lektsii_141_matan1
.pdf
на отрезке [a; !]; на котором f |
|
R[a; !]: |
|
|
|
b |
f(x)dx |
||||
|
|
|
|
F (b) = Ra |
|||||||
Доказательство. a) Следует из непрерывности функции |
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Следует из того, что при b 2 [a; !) |
|
|
|
|
|
||||||
Za |
b |
|
|
|
Za |
b |
|
Za |
b |
|
|
( 1f(x) + 2g(x))dx = 1 |
f(x)dx + 2 |
g(x)dx: |
|
||||||||
c) Следует из равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
c |
|
|
b |
|
|
|
|
|
Za |
f(x)dx = Za |
f(x)dx + Zc |
f(x)dx; |
|
|
|
||||
справедливого при любых b; c 2 [a; !): d) Следует из формулы
b= ( )
ZZ
f(x)dx = f( (t)) 0(t)dt:
a= ( )
(првило интегрирования по частям в несобственном интеграле). Если функции f; g непрерывно дифференцируемы на [a; !) и
существует предел lim f(x)g(x); то функции f g0 è f0 g одновременно
x!!
интегрируемы или нет в несобственном смысле на [a; !) и в случае интегрируемости справедливо равенство
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
Z |
f(x)g0(x)dx = f(x)g(x) a! |
Z |
f0(x)g(x)dx; |
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
ãäå f x |
g |
x |
|
lim f(x)g(x) |
f(a)g(a): |
|
|
|||
( ) |
( |
|
) a |
= x!! |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Это следует из формулы |
|
|||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
Z |
f(x)g0(x)dx = f(x)g(x) |
ab |
Z |
f0(x)g(x)dx; |
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрирования по частям для собственного интеграла.
101
Теорема 8.7.3. (критерий Коши сходимости несобственного интегра-
когда |
! |
|
|
|
Ra |
|
|
|
|
ла). Несобственный интеграл f(x)dx сходится тогда и только тогда, |
||||
|
|
b2 |
f(x)dx |
|
8 > 0 |
9B 2 [a; !) 8b1; b2 2 (B; !) |
Z |
< : |
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. В силу определения несобственного интеграла его схо-
b
R
димость равносильна существованию предела функции F (b) = f(x)dx
a
ïðè b ! !; b 2 [a; !); à
b2 |
b2 |
b1 |
Z f(x)dx = Z f(x)dx Z f(x)dx = F (b2) F (b1): |
||
b1 |
a |
a |
Осталось записать условие критерия Коши существования предела функции F при b ! !:
Абсолютная сходимость интеграла.
|
Говорят, что |
! |
|
! |
|
|
Ra |
||
Определение 8.10. |
|
несобственный интеграл |
f(x)dx |
|
абсолютно сходится, если сходится интеграл Ra |
jf(x)jdx: |
|
||
(о сходимости абсолютно сходящегося интеграла). Ес-
!
R
ли несобственный интеграл f(x)dx абсолютно сходится, то он схо-
a
дится.
Доказательство. В силу свойств собственного интеграла Римана имеем
b2 |
|
b2 |
ZZ
f(x)dx jf(x)jdx:
b1 b1
Осталось применить критерий Коши сходимости несобственного интеграла. 
102
Исследование интеграла на абсолютную сходимость сводится к исследованию несобственного интеграла от неотрицательной функции.
! |
|
Пусть f(x) 0 при всех x 2 [a; !): Тогда интеграл |
|
Теорема 8.7.5. |
|
|
|
Ra |
f(x)dx сходится тогда и только тогда, когда функция |
||
|
|
F (b) = Za |
b |
|
|
f(x)dx; b 2 [a; !); |
|
ограничена.
Доказательство. Если f(x) 0 при всех x 2 [a; !); то функция F (b) =
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)dx неубывает на [a; !) и поэтому она имеет предел при b |
|
!; b |
|
||||||
R[aa; !); в том и только том случае, когда она ограничена. |
|
! |
|
2 |
|||||
Теорема 8.7.6. (признак мажорации).Если |
0 f(x) |
! g(x) ïðè âñåõ |
|||||||
|
! |
|
|
|
|||||
x 2 [a; !) и интеграл g(x)dx сходится, то интеграл |
f(x)dx òîæå |
||||||||
сходится. |
Ra |
|
|
|
|
Ra |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Если интеграл Ra |
g(x)dx сходится, то функция |
|
|
||||||
|
G(b) = Z |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x)dx; |
b 2 [a; !); |
|
|
|
|
|||
a
ограничена. Согласно свойству монотонности собственного интеграла
bb
ZZ
0 F (b) = f(x)dx g(x)dx = G(b);
aa
и, следовательно, функция F также ограничена. В силу предыдущей
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теоремы интеграл Ra |
f(x)dx сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема 8.7.7. Пусть при всех x |
2 [ |
a; ! |
) |
f |
( |
x |
)! 0; g( |
x |
) |
> |
0 |
è |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
||||||
lim |
f(x) |
A; < A < |
|
: Тогда интегралы |
f(x)dx è |
R |
g(x)dx îäíî- |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
временно сходятся или расходятся. |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||
x!! g(x) |
= 0 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
103
Доказательство. Возьмем = A=2 > 0: Найдется точка c 2 [a; !) такая что при x 2 [c; !)
|
|
|
f(x) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
A |
< A=2; |
|||
òî åñòü |
|
|
g(x) |
||||||
|
A |
|
3 |
|
|
||||
|
|
g(x) < f(x) < |
|
Ag(x) ïðè x 2 [c; !): |
|||||
|
2 |
2 |
|||||||
Остается воспользоваться признаком мажорации и свойством c) из первой теоремы. 
Признаки условной сходимости интегралов.
!
Определение 8.11. Несобственный интеграл |
Ra! f(x)dx называется услов- |
|||||
но сходящимся, если он сходится, а интеграл Ra |
jf(x)jdx bрасходится. |
|||||
согласно формуле интегрирования0 |
по частям[ |
имеем |
Ra |
|||
Пусть функции f; g; g непрерывны на a; !); F (b) = |
f(x)dx: Тогда |
|||||
b |
|
|
|
|
b |
|
Za |
f(x)g(x)dx = g(b)F (b) g(a)F (a) Za |
g0(x)F (x)dx |
||||
Очевидно следующее утверждение.
!
Утверждение.Если существует интеграл R g0(x)F (x)dx = A è ñó-
a
ществует конечный предел lim g(b)F (b) = B; то существует несоб-
b!!
ственный интеграл
|
! |
|
|
|
|
|
Za |
f(x)g(x)dx = B g(a)F (a) A: |
|
||
Теорема 8.7.8. (признак Дирихле). Пусть функции f; g; g0 |
непрерыв- |
||||
|
|
b |
|
|
|
íû íà [a; !); |
F (b) = Ra |
f(x)dx ограничена на [a; !); функция!g(x); ìîíî- |
|||
сходится. |
|
|
|
0 при x ! !: Тогда интеграл Ra |
f(x)g(x)dx |
тонно убывая, стремится к |
|
|
|||
104
Доказательство. Очевидно, что lim g(b)F (b) = 0: Поскольку g0(x) |
|
0; |
|||||||||||||
òî |
|
|
|
|
|
|
|
b |
! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b!! Za |
b |
|
( |
|
)j |
|
= b!! Za |
b |
|
|
b!! |
|
|
|
|
j |
g0 |
|
|
g0(x)dx = |
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
x |
|
dx |
lim |
lim[g(b) |
|
g(a)] = g(a); |
|
|
||||
!
то есть интеграл R jg0(x)jdx сходится. Так как функция F ограничена, то
a
!
согласно признаку мажорации интеграл R jg0(x)F (x)jdx сходится, и, сле-
a
!
довательно, интеграл R g0(x)F (x)dx сходится. Осталось воспользоваться
a
предыдущим утверждением.
Теорема 8.7.9. (признак Абеля). Пусть функции f; g; g0 непрерывны
|
[a; !); |
|
! |
! |
|
g |
|
|
|
Ra f(x)dx |
|
|
|||
íà |
|
интеграл |
|
сходится, функция |
|
монотонна и ограни- |
|
чена на [a; !): Тогда интеграл Ra |
f(x)g(x)dx сходится. |
||||||
Доказательство. Доказать самостоятельно.
Замечание. Требование непрерывности функции g0 обусловлено лишь
методом доказатльства. Если отказаться от этого требования, то потребуется вторая теорема о среднем для интеграла Римана, которую мы не доказывали.
Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
Если оба предела интегрирования являются особенностями того или другого из изученных типов, то полагают по определению
!2 |
c |
!2 |
|
!Z1 |
f(x)dx := !Z1 |
f(x)dx + Zc |
f(x)dx; |
где c - произвольная точка промежутка (!1; !2):
При этом предполагается, что каждый из интегралов в правой части равенства сходится.
105
В том случае, когда подынтегральная функция не ограничена в окрестности одной из внутренних точек ! отрезка интегрирования [a; b]; пола-
ãàþò |
b |
! |
|
b |
|
|
|||
|
Za |
f(x)dx := Za |
f(x)dx + Z! |
f(x)dx; |
требуя, чтобы оба стоящих справа интеграла сходились.
Наконец, если на промежутке интегрирования имеется несколько (конечное число) тех или иных особенностей, лежащих внутри промежутка или совпадающих с его концами, то неособыми точками промежуток разбивают на конечное число таких промежутков, в каждом из которых имеется только одна особенность, а интеграл вычисляют как сумму интегралов по отрезкам разбиения.
Главное значение интеграла в смысле Коши.
Главным значением в смысле Коши несобственного интеграла по всей
|
|
|
+A |
числовой прямой назавают предел |
lim |
f(x)dx и обозначают симво- |
|
ëîì |
+1 |
A!+1 RA |
|
|
|
+A |
|
|
Z |
|
Z |
|
V:p: (x)dx := lim |
f(x)dx |
|
A!+11 A
В том случае, когда подынтегральная функция не ограничена в окрестности одной из внутренних точек ! отрезка интегрирования [a; b]; пола-
ãàþò |
b |
|
|
! |
|
|
|
b |
|
|
|
|
Za |
|
:= !+0 |
|
|
|
|
|
|
||||
( ) |
dx |
Za |
( |
) |
dx |
+!Z+ |
( |
) |
dx |
|||
V:p: |
f x |
lim |
f |
|
x |
f |
|
x |
: |
9Литература
1.В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ т.1-2, Наука, 1979.
2.С.М.Никольский. Курс математического анализа. Т.1-2, Наука, 1973.
3.В.А.Зорич. Математический анализ, т.1-2, Наука, 1981.
106
4.Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.
5.Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ. т.1-3, Высшая школа, 1988.
6.И.И.Ляшко, В.Ф.Емельянов, А.К.Боярчук. Основы классического и современного математического анализа. Выща школа, Киев, 1988.
7.Емельянов В.Ф., Барабанов А.И., Прохоров Д.В. Курс математиче- ского анализа. Т. 1-2. Саратов. Изд-во Саратовского университета. 1983.
8.Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального ис- числения. Т.1-3.Физматгиз, М.:1958.
9.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа [учебник в 2 ч.] - 8-å èçä., Ì.
10.Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Наука, 1977.
11.И.А.Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу. Издательство Московского университета, 1988.
12.Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир,1967.
13.Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу, т.1-2, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
107