БЛОК ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

Блок обработки данных состоит из двух этапов:

-предварительная обработка данных (первичная);

-окончательная обработка данных (вторичная). Цель предварительной обработки данных:

-получить параметры выборки экспериментальных данных из n опытов, получениить эмпирическое среднеквадратическое рассеивание (S) и оценку математического ожидания (Ycp).

-определить выбросы экспериментальных данных, т.е. выявить замеры, которые резко отличаются от общей совокупности, провести их замену или смоделировать;

-определить нормированность распределения экспериментальных данных.

Алгоритм предварительной обработки данных

1. Постановка задачи. Исходные данные.

X – большие, т.к. замеры получаем в конкретных физических единицах (не безразмерные).

Вкаждом эксперименте последовательность опытов (в столбцах) отличается друг от друга и носит рандомизированный характер (случайный). Это делается для снижения монотонного накопления шумовых воздействий.

За счет рандомизации – рассеяние однородное.

ВY – матрице строка является распределением экспериментальных данных, которое может носить и теоретический и экспериментальный характер (эмпирическое распределение дисперсии).

Необходимо определить наличие выбросов аномальных измерений Y, нарушение условий проведения опытов и нормальных распределений данных в каждой строке (Y*м).

2. Этапы предварительной обработки данных.

1). Расчет эмпирических средних по строкам:

Y mj Yjm - построчное среднее m j

Yjm

Y mj N M - среднее по эксперименту

N M

2) Дисперсия воспроизводимости, построчная дисперсия:

При подсчете среднего значения первая степень свободы считается уже использованной,

68

поэтому в знаменателе (m-1).

Эта дисперсия показывает характеристики рассеивания экспериментальных данных в каждом опыте. Чем она меньше, тем меньше влияние побочных эффектов и выше точность оценки выходного параметра. Некоторые физические эксперименты являются не воспроизводимыми, т.е. их повтор невозможен (например, летные испытания на природе).

3) Определение статистической однородности дисперсии воспроизводимости: Статистический нуль → гипотезы → H0

Критерий Фишера:

S 2

SB2(i 1) кр ; i ; i 1

Вкаждой использованной строке считается эмпирическая дисперсия и определяется их соотношение.

H0: Если расчетное значений меньше табличного (определенного по α,νi,νi+1), то считаются дисперсии однородными на заданном уровне вероятности α (α=1-p, где p - вероятность).

Втом случае, если устанавливается неоднородность, то это означает, что в одном из распределений присутствует выброс или при проведении экспериментов не учтен существенный

фактор (либо просто грубая ошибка).

4) Оценка отклонений от среднего: BiF F

H0: V SBi 100% 33%

Yi

Если условие нарушается, то это означает присутствие выброса или неустановленного существенного фактора (например, изменение температуры и давления на улице → в лаборатории).

5) Оценка отклонений среднего по Т-критерию:

t - критерий Стьюдента, используемый для оценки распределения экспериментальных данных при малом количестве измерений.

t определяется по таблице по величине α (достоверности) и количеству экспериментальных данных.

H0: Если экспериментальные данные в первой выборке удовлетворяют значению неравенства, то они считаются однородными и не имеют выбросов.

6) Оценка однородности дисперсии воспроизводимости по x2-критерию:

Дисперсия σi считается по каждому из опытов однородной, если удовлетворяет неравенству, т.е. находится в диапазоне установленным x2-критерием. В противном случае, σi, неудовлетворяет неравенству, считается неоднородной, и в этом опыте необходимо выявить выброс или дополнительное воздействие неучтенных факторов.

7) Проверка нормальности распределения экспериментальных данных по условиям каждого

опыта:

A Aconst , E Econst

Ac 3D( Ai ) Ec 5D(E)i

69

Рис.50. Проверка нормальности

q –число данных в первой выборке

M{Yj} – математическое ожидание истинного значения выходного параметра p – вероятность попадания параметра в интервал

3σ – утроенное значение дисперсии выходного параметра

Значение p может варьироваться в интервале от 0,90 до 0,99. «Хвосты» могут быть тяжелыми и нормальными.

Н0: Ас – ассиметрия. Н0: Ес - эксцентриситет

Ассиметрия рассчитывается по табличным данным (дисперсионная симметрия).

Если первичная обработка данных не устанавливает выбросов и отклонений от нормальности распределения, считается возможным применять на этапе вторичной обработки метод наименьших квадратов для расчета значений коэффициентов регрессионного уравнения.

Если нормированность не устанавливается, то применяется для расчетов bi: обобщенный метод наименьших квадратов; устойчивые методы обработки.

Алгоритм вторичной обработки экспериментальных данных

Входными условиями для этапа вторичной обработки экспериментальных данных по МНК являются: |x|, |y|, N(•) по каждому опыту матрицы Y.

1) Определение коэффициентов регрессионного уравнения:

70

Пример:

2) Определение остаточной дисперсии (S2остаточн.), или дисперсии адекватности(S2ад.):

Sост2 [n q (yjM yjЭ )2] ост1 ,где ост ( qj ) l

либо

71

q, N – количество замеров в первом опыте

l, k – количество коэффициентов регрессионного уравнения Пример Провели полный факторный эксперимент 23.

Число степеней свободы будет

N (k 1) 8 (3 1) 4

3)Определение дисперсии коэффициентов регрессионного уравнения

S02{b0 } c0 Sост2

Si2{bi } ci Sост2

Sij2{bij } cij Sост2

4)Проверка значимости коэффициентов

Можно осуществлять двумя способами: проверкой по t-критерию Стьюдента или построением доверительного интервала. При использовании полного факторного эксперимента доверительные интервалы (в том числе и эффектов взаимодействия) равны друг другу.

Прежде всего надо найти дисперсию коэффициента регрессии S{2b j } . Она определяется по формуле

S 2

S{2bj } N{y} , если параллельные опыты отсутствуют.

Из формулы видно, что дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят от ошибки опыта и числа опытов.

Теперь построим доверительный интервал ( Δbj )

bj tS{bj }

Здесь t – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы, с которыми определялась S{2y} , и выбранном уровне значимости (обычно 0,05); S{b j } - квадратичная ошибка коэффициента регрессии

S{b j } S{2b j }

Формулу для доверительного интервала можно записать в следующей эквивалентной форме:

b tS{bj }

j N

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала. Доверительный интервал задается верхней и нижней границами bj bj и b j bj .

Для отыскания значения t–критерия можно воспользоваться таблицей, фрагмент из которой преведен в табл. 60.4.

Таблица построена следующим образом. Столбцы соответствуют различным степеням свободы и значениям критерия.

Пусть в двух различных случайно оказались два численно равных коэффициента регрессии. Доверительные интервалы для них оказались различными. Из них значим только второй

72