей точки зрения!!!
В других моделях то же самое отклонение в конечном результатебудет иметьдругое объяснение! Так, в модели интерполяционного многочлена оценка погрешности на основе остаточного члена разложения в степенной ряд будет исчерпывающей. При анализе ситуации, когда в качестве априорной информации о сигнале используются его частотные свойства, а обработка осуществляется в терминах интерполяции, следует привести все к «общему знаменателю»: либо представить степенной интерполятор как цифровой фильтр и тогда вести дальнейший анализ в рамках частотной модели, либо найти эквивалентную (или приближенную) замену известных частотных свойств о сигнале во временную область и вести анализ в терминах временной модели.
При таком приведении к «общему знаменателю» могут (и обычно возникают) специфические погрешности, часто символизирующие некоторый «запас на незнание», размытость ограничений на множество допустимых сигналов и т. п. Их ни в коем случае не следует путать с погрешностями самих моделей, хотя «по внешнему виду» (с точки зрения расчетных формул) они могут быть весьма похожими. Например, погрешность от наложения спектра и погрешность от приближенной замены сигнала с неограниченным спектром на модель с финитным спектром выражаются через один и тот же интеграл от спектральной плотности сигнала. Но это не дает никакого права их отождествлять, хотя изучение вопроса: чем обусловлено такое внешнее сходство, – ведь не случайно же оно – само по себе довольно поучительно.
Информационные характеристики сигналов и основная теорема К. Шеннона о пропускной способности.
Основное открытие в области исследования количественных аспектов информационных процессов состоит в следующем:
Информация(как некий инвариант2при кодировании сообщений)допускает количественную оценку.
Существует несколько подходов (весьма близких) к определению количественной меры информации:
логарифмическая мера Хартли (1928);
статистическая (энтропийная) мера К. Шеннона (1948);
алгоритмическая мера А.Н.Колмогорова (1965).
В теории связи наибольшее значение имеет шенноновская мера информации, на базе которой строится теория помехоустойчивости и теория кодирования. К. Шеннон называл свою теорию «Математическая теория связи».