lektsii_141_matan1
.pdfãäå
Mk0 = sup f(x); |
Mk00 = sup |
f(x): |
xk 1 x x |
x x xk |
|
В силу свойства монотонности верхней грани Mk0 |
Mk; Mk00 Mk |
|
è |
|
|
Mk0 (x xk 1) + Mk00(xk x ) Mk[(x xk 1) + (xk x )] = Mk xk:
Так как все другие слагаемые в выражении для верхней суммы сохранятся, то мы доказали, что при добавлении точки x верхняя
сумма может только уменьшиться.
3. 8P1 8P2 s(P1) S(P2): |
|
SP2: |
|
|
то согласно свойствам 1 и 2 |
P = P1 |
|
P1 P; P2 P; |
|
Доказательство. Обозначим |
|
|
Òàê êàê |
|
s(P1) s(P ) S(P ) S(P2)
Следствие. Множество нижних сумм fs(P )g ограничено сверху, а множество верхних сумм fS(P )g ограничено снизу.
4. 8P 8 > 0 9 P 0 S(P ) (P; P ) < (0 (P; P ) s(P ) < ):
Доказательство. Согласно определению верхней грани для любо-
ãî k = 1; : : : ; n 9 k 2 k такое, что
0 Mk f( k) < b a:
Тогда
n |
|
|
|
|
|
n |
X |
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
|
|
||
(Mk f( k)) xk < b |
|
a |
||||
0 S(P ) (P; P ) = |
|
xk = |
||||
k=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
Аналогично доказывается неравенство с нижней суммой.
b a(b a) = :
81
Следствие. Для любого разбиения P
S(P ) = sup (P; P ); s(P ) = inf (P; P ):
p |
p |
|
Определение 8.5. Верхний интеграл Дарбу от функции f определяется равенством
I := inf S(P );
P
нижний интеграл Дарбу -
I := sup s(P ):
P
Заметим, что определение верхнего и нижнего интегралов корректно с силу следствия свойства 3.
Лемма 8.2.1. Справедливо неравенство I I:
Доказательство. Воспользуемся свойством 3 и в неравенстве s(P1) S(P2); зафиксировав разбиение P2; перейдем к верхней грани по всем разбиениям P1: Получим неравенство I S(P2): Осталось перейти к нижней грани по всевозможным разбиениям P2:
Лемма 8.2.2. Пусть разбиение P получено из разбиения P добавлением l новых точек, d- диаметр разбиения P;
M = sup f(x); m = inf f(x):
x2[a;b] |
x2[a;b] |
Тогда |
|
S(P ) S(P ) (M m)ld; |
s(P ) s(P ) (M m)ld: |
Доказательство. Пусть к точкам разбиения P добавлена одна точка x 2 (xk 1; xk): Тогда, используя обозначения из доказательства свойства 2, имеем
S(P ) S(P ) = Mk xk [Mk0 (x xk 1) + Mk00(xk x )]
M xk m[(x xk 1) + (xk x )] = (M m) xk (M m)d:
Остальное очевидно.
82
Определение 8.6. Число A называют пределом верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения d к нулю и обозначают A = lim S(P );
d!0
åñëè
8 > 0 9 > 0 8P (d(P ) < ) jS(P ) Aj < ):
Аналогично определяется lim s(P ):
d!0
Лемма 8.2.3. (Основная лемма Дарбу). Верны равенства
I = lim S(P ); |
I = lim s(P ): |
d!0 |
d!0 |
Доказательство. Докажем первое равенство.
Заметим, что если f(x) = c = const; то для любого разбиения P S(P ) =
= c(b a) = I: Поэтому I = lim S(P ):
d!0 |
|
Если функция f непостоянна, то M = sup f(x) > m = |
inf f(x): |
x2[a;b] |
x2[a;b] |
Возьмем произвольное число > 0: По определению верхнего интеграла найдется разбиение P такое, что S(P ) I < =2: Обозначим через l число точек разбиения P ; не совпадающих с концами отрезка [a; b]:
Пусть теперь P - произвольное разбиение отрезка, диаметр которого удовлетворяет неравенству d < = =[2l(M m)]: Построим разбиение P 0 = P SP : По предыдущей лемме
0 S(P ) S(P 0) (M m)ld < =2:
Òàê êàê P P 0; òî I S(P 0) S(P ); и следовательно,
0 S(P 0) I S(P ) I < =2:
Тогда
0 S(P ) I = (S(P ) S(P 0)) + (S(P 0) I) < =2 + =2 =
для любого разбиения P; диаметр которого d < : То есть I = lim S(P ):
d!0
Аналогично доказывается второе равенство.
83
8.3Критерий интегрируемости. Некоторые классы интегрируемых функций
Теорема 8.3.1. (критерий интегрируемости). Пусть функция f определена и ограничена на отрезке [a; b]: Тогда следующие условия эквивалентны:
1)f интегрируема;
2)8 > 0 9P S(P ) s(P ) < ;
3)I = I:
|
|
b |
|
Ïðè ýòîì I = |
|
= Ra |
|
I |
f(x)dx: |
Доказательство. I) Пусть выполняется условие 1), т.е. функция f интегрируема. Тогда
8 > 0 9 > 0 8(P; P ) (d(P ) < ) j (P; P ) Ij < =4):
Согласно свойству 4 сумм Дарбу для разбиения P найдутся системы
промежуточных точек P0 |
; P00 |
такие, что |
S(P ) (P; P0 |
) < =4; (P; P00 ) s(P ) < =4: |
При этом также выполняются неравенства
j (P; P0 ) Ij < =4; j (P; P00 ) Ij < =4:
Тогда
jS(P ) s(P )j = j(S(P ) ( (P; P0 ))+( (P; P0 ) I)+(I (P; P00 ))+( (P; P00 ) s(P ))j
jS(P ) ( (P; P0 )j + j (P; P0 ) Ij + jI (P; P00 )j + j (P; P00 ) s(P )j < < 4 + 4 + 4 + 4 = ;
то есть выполняется условие 2).
II) Пусть теперь выполняется условие 2), т.е. 8 > 0 9P S(P ) s(P ) < : Так как при этом s(P ) I I S(P ); òî
0 I I S(P ) s(P ) < : В силу произвольности числа > 0 приходим к равенству
I I = 0 , I = I:
84
Таким образом выполняется условие 3).
III) Пусть выполняется условие 3), т. е. I = I = A: Согласно основной лемме Дарбу
8 > 0 9 > 0 8P (d(P ) < ) (S(P ) A < ^ A s(P ) < )):
Так как при любом выборе системы промежуточных точек P выполня- ется условие s(P ) (P; P ) S(P ); òî
A < s(P ) (P; P ) S(P ) < A +
и, следовательно,
j (P; P ) Aj < :
Таким образом доказано, что существует предел
lim (P; P ) = A;
d!0
а значит функция f интегрируема и
b
Z
f(x)dx = A = I = I:
a
Теорема полностью доказана.
Теорема 8.3.2. (об интегрируемости непрерывной функции). Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.
Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b] и > 0 - произвольное число. Согласно теореме Кантора функция f равномерно непрерывна на отрезки, следовательно, найдется число > 0 такое, что если 0 è 00 - любые точки отрезка [a; b]; для которых j 0 00j < ; òî jf( 0) f( 00)j < =(b a): Если взять разбиение P отрезка [a; b] с диаметром d < ; то Mk mk < =(b a): Тогда
n |
n |
Xk |
X |
S(P ) s(P ) = (Mk mk) xk < =(b a) |
xk = : |
=1 |
k=1 |
Согласно предыдущей теореме функция f интегрируема.
85
Теорема 8.3.3. (об интегрируемости монотонной функции). Монотонная на отрезке функция интегрируема на нем.
Доказательство. Если функция f(x) = c = const; то, очевидно, функ-
ция интегрируема и
b
Z
f(x)dx = c(b a):
a
Пусть f не тождественно константа, и пусть f " : Возьмем произвольное число > 0 и = =(f(b) f(a)): Тогда для разбиения P с диаметром d < будем иметь
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
f(a) |
|||
S(P ) s(P ) = (Mk mk) xk < f(b) |
|
(Mk mk) = |
|||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Xk |
|
|
|
(f(b) f(a)) = : |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= f(b) |
|
f(a) |
|
|
f(a) |
||||||
|
(f(xk) f(xk 1)) = f(b) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
А значит, функция интегрируема.
Теорема 8.3.4. Пусть функция f определена и ограничена на отрезке [a; b]; и для любого числа > 0 найдется конечное число интервалов, по-
крывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин, меньшую : Тогда функция f интегрируема на отрезке [a; b]:
Доказательство. Пусть M = sup f(x) > m = |
inf f(x) è > 0: Ïî- |
x2[a;b] |
x2[a;b] |
кроем точки разрыва функции f конечным числом интервалов ( i; i); i = 1; : : : ; l, сумма длин которых Pli=1( i i) < =2 (M m):
Множество
l
[
A = [a; b] n ( i; i)
i=1
представляет собой конечное число непересекающихся отрезков. В силу теоремы Кантора функция f; будучи непрерывной, равномерно непре-
рывна на каждом из этих отрезков. Поскольку этих отрезков конеч- ное число, то найдется > 0 такое, что для любых двух точек x и x0;
принадлежащих любому из этих отрезков и удовлетворяющих условию jx x0j < ; выполняется неравенство
jf(x) f(x0)j < |
|
: |
|
||
2(b a) |
86
Построим разбиения указанных отрезков с диаметром d < : Объединение точек всех этих разбиений бедет представлять собой разбиение P отрезка [a; b]; среди отрезков k которого будут присутствовать отрезки
[ i; i]; i = 1; : : : ; l: Тогда
n |
|
0 |
|
00 |
Xk |
X |
X |
||
S(P ) s(P ) = (Mk mk) xk = |
|
(Mk mk) xk + |
|
(Mk mk) xk; |
=1 |
|
|
|
|
где в сумму с одним штрихом отнесены слагаемые, соответствующие отрезкам [ i; i]; i = 1; : : : ; l; а в сумму с двумя штрихами - все остальные.
В силу сказанного выше, имеем
|
|
X0(Mk mk) xk X0(M m) xk = |
|
|
|
||||||||||
|
|
= (M m)X0 xk < (M m) |
|
|
= |
|
|
|
|||||||
|
X00 |
2(M m) |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
|
||||||
è |
(Mk mk) xk < 2(b a)X00 |
< 2(b a)(b a) = |
2 |
||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
S(P ) s(P ) < |
+ |
= ; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
что означает интегрируемость функции f:
Следствие. Ограниченная на отрезке функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на нем.
Замечание. Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]; а функция g совпадает с функцией f во всех точках отрезка, кроме, быть может, конечного числа точек. Тогда функция g интегрируема на отрезке [a; b]
è |
b |
b |
|
ZZ
f(x)dx = g(x)dx:
aa
87
Лекция 13
8.4Свойства интеграла Римана
Для сокращения формулировок далее будем обозначать класс функций, интегрируемых на отрезке [a; b]; символом R[a; b]:
Теорема 8.4.1. (линейность интеграла). Если f; g 2 R[a; b]; 2 R;
òî f + g; f 2 R[a; b] è
|
b |
b |
b |
Za |
(f(x) + g(x))dx = Za |
f(x)dx + Za |
g(x)dx; |
bb
ZZ
f(x)dx = f(x)dx:
aa
Доказательство. Очевидны равенства
(f + g; P; P ) = (f; P; P ) + (g; P; P );
Остается перейти к пределу при d(P ) ! 0:
Пусть a < c < b: Тогда f 2 R[a; b] , f 2 R[a; c]
Ïðè ýòîì
bc
ZZ
f(x)dx = f(x)dx +
( f; P; P ) = (f; P; P ):
èf 2 R[c; b]:
b
Z
f(x)dx:
a a c
Доказательство. Необходимость. Пусть f 2 R[a; b] и > 0 - произвольное число. Тогда найдется разбиение P = P[a;b] такое, что S(P ) s(P ) < :
|
= |
Sf |
g |
: В силу свойств сумм Дарбу имеем |
Перейдем к разбиению P |
|
P c |
|
S(P ) s(P ) S(P ) s(P ) < :
Рассмотрим разбиение P как объединение разбиений отрезков [a; c] и [c; b];
ò. å. [ [
P = P[0a;c] P[00c;b] = P 0 P 00:
88
Очевидно, что
S(P 0) s(P 0) S(P ) s(P ) < ; S(P 00) s(P 00) S(P ) s(P ) < :
В силу критерия интегрируемости, это означает, что f 2 R[a; c] и f 2 R[c; b]:
Достаточность. Пусть f 2 R[a; c] и f 2 R[c; b] и > 0 - произвольное число. Тогда найдутся разбиения P 0 = P[0a;c] è P 00 = P[00c;b] такие, что
S(P 0) s(P 0) < |
|
00) s(P 00) < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; S(P |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда для разбиения P = P[a;b] = P 0 SP 00 |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S(P ) s(P ) = (S(P 0) s(P 0)) + (S(P 00) s(P 00)) < |
|
|
|
+ |
|
|
|
= : |
|||||
2 |
2 |
Это означает, что f 2 R[a; b]:
Для доказательства равенства для интегралов возьмем разбиение, содержащее точку c;
[
P = P[a;b] = P[0a;c] P[00c;b];
и систему промежуточных точек
[
P = P 0 P 00:
Очевидно равенство
(P; P ) = (P 0; P 0) + (P 00; P 00):
Осталось перейти в этом равенстве к пределу при d(P ) ! 0:
Соглашение. Будем считать:
a
R
1.f(x)dx := 0:
a
2. Åñëè a < b; òî
ab
RR
f(x)dx := f(x)dx:
ba
89
Тогда для любых a; b; c имеет место равенство
c |
b |
a |
|
Za |
f(x)dx + Zc |
f(x)dx + Zb |
f(x)dx = 0 |
при условии, что f 2 R[a0; b0]; |
ãäå a0 = min(a; b; c); b0 = max(a; b; c): |
||
Убедиться в этом самостоятельно! |
|
Теорема 8.4.3. (другие операции над интегрируемыми функциями).
Åñëè f; g 2 R[a; b]; òî jfj; f g; |
f1 |
при дополнительном условии jf(x)j |
C > 0 на [a; b] интегрируемы на [a; b]: |
||
Доказательство. Пусть > 0 |
и P - разбиение отрезка [a; b] такое, что |
|
S(f; P ) s(f; P ) < : |
|
|
1. Докажем, что jfj |
2 R[a; b]: При любых ; 2 k выполняется |
неравенство |
|
jf( )j jf( )j jf( ) f( )j Mk(f) mk(f); |
|
ãäå Mk(f) = sup f(x); mk(f) = sup f(x): Тогда |
|
x2 k |
x2 k |
Mk(jfj) mk(jfj) Mk(f) mk(f);
и, следовательно,
S(jfj; P ) s(jfj; P ) S(f; P ) s(f; P ) < :
Согласно критерию интегрируемости, jfj 2 R[a; b]:
2. Докажем сначала, что функция f2 интегрируема. Из интегрируе- мости функции f вытекает ее ограниченность, т. е.
9A > 0 8x 2 [a; b] jf(x)j A:
Тогда если ; 2 k; òî
f2( ) f2( ) = (f( ) + f( ))(f( ) f( ))
2A(f( ) f( )) 2A(Mk(f) mk(f))
и, следовательно,
S(f2; P ) s(f2; P ) 2A(S(f; P ) s(f; P )) < 2A :
90