lektsii_141_matan1

Следствие. Множество рациональных чисел счетно.

Доказательство. Для любого натурального n обозначим через An ìíî-

Возникает вопрос: существуют ли бесконечные несчетные множества? Ответом на этот вопрос можно считать следующую теорему.

Теорема 2.6.3. Множество всех точек интервала (0; 1) несчетно.

Доказательство. Допустим противное, т.е. предположим, что множество всех точек интервала (0; 1) счетно.

Представляя каждое число этого интервала бесконечной десятичной дробью, расположим их в виде послодовательности:

a1 = 0; a11a12 : : : a1n : : : ; a2 = 0; a21a22 : : : a2n : : : ;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

an = 0; an1an2 : : : ann : : : ;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Рассмотрим бесконечную десятичную дробь b = 0; b1b2 : : : bn : : : ; ãäå b1 - любая цифра, отличная от a11; 0 è 9; b2 - любая цифра, отличная от a22; 0 è 9; è ò.ä.; bn - любая цифра, отличная от ann; 0 и 9; и т.д.. Очевидно, что число b 2 (0; 1) и оно отлично от всех чисел a1; a2; : : : ; an; : : : :

Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие Любой интервал, полуинтервал, отрезок, а также вся числова прямая ( 1; +1) равномощны интервалу (0; 1): (Доказать!)

Определение 2.10. Множество, эквивалентное множеству точек интервала (0; 1); называется множеством мощности континуума.

21

3Глава. Теория числовых последовательностей

3.1 Ограниченные и бесконечно малые последовательности

Определение 3.1. Числовой последовательностью называют отображение вида f : N ! R.

Для любого n 2 N обозначим xn = f(n) и назовем n-ым членом последовательности. Саму последовательность будем далее обозначать: x1; x2; x3; : : : ; или, коротко (xn):

Определение 3.2. Последовательность называется ограниченной сверху, если

9M 8n 2 N xn M:

Определение 3.3. Последовательность называется ограниченной снизу, если

9m 8n 2 N xn m:

Определение 3.4. Последовательность называется ограниченной, если

9M 8n 2 N jxnj M:

Ограниченные последовательности будем обозначать символом O(1):

Теорема 3.1.1. (достаточное условие ограниченности последовательности). Если 9M 9n0 2 N 8n n0 jxnj M, òî xn = O(1).

Доказательство. Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим

M0 = max fjx1j; : : : ; jxn0 1j; Mg:

Тогда

8n 2 N jxnj M0;

ò.å. xn = O(1): Теорема доказана.

Задание. Доказать, что

O(1) O(1) = O(1) è O(1)O(1) = O(1):

22

Определение 3.5. Последовательность называется бесконечно малой, если

8 > 0 9n 2 N 8n n0 jxnj :

Бесконечно малые последовательности будем обозначать символом o(1):

Задание. Дать геометрическую интерпретацию бесконечно малой последовательности.

Теорема 3.1.2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. Возьмем = 1; тогда найдется номер n1 такой , что ïðè âñåõ n n1 выполняется неравенство jxnj < 1: Согласно доказанной теореме последовательность (xn) ограничена.

Теорема 3.1.3. (об арифметических действиях над бесконечно малыми).

Справедливы равенства

o(1) o(1) = o(1); o(1)O(1) = o(1);

тем более

o(1)o(1) = o(1):

Доказательство. Докажем первое равенство. Пусть xn = o(1); yn = o(1) и - призвольное положительное чсло.

Тогда найдется номер n0 такой, что

Следовательно, 8n n = maxfn0 ; n00g выполняется условие jxn ynj jxnj + jynj < =2 + =2 = :

Это означает, что xn yn = o(1):

Докажем второе равенство. Пусть xn = o(1); yn =; O(1) и - призвольное положительное чсло.

23

Тогда

9M 8n 2 N jynj M;

è

9n 2 N 8n n jxnj < =M:

Следовательно,

Это означает, что xnyn = o(1):

Так как всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной, то o(1)o(1) = o(1):

Теорема 3.1.4. Если последовательность (xn) - постоянная и бесконечно малая , то xn = 0:

Доказательство. Действительно, если xn = c 6= 0, то при = jcj=2 условию jxnj < не удовлетворяет ни один член последовательности.

Определение 3.6. Последовательность (xn) называется положительно бесконечно большой, если выполняется условие:

8M > 0 9nM 2 N 8n nM xn > M:

В этом случае используют обозначение:

lim xn = +1 èëè x ! +1 ïðè n ! 1:

n!1

Определение 3.7. Последовательность (xn) называется отрицательно бесконечно большой, если выполняется условие:

8M > 0 9nM 2 N 8n nM xn < M:

В этом случае используют обозначение:

lim xn = 1 èëè x ! 1 ïðè n ! 1:

n!1

Определение 3.8. Последовательность (xn) называется бесконечно большой, если выполняется условие:

8M > 0 9nM 2 N 8n nM jxnj > M:

В этом случае используют обозначение:

lim xn = 1 èëè x ! 1 ïðè n ! 1:

n!1

24

Теорема 3.1.5. Пусть при всех n 2 N xn 6= 0: Тогда (xn) - беско-

нечно большая послеовательность тогда и только тогда, когда ( 1 ) -

xn

бесконечно малая пследовательность.

Доказательство. Суть доказательства состоит в равносильности неравенств

3.2Предел последовательности

Определение 3.9. Последовательность (xn) называется сходящейся, если существует число a такое, что последовательность xn a = o(1): Число a в этом случае называют пределом последовательности или

говорят, что последовательность xn стремится к числу a. Записывается это так:

lim xn = a èëè xn ! a ïðè n ! 1:

n!1

Последовательности, не являющиеся сходящимися, называют расходящимися.

Замечание. Бесконечно большие последовательности не относят к числу сходящихся.

Распишем определение предела последовательности подробно на \ языке\.

Определение 3.10.

lim xn = a , 8 > 0 9n 2 N 8n n jxn aj <

n!1

Определение 3.11. Пусть a 2 R; > 0: Интервал (a ; a + ) называют - окрестностью точки a и обозначают символом O (a):

Замечание 1. Неревенство jxn aj < ознаает, что xn 2 O (a): Смысл определения предела последовательности можно выразить следующим словами: вне любой - окрестности точки a находится разве лишь

конечное число членов последовательности.

Замечание 2. Oчевидно, что последовательность (xn) вляется бес-

конечно малой тогда и только тогда, когда lim xn = 0:

n!1

25

Теорема 3.2.1. Если последовательность (xn) сходится, то она имеет единственный предел.

Доказательство. Пусть это не так. Тогда существуют a1 6= a2 такие, что xn a1 = o(1) è xn a2 = o(1): Вычитая из первого равенства второе, получим

a2 a1 = o(1) o(1) = o(1):

В силу доказанной ранее теоремы a2 a1 = 0; ò.å. a2 = a1: Полученное противоречие доказавает теорему.

Теорема 3.2.2. Если последовательность (xn) сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть xn = a + o(1): Поскольку всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной и стационарная последовательность, очевидно, также ограниченна, то их сумма a + o(1) =

O(1):

3.3Порядковые и арифметические свойства предела последовательности

Теорема 3.3.1. Åñëè lim xn = a è a > b (a < b); òî

n!1

9n0 2 N 8n n0 xn > b (xn < b):

9n0 2 N 8n n0 xn < yn:

26

Доказательство. Возьмем число c такое, что a < c < b: Согласно преды-

дущей теореме

9n1 2 N 8n n1 xn < c

è

9n2 2 N 8n n2 yn > c:

Тогда

8n n0 = max(n1; n2) xn < c < yn:

Теорема 3.3.3. (о переходе к пределу в неравенстве) Если

Доказательство. Предположим противное, т.е. a > b: Тогда согласно предыдущей теореме

9n0 2 N 8n n0 xn > yn;

что противоречит условию теоремы.

Теорема 3.3.4. (порядковый признак существования предела.) Пусть

xn zn yn äëÿ âñåõ n 2 N è lim xn = lim yn = a: Тогда существует

n!1 n!1

предел lim zn = a:

n!1

Доказательство. Пусть > 0: Тогда

9n1 2 N 8n n1 a < xn < a +

è

9n2 2 N 8n n2 a < yn < a + :

Следовательно,

8n n0 = max(n1; n2) a < xn zn yn < a + :

Теорема 3.3.5. (арифметические свойства предела последовательно-

27

Доказательство. Из условия имеем xn = a + o(1); yn = b + o(1):

1)Следовательно,

xn yn = (a + o(1)) (b + o(1)) = (a b) + (o(1) o(1)) = (a b) + o(1):

Это означает, что

lim (xn yn) = a b:

n!1

2)Поскольку

xnyn = (a + o(1))(b + o(1)) = ab + ao(1) + bo(1) + o(1)o(1) = ab + o(1);

òî

28

Лекция 4

3.4 Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса

Замечание.Сопоставляя доказанную теорему Вейерштрасса и теорему об ограниченности сходящейся последовательности, можно сделать следующий вывод: монотонная последовательность сходится тогда и

только тогда, когда она ограничена.

Задание 1. Доказать, что последовательность xn = (1+ n1 )n является возрастающей и ограниченной сверху.

29

Тогда согласно теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет предел, который, следуя Эйлеру, обозначают через e:

Èòàê,

e = lim (1 + 1 )n:

n!1 n

Задание 2. Доказать, что число e - иррациональное.

Известно, что

e = 2; 718281828459045 : : : :

Определение 3.13. Последовательность отрезков [a1; b1]; [a2; b2]; : : : ; [an; bn]; : : :

называется стягивающейся системой отрезков, если выполнены два требования: 1) 8n 2 N [an+1; bn+1] [an; bn]; 2) bn an ! 0 ïðè n ! 1:

Лемма 3.4.1. (о вложенных отрезках.)

У всякой стягивающейся системы отрезков [a1; b1]; [a2; b2]; : : : ; [an; bn]; : : :

существует и притом единственная точка c; принадлежащая всем отрезкам этой системы.

Доказательство. Рассмотрим последовательность (an). Очевидно, что an " и ограничена сверху, причем bm при любом m 2 N является мажо-

рантой. Следовательно, существует lim an = c è c 2 [an; bn] 8n 2 N:

n!1

Докажем, что точка c; принадлежащая всем отрезкам, может быть только одна. Пусть нашлась еще одна точка d, отличная от c и принадлежащая всем отрезкам. Предположим для определенности, что c < d. Тогда отрезок [c; d] [an; bn] при любом натуральном n: Но тогда bn an d c > 0; что противоречит условию bn an ! 0 ïðè n ! 1:

3.5 Частичные пределы последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.

Определение 3.14. Пусть (xn) - числовая последовательность и (kn) - некоторая возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность (yn) = (xkn ) называется подпоследовательностью последовательности (xn):

Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, причем к тому же числу, что и вся последовательность.

30