lektsii_141_matan1

Теорема 6.8.1. (первое достаточное условие экстемума). Пусть функция f дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x0

èнепрерывна в самой точке x0: Тогда если производная f0(x) положительна (отрицательна) слева от точки x0 и отрицательна (положи- тельна) справа от точки x0; то точка x0 является точкой локального максимума (минимума) функции f: Если же производная имеет один

èтот же знак слева и справа от точки x0; то экстремума нет.

Доказательство. Доказать самостоятельно.

Теорема 6.8.2. (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f 2-дифференцируема в точке x0 è f0(x0) = 0: Тогда если f00(x0) < 0;

то функция f имеет в точке x0 локальный максимум, и если f00(x0) > 0; то локальный минимум.

Доказательство. Из условия f00(x0) < 0 (> 0) вытекает, что точка x0 является точкой убывания (роста) функции f: Поскольку f0(x0) = 0; то найдется окрестность точки x0; в пределах которой f0(x) положительна

(отрицательна) слева и отрицательна (положительна) справа от точки x0: Осталось воспользоваться предыдущей теоремой.

(третье достаточное условие экстремума). Пусть функция f n-дифференцируема в точке x0 è

f0(x0) = f00(x0) = : : : = f(n 1)(x0) = 0:

Тогда при четном n

1)åñëè f(n) < 0; то точка x0 является точкой локального максиму- ìà,

2)åñëè f(n) > 0; то точка x0 является точкой локального минимума функции f;

èпри нечетном n

1)åñëè f(n) < 0; то точка x0 является точкой убывания,

2)åñëè f(n) > 0; то точка x0 является точкой рста функцииf.

71

Доказательство. Применяя локальную формулу Тейлора, имеем

f(x) = f(x0) + f(n)(x0)(x x0)n + o((x x0)n) = n!

= f(x0) + f(n)(x0)(x x0)n + (x)(x x0)n; n!

ãäå (x) ! 0 ïðèx ! x0: Введем функцию

A(x) = f(n)(x0) + (x): n!

Пусть f(n)(x0) < 0 и n-четное. Поскольку

следовательно,

f(x) f(x0) = A(x)(x x0)n < 0; ò.å. f(x) < f(x0);

следовательно, точка x0- точка локального максимума функции f: Если f(n)(x0) < 0 и n-нечетное, то

sign(f(x) f(x0)) = sign A(x)(x x0)n = sign(x x0);

т.е. точка x0- точка убывания функции f: Остальные случаи рассматриваются аналогично.

6.9Условия выпуклости функции

Определение 6.9. Функция f; определенная на интервале (a; b); называется выпуклой, если для любых точек x1; x2 2 (a; b) и любых чисел1 0; 2 0 таких, что 1 + 2 = 1; имеет место неравенство

Åñëè ïðè x1 6= x2 è 1 2 6= 0 это неравенство является строгим, то функцию называют строго выпуклой.

72

Определение 6.10. Если для функции в (3) имеет место обратное неравенство, то функцию f называют вогнутой.

Замечание. Иногда употребляют следующие эквивалентные термины:

a)выпуклая вниз , выпуклая;

b)выпуклая вверх , вогнутая.

Поскольку все дальнейшие построения проводятся одинаково для функций выпуклых или вогнутых, мы ограничимся рассмотрением выпуклых функций.

Придадим неравенству (3) другой вид.

Из сооношений x = 1x1 + 2x2; 1 + 2 = 1 имеем

поэтому (3) можно переписать в виде

Учитывая, что x1 x x2 è x1 < x2; после домножения на x2 x1 получаем

(x2 x)f(x1) (x2 x1)f(x) + (x x1)f(x2) 0:

Поскольку x2 x1 = (x2 x)+(x x1); из последнего неравенства находим,

ïðè a < x1 < x < x2 < b:

Неравенство (4) является иной формой записи определения выпуклости функции на интервале (a; b):

Предположим теперь, что функция f диффуренцируема на (a; b): Тогда устремляя в (4) x поочередно к x1 è x2; получаем

f0(x1) f(x2) f(x1) f0(x2); x2 x1

73

что означает монотонность производной f0 " :

Учитывая это, для строго выпуклой функции, пользуясь теоремой Лагранжа, находим

ïðè x1 < 1 < x < 2 < x2; т.е. строгая выпуклость влечет строгую монотонность производной f0 "" :

С другой стороны, для f < x1 < x < x2 < b по теореме Лагранжа

ãäå x1 < 1 < x < 2 < x2; è åñëè f0( 1) f0( 2); то выполнено условие

(4)выпуклости (или строгой выпуклости, если f0( 1) < f0( 2)). Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 6.9.1. (критерий выпуклости дифференцируемой функции). Пусть функция f дифференцируема на интервале (a; b): Тогда

f выпуклая , f0 " :

При этом условию f0 "" соответствует строгая выпуклость f:

Используя доказанные ранее необходимые и достаточные условия монотонности функций, нетрудно получить в качестве следствия предыдущей теоремы следующую теорему.

Теорема 6.9.2. (критерий выпуклости 2-дифференцируемой функции). Пусть функция 2-дифференцируема на интервале (a; b): Тогда

для строгой выпуклости функции, но не является необходимым. Задание. Доказать, что дифференцируемая на интервале функция

является выпуклой тогда и только тогда, когда ее график всеми своими точками лежит не ниже любой проведенной к нему касательной.

Рассмотреть отдельно случай строгой выпуклости.

74

Определение 6.11. Пусть функция дифферкнцируема в некоторой окрестности точки x0: Если слева от точки x0 функция выпуклая, а справа вогнутая, или наоборот, то точка x0 называется точкой перегиба.

Наконец, несколько слов об асимптотах функции.

Определение 6.12. Прямая y = a на плоскости xOy называется вертикальной асимптотой графика функции f; если один из пределов

равен 1:

Определение 6.13. Прямая y = kx + b на плоскости xOy называется наклонной асимптотой графика функции f при x ! +1; если

(x) = f(x) kx b ! 0 ïðè x ! +1:

Аналогично определяется асимптота при x ! 1:

Теорема 6.9.3. Прямая y = kx+b является асимптотой графика функции f при x ! +1 тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

1) lim f(x) = k;

x!+1 x

2)lim (f(x) kx) = b:

x!+1

Доказательство. Доказать самостоятельно.

Лекция 11

7Глава. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Теперь мы изучим операцию, обратную по отношению к операции дифференцирования, т.е. займемся вопросом о восстановлении функции по известной производной этой функции.

75

7.1Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

Определение 7.1. Пусть функции F и f определены на интервале (a; b): Функция F называется первообразной функции f; если

8x 2 (a; b) F 0(x) = f(x):

Теорема 7.1.1. Если F является первообразной функции f на интервале (a; b); то при любом C 2 R функция F + C является первообразной функции f на этом интервале.

Доказательство. Заключение теоремы верно, поскольку

8x 2 (a; b) (F (x) + C)0 = F 0(x) + 0 = f(x):

Теорема 7.1.2. Åñëè F1 è F2 - первообразные функции f на интервале (a; b); то 9C 2 R такое, что

8x 2 (a; b) F1(x) = F2(x) + C:

Доказательство. Положим (x) = F1(x) F2(x): Поскольку 0(x) = F10(x) F20(x) = f(x) f(x) = 0 8x 2 (a; b); то в силу одной из теорем, доказанных ранее, const = C; т.е. F1 = F2 + C:

Следствие. Если F - одна из первообразных функции f; то любая первообразная имеет вид = F + C; где C - некоторая постоянная.

Определение 7.2. Совокупность всех первообразных функции f на интервале (a; b) называется неопределенным интегралом от функции f и

обозначается символом Z

f(x)dx:

Если F - одна из первообразных функции f; то в силу выше сказан-

где C - любая постоянная.

Отметим прежде всегодва свойства, непосредственно вытекающие из определения неопределенного интеграла:

76

R

1. d f(x)dx = f(x)dx:

R

2.dF (x) = F (x) + +C:

Следующие два свойства называют свойствами линейности интегра-

ëà:

R R R

3. (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx:

RR

4. cf(x)dx = c f(x)dx (c = const):

Эти два свойства являются следствием свойства линейности операции дифференцирования.

7.2Основные методы интерирования

Теорема 7.2.1. (формула замены переменной). Пусть f определена на интервале (a; b) и

Z

f(t)dt = F (t) + C;

а функция : ( ; ) ! (a; b) дифференцируема. Тогда функция (f ) 0 имеет на интервале ( ; ) первообразную, причем

Z

f( (x)) 0(x)dx = F ( (x)) + C:

Доказательство. Для доказательства достаточно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции

F ( (x)) 0 = F 0( (x)) 0(x) = f( (x)) 0(x):

Теорема 7.2.2. (формула интегрирования по частям). Пусть функции f и g дифференцируемы на интервале (a; b) и функция gf0 имеет

первообразную. Тогда функция fg0 имеет первообразную, причем

Z Z

f(x)g0(x)dx = f(x)g(x) g(x)f0(x)dx:

77

Доказательство. Согласно правилу дифференцирования произведения

имеем

f(x)g(x) 0 = f0(x)g(x) + f(x)g0(x) 8x 2 (a; b):

Это означает, что функция f(x)g(x) является первообразной функции h(x) = f0(x)g(x) + f(x)g0(x):

Тогда в силу свойства линейности интеграла функция f(x)g0(x) = h(x) f0(x)g(x)

тоже имеет первообразную, причем

Z Z Z Z

f(x)g0(x)dx = h(x)dx g(x)f0(x)dx = f(x)g(x) g(x)f0(x)dx:

8Глава. Определенный интеграл Римана

8.1Определение интеграла Римана. Необходиое условие интегрируемости.

Определение 8.1. Пусть [a; b] - отрезок на числовой прямой. Набор точек fxkgnk=0 такой, что

a = x0 < x1 < : : : < xn 1 < xn = b;

будем называть разбиением отрезка [a; b] и обозначать P = P[a;b] =

fxkgnk=0:

Обозначим k = [xk 1; xk]; xk = xk xk 1 (k = 1; : : : ; n):

Диаметром разбиения P назовем число d = d(P ) = max xk:

Систему точек P = f kgnk=1 такую, что k 2 k; k = 1; : : : ; n; будем называть системой промежуточных точек, соответствующей разбиению P:

Определение 8.2. Пусть вещественнозначная функция f определена на отрезке [a; b]: Сумма

n

X

(P ) = (P; P ) = (f; P; P ) = f( k) xk

k=1

называется интегральной суммой Римана.

78

Задание. Выяснить геометрический смысл интегральной суммой Римана в случае неотрицательной функции.

Определение 8.3. Число I называют пределом интегральных сумм

Римана при стремлении диаметра разбиения к нулю и обозначают

I = lim (P ); åñëè

d!0

8 > 0 9 > 0 8(P; P ) (d(P ) < ) j (P; P ) Ij < )

Функцию f в этом случае называют интегрируемой по Риману на отрезке [a; b]; а число I - интегралом Римана и обозначают символом

b

Z

f(x)dx = I = lim (P ):

d!0

a

Теорема 8.1.1. Если функция f интегрируема на отрезке [a; b]; то она ограничена.

Доказательство. От противного. Пусть функция не ограничена на отрезке [a; b] и P - произвольное разбиение отрезка. Тогда найдется нату-

ральное i такое, что на отрезке i функция f не ограничена. Представим сумму Римана

n

X

(P ) = f( i) xi + f( k) xk = f( i) xi + A:

k=1;k6=i

В силу свойств модуля имеем

j (P )j = jf( i) xi + Aj jf( i)j xi jAj

Для произвольного числа M > 0 найдется точка i 2 i такая, что

jf( i)j > jAj + M ;

xi

следовательно, j (P )j > M и интегральные суммы не имеют предела, что противоречит интегрируемости функции f:

79

Лекция 12

8.2Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу.

Определение 8.4. Пусть функция f определена и ограничена на от- резке [a; b]; P = fxkgnk=0 - разбиение отрезка. Положим

будем называть, соответственно, верхней и нижней суммами Дарбу функции f для данного разбиения.

Задание. Выяснить геометрический смысл сумм Дарбу в случае неотрицательной функции.

Свойства сумм Дарбу.

Доказательство. Докажем неравенство для верхней суммы. Достаточно рассмотреть случай, когда разбиение P1 отличается от P одной точкой. Пусть это будет точка x 2 (xk 1; xk): Тогда в выра-

жении для S(P ) слагаемое Mk xk заменится на

Mk0 (x xk 1) + Mk00(xk x );

80