lektsii_141_matan1
.pdfДоказательство. Пусть lim xn = a и > 0: Тогда найдется номер n
n!1
такой, что при всех n n выполняется условие jxn aj < . Очевидно, что kn n: Следовательно, при всех n n yn = xkn удовлетворяет
неравенству jyn aj < . Это означает, что lim yn = a:
n!1
Определение 3.15. Пусть (xn) - ограниченная числовая последовательность.
Верхнй предел последовательности определим равенством
lim xn = lim sup xk: |
|
n!1 |
n!1 k n |
Нижний предел последовательности определим равенством
limn!1xn = lim inf xk:
n!1 k n
Нам остается доказать корректность этих определений.
Докажем корректность определения верхнего предела. Обозначим yn =
sup xk: В силу свойства монотонности верхней грани последовательность
k n
(yn) - невозрастающая. Поскольку последовательность (xn) ограничена, то и (yn) ограничена. Тогда, согласно теореме Вейерштрасса, она сходится.
Корректность определения нижнего предела доказывается аналогич-
íî.
Теорема 3.5.2. Для любой ограниченной последовательности справедливо неравенство
limn!1xn lim xn:
n!1
Доказательство. Обозначим
zn = inf xk; |
yn = sup xk: |
k n |
k n |
Очевидно, что 8n 2 N zn yn: Осталось перейти к пределу в этом неравенстве.
Теорема 3.5.3. У любой ограниченной последовательности предел существует тогда и только тогда, когда
limn!1xn = lim xn:
n!1
31
Причем
lim xn = lim |
n!1 |
xn = lim xn: |
||
n |
!1 |
n |
!1 |
|
|
|
|
Доказательство. Докажем необходимость . Пусть
lim xn = a;
n!1
ò.å.
8 > 0 9n 2 N 8n n |
a < xn < a + : |
Тогда 8n n справедливо |
|
a kinfn xk xn sup xk a + : |
|
|
k n |
Это означает, что
limn!1xn = lim xn = a:
n!1
Докажем достаточность. Пусть
limn!1xn = lim xn = a;
n!1
ò.å.
lim inf xk = lim sup xk = a: |
|
n!1 k n |
n!1 k n |
При всех натуральных n имеем |
|
kinfn xk xn sup xk: |
|
|
k n |
Осталось воспользоваться порядковым признаком существования предела последовательности и необходимость доказана. Теорема полностью доказана.
Теорема 3.5.4. (Больцано-Вейештрасса .)
У любой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть последовательность xn ограничена, т.е. найдет- ся M > 0 такое, что jxnj M при всех n. Разделим отрезок I0 = [ M; M] пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов послеовательности. Обозначим его I1 и в качестве первого члена искомой подпоследовательности возьмем какой-либо элемент xn1 2 I1:
32
Затем отрезок I1 снова разделим на два и обозначим через I2 òó åãî ïî- ловину, которая содержит бесконечно много членов последовательности xn: Среди них выберем такой член xn2 ; номер которого n2 > n1: Повторяя эту процедуру далее, мы получим последовательность вложенных отрез-
êîâ |
( |
I |
n) |
и подпоследовательность x |
; x |
|
; : : : ; x |
|
; : : : ; причем x |
nk 2 |
I |
: |
|||
|
|
2M Mn1 |
|
n2 |
|
nk |
M |
|
k |
|
|||||
Длина отрезка Ik равна 2k = |
|
: Поскольку |
|
! 0 ïðè k |
! 1; òî |
||||||||||
2k 1 |
2k 1 |
система отрезков является стягивающейся. Согласно лемме о вложенных отрезках существует единственная точка c; принадлежещая всем отрез-
кам. Обозначим Ik = [ak; bk]: Òàê êàê ak ! c; bk ! c ïðè k ! 1; à ak xnk bk; òî xnk ! c ïðè k ! 1:
Задание. Доказать, что нижний предел последовательности является наименьшим частичным пределом последовательности, а верхний предел - наибольшим.
3.6 Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходомости последовательности.
Определение 3.16. Последовательность (xn) называется фундаментальной, если
8 > 0 9n 2 N 8n n 8m n jxn xmj < :
Отметим, что условие из определения фундаментальности последовательности равносильно следующему условию:
8 > 0 9n 2 N 8n n 8p 2 N jxn+p xnj < :
Теорема 3.6.1. Всякая фундаментальная последоательность ограни- чена.
Доказательство. Из условия фундаментальности, взяв = 1; имеем
9n1 2 N 8n n1 jxn xn1 j < ;
ò.å.
xn1 1 xn xn1 + 1 ïðè âñåõ n n1:
Последнее означает ограниченность последовательности (см. достаточ- ное условие ограниченности последовательности).
33
Теорема 3.6.2. (критерий Коши сходимости последовательности). Последовательности сходится тогда и только тогда, когда она фун-
даментальна.
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть последовательность xn ! a при n ! 1: Возьмем произвольное число > 0. Тогда найдется номер n такой, что при n n и m n выполняются условия
jxn aj < =2 è jxm aj < =2:
Следовательно,
jxn xmj = j(xn a) + (a xm)j jxn aj + jxm aj < =2 + =2 = :
То есть последовательность (xn) -фундаментальна.
Докажем достаточность. Пусть (xn) -фундаментальна. Следовательно, (xn) -ограничена. Тогда в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса су-
ществует сходящаяся подпоследовательность xn1 ; xn2 ; : : : ; xkn ; : : :. Пусть xkn ! a при n ! 1: Из условия фундаментальности следует вывод, что
xn xkn ! 0 ïðè n ! 1:
Поэтому
xn a = (xn xkn ) + (xkn a) ! 0;
ò.å. xn ! a при n ! 1: Теорема полностью доказана.
3.7Расширенная числовая прямая
Определение 3.17. Расширенной числовой прямой или расширенным множеством вещественных чисел называют объдинение множества R
и символических объектов 1 и = 1: Обозначают символом
[
R = R f 1; = 1g:
При этом для любого x 2 R выполняется условие
1 < x < +1:
Нетрудно видеть, что
1. Åñëè xn " и неограничена сверху, то x ! +1 при n ! 1:
34
2. Åñëè xn # и неограничена снизу, то x ! 1 при n ! 1:
3.У любой последовательности существуют нижний и верхний пределы, причем
1 limn!1xn lim xn +1:
n!1
4.Во множестве R любая монотонная последовательность имеет предел.
5.У любой поñледовательности существует подпоследовательность, имеющая в R предел.
Лекция 5
4Глава . Предел функции в точке
4.1Определение предела по Гейне и по Коши
Âэтой главе мы будем изучать числовые функции числового аргу-
мента, т.е. f : X ! R; где X R:
Определение 4.1. Интервал (x0 ; x0 + ) с выколотой точкой x0, ò.å. (x0 ; x0 + ) n fx0g; называют проколотой - окрестностью точки a
и обозначают символом
O (x0):
Определение 4.2. Любой интервал (a; b), содержащий точку x0, íà- зывают окрестностью этой точки и обозначают символом O(x0).
Если точка x0 2 (a; b); то множество (a; b) n fx0g называем проколотой окрестностью точки x0 и обозначаем символом
Определение 4.3. Пусть X R: Точка x0 называется предельной точкой множества X; если в любой проколотой окрестности точки xo есть точки множества X.
Определение 4.4. ( предела функции по Коши).
Пусть функция f определена на множестве X и точка x0 является предельной точкой множества X:
35
Число A называют пределом функции f в точке x0; åñëè
8 > 0 9 > 0 8x 2 X (0 < jx x0j < ) jf(x) Aj < )
Формулой это записывается так
lim f(x) = A:
x!x0
Замечание. Используя понятие окрестности точки, данное определение можно переформулировать так:
x x0 |
, 8 |
O(A) |
9 |
|
0 |
|
0 |
)) |
|
O(A) |
lim f(x) = A |
|
|
O(x |
) : f(O(x |
|
!
Определение 4.5. ( предела функции по Гейне).
Пусть функция f определена на множестве X и точка x0 является предельной точкой множества X:
Число A называют пределом функции f в точке x0; если для любой последвательности (xn) точек множеcтва X такой, что xn ! x0 ïðè n ! 1 è xn 6= x0 8n 2 N; выполняется условие f(xn) !
A ïðè n ! 1:
Теорема 4.1.1. Определение предела функции в точке по Коши равносильно определению предела по Гейне.
Доказательство. 1)Необходимость. Пусть сначала число A является пределом функции f(x) в точке x0 ïî Êîøè è (xn) -последовательность точек множества X, отличных от точки x0, сходящаяся к точке x0:
Пусть число > 0: Согласно определению Коши найдется число > 0 такое, что jf(x) Aj < ; если 0 < jx x0j < : Поскольку xn ! x0; то найдется номер n0 такой, что при всех n n0 выполняется условие
jxn x0j < ; à |
следовательно, jf(xn) Aj < : Это и означает, что |
f(xn) ! A ïðè |
n ! 1; т.е. функция f удовлетворяет определению |
Гейне.
2)Достаточность. Пусть теперь число A является пределом функции f(x) в точке x0 по Гейне. Докажем, что число A является пределом функции f(x) в точке x0 по Коши. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого числа 0 > 0 и любого > 0 найдется x такое, что
0 < jx x0j < ; íî jf(x ) Aj 0:
36
Возьмем последовательность n = n1 ; n 2 N; и найдем xn такие, что
1
0 < jxn x0j < n; íî jf(xn) Aj 0:
Построенная последовательность xn ! x0 è xn 6= x0: Тогда согласно определению Гейне f(xn) ! A; что протоворечит условию jf(xn) Aj0 > 0: Полученное противоречие доказывает теорему.
4.2Критерий Коши существования предела в точке
Определение 4.6. Говорят, что функция f удовлетворяет в точке x0 условию Коши, если выполняется условие
8 > 0 9 > 0 8x0; x00 2 X (0 < jx0 x0j < ; 0 < jx00 x0j < ) jf(x0) f(x00)j < ):
Теорема 4.2.1. Функция f имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда функция f удовлетворяет в точке x0 условию Коши.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть lim f(x) = A: Возьмем про-
x!x0
извольное число > 0: Согласно определению Коши найдем > 0 такое, что при любых x0 è x00 из множества X, удовлетворяющих условию 0 < jx0 x0j < ; 0 < jx00 x0j < , справедливы неравенства
jf(x0) Aj < =2; jf(x00) Aj < =2:
Тогда
jf(x0) f(x00)j = j(f(x0) A) + (A f(x00)j jf(x0) Aj + jA f(x00)j < ;
àэто и означает, что функция f удовлетворяет в точке x0 условию Коши.
2)Достаточность. Пусть функция f удовлетворяет в точке x0 óñëî- вию Коши. Докажем, что функция f удовлетворяет условию определе-
ния предела по Гейне.
Пусть > 0, а последовательность xn ! x0 è xn 6= x0. Руководствуясь условием Коши, выберем > 0: Тогда найдется номер n0 такой, что ïðè n n0 выполняется условие 0 < jxn x0j < : Если теперь p - произвольное натуральное число, то тем более 0 < jxn+p x0j < :
Следовательно, в силу условия Коши при n n0 ральноо p справедливо неравество
jf(xn+p) f(xn)j < ;
37
а это означает фундаментальностт последовательности (f(xn)). В силу критерия Коши сходимость числовой последовательности последовательность (f(xn)) сходится к некоторому числу A.
Остается доказать, что для любой другой последовательности x0n ! x0; x0n 6= x0 выполняется условие f(x0n) ! A.
Предположим, что f(x0n) ! A0: Рассмотрим последовательность x1; x01; x2; x02; : : : ; xn; x0n; : : : ;
которая тоже сходится к точке x0: В силу доказанного выше последова-
тельность
f(x1); f(x01); f(x2); f(x02); : : : ; f(xn); f(x0n); : : :
сходится к некоторому числу A00. Тогда ее подпоследовательности (f(xn)) è (f(x0n)) тоже сходятся к числу A00. Отсюда вытекает, что A = A0 = A00. Теорема полностью доказана.
4.3Односторонние пределы функции
Определение 4.7. (левостороннего предела по Коши) Пусть A 2 R:
x!x0 0 |
, 8 |
> 0 |
9 |
8 2 |
X (x |
0 |
< x < x |
0 |
) j |
f(x) |
|
j |
< ) |
lim f(x) = A |
|
|
> 0 x |
|
|
|
|
A |
Для левостороннего предела используют более короткое обозначение
|
|
|
|
f |
x |
0 0) = x |
lim |
|
f(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
x0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение 4.8. (правостороннего предела по Коши) Пусть A 2 R: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x!x0+0 |
|
|
, 8 |
> 0 |
9 |
> 0 |
8 2 |
|
X (x |
0 |
|
|
|
|
0 |
+ |
) j |
|
A |
j |
< ) |
|||||||||
lim f(x) = A |
|
|
|
x |
|
|
|
|
< x < x |
f(x) |
|
|
||||||||||||||||||
Для правостороннего предела используют более короткое обозначение |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(x0 + 0) = |
|
lim |
|
f(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!x0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Иногда интервал (x0 ; x0) называют левой, |
|
à (x0; x0 + ) - правой |
|
|||||||||||||||||||||||||||
проколотой полуокрестностью точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x0; и обозначают O (x0); O+(x0) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
соответтвенно. Тогда данные определения можно переписать в виде: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
f(x) = A |
|
|
|
|
O |
A |
) 9 |
|
|
|
x |
|
f |
|
x |
|
|
O(A); |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
O |
( |
0) : |
O |
( |
0)) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x x0 |
|
0 |
|
, 8 ( |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
lim f(x) = A |
, 8 |
O |
A |
) 9 |
|
|
f |
|
0)) |
O |
A |
|
||
O |
x |
0) : |
O |
x |
); |
|||||||||
x x0+0 |
( |
|
|
+( |
( |
|
+( |
( |
|
|||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно сообразить, как измениться определение по Гейне, если говорить об односторонних пределах.
А именно, в случае предела левостороннего последовательность (xn) должна удовлетворять условиям: xn ! x0; xn < x0; в случае предела правостороннего - xn ! x0; xn > x0:
Нетрудно доказать следующую теорему.
Теорема 4.3.1. Предел lim f(x) = A существует тогда и только то-
x!x0
гда, когда существуют оба односторонних предела и f(x0 0) = f(x0 + 0) = A:
Доказательство. Доказать самостоятельно.
4.4Свойства предела функции
Используя определение предела функции по Гейне и опираясь на свойства предела последовательности, легко установить аналогичные свойства предела функции.
Теорема 4.4.1. (арифметические свойства предела.) Пусть lim f(x) =
x!x0
A; lim g(x) = B: Тогда
x!x0
lim (f(x) g(x)) = A B;
x!x0
lim (f(x)g(x)) = AB;
x!x0
lim |
f(x) |
= |
A |
; |
||
g(x) |
|
B |
||||
x!x0 |
|
|
(последнее равенство справедливо при дополнительном условии B 6= 0).
Доказательство. Для будем пользоватся определением предела по Гейне. Пусть последовательность xn ! x0 è xn 6= x0. Тогда
f(xn) ! A è g(xn) ! B:
39
Воспользуемся доказанными ранее арифметическими свойствами предела последовательности. В силу этих теорем имеем
f(xn) g(xn) ! A + B; f(xn)g(xn) ! AB; f(xn) ! A : g(xn) B
Согласно определению предела по Гейне это означает, что функции f g; fg; fg имеют в точке x0 пределы, соответственно равные A B; AB и A=B:
Теорема 4.4.2. (порядковые свойства предела) Пусть |
lim f(x) = A; |
||||||||||
|
9 |
|
|
0) |
8 |
|
2 |
|
|
0) T |
x!x0 |
x!x0 |
|
|
|
|
|||||||
lim g(x) = B и A < B: Тогда |
|
O |
x |
|
|
x |
|
O |
x |
X |
f(x) < g(x): |
Доказательство. Предположим противное. Тогда можно построить по-
следовательность xn ! x0; |
|
xn 6= x0 |
такую, что f(xn) g(xn): Следо- |
||||||||||||||||||
вательно, lim f(x |
) |
lim g(x |
); а значит, и A |
|
B; что противоречит |
||||||||||||||||
|
n x0 |
|
n |
|
n |
! |
x0 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
условию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Пусть lim f(x) = A; |
lim g(x) = B; C |
2 R |
: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x0 |
|
|
|
|
|
x |
! |
x0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда если |
9 |
(x0) |
|
|
8 |
x |
2 |
(x |
) |
X |
|
|
|
|
|
||||||
O |
|
|
O |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a) |
|
|
|
òî |
|
|
|
|
|
0 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||
|
f(x) > g(x); |
|
|
|
A B; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b) |
f(x) g(x); òî A B; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
c) |
f(x) > C; òî A C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
d) |
f(x) C; |
|
òî A C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 4.4.3. (порядковый признак существования предела функции) Пусть f(x) h(x) g(x) при всех x; принадлежащих некоторой про-
колотой окрестности |
lim g(x) = A: Тогда |
O (x0) è lim f(x) = |
|
x!x0 |
x!x0 |
lim h(x) = A: |
|
x!x0 |
|
Доказательство. Пусть последовательность xn ! x0 è xn 6= x0. Тогда f(xn) h(xn) g(xn)
Поскольку
lim f(xn) = lim g(xn) = A;
n!x0 n!x0
40