lektsii_141_matan1
.pdfСогласно критерию интегрируемости f2 2 R[a; b]: |
|
|
f g |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Для доказательства |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3. Докажем |
|
|
|
|
|
интегрируемости произведения |
|
|
|
|
представим |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 : Òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
åãî â âèäå f g = 1=4[(f +g) |
|
|
|
g) ] и воспользуемся уже доказанным. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
интегрируемость функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
f( ) f( ) |
|
|
1 |
|
|
(M |
(f) |
|
m |
|
(f)); |
|
||||||||||||||
|
|
f( ) |
f( ) |
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f( )f( ) |
k |
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
òî |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Mk( |
|
) mk( |
|
) |
|
(Mk(f) mk(f)) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
f |
C2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
è |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
S( |
|
|
; P ) s( |
|
; P ) |
|
(S(f; P ) s(f; P )) < |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
f |
f |
C2 |
|
C2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно критерию интегрируемости |
f1 2 R[a; b]: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Замечание. Из интегрируемости функции jfj не следует интегриру- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
емость функции f: Привести пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Теорема 8.4.4. (о монотонности интеграла). Пусть |
|
|
f; g 2 R[a; b] è |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
при всех x 2 [a; b] f(x) g(x): Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bb
ZZ
f(x)dx g(x)dx:
aa
Доказательство. Очевидно, что согласно условию теоремы для любого разбиения P и системы промежуточных точек P выполняется неравен- ñòâî
(f; P; P ) (g; P; P ):
Переходя в неравенстве к пределу при d(P ) ! 0; получим
bb
ZZ
f(x)dx g(x)dx:
aa
91
Следствие 1. Åñëè f 2 R[a; b] è ïðè âñåõ x 2 [a; b] f(x) 0; òî
b
Z
f(x)dx 0:
a
Следствие 2. Åñëè f 2 R[a; b]; òî
bb
ZZ
jf(x)dxj jf(x)jdx K(b a);
aa
ãäå K = sup jf(x)j:
x2[a;b]
Теорема 8.4.5. (первая теорема о среднем). Пусть f; g 2 R[a; b] и при
âñåõ x |
2 [ |
a; b |
] |
g |
x |
) |
g |
x |
; M |
= sup |
f |
( |
x |
; m |
= x |
inf f(x): |
||
|
|
( |
|
0 ( ( |
|
) 0) |
|
|
) |
|
2 |
[a;b] |
||||||
Тогда найдется 2 [m; M] такое, что |
|
x2[a;b] |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)g(x)dx = |
Z |
g(x)dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
При дополнительном условии непрерывности функции f на отрезке [a; b] найдется точка 2 [a; b] такая, что
b |
|
b |
Za |
f(x)g(x)dx = f( ) Za |
g(x)dx: |
Доказательство. Рассмотрим случай, когда для всех x 2 [a; b] g(x) 0:
Тогда
mg(x) f(x)g(x) Mg(x);
и в силу монотонности интеграла
|
b |
b |
b |
m Za |
g(x)dx Za |
f(x)g(x)dx M Za |
g(x)dx: |
92
ðåìû |
b |
|
0 = 0 (при любом [m; M]). |
|||||
R |
|
|||||||
Åñëè |
g(x)dx = 0; то равенство для интегралов из заключения тео- |
|||||||
|
a |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
принимает вид |
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
Åñëè Ra |
g(x)dx > 0; то получим неравенство |
|||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
m |
Ra |
f(x)g(x)dx |
M; |
||
|
|
|
|
b |
||||
|
|
|
|
|
Ra |
g(x)dx |
|
|
среднюю часть которого обозначим через : Остальное очевидно.
Ecли при этом функция f непрерывна, то в силу теоремы Коши о промежуточных значениях найдется точка 2 [a; b] такая, что f(x) = :
Следствие. Åñëè f |
2 R[ |
a; b |
; M = sup f(x); |
m = inf f(x); òî |
||
|
] |
x2[a;b] |
x |
[a;b] |
||
найдется 2 [m; M] такое, что |
2 |
|
||||
|
|
|
||||
|
Za |
b |
|
|
|
|
|
f(x)dx = (b a): |
|
|
При дополнительном условии непрерывности функции f на отрезке [a; b] найдется точка 2 [a; b] такая, что
b
Z
f(x)dx = f( )(b a):
a
Доказательство. Нужно взять функцию g(x) 1 и воспользоваться доказанной теоремой.
93
8.5Интеграл Римана как функция верхнего предела интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция f 2 R[a; b]: Определим новую функцию
x |
|
F (x) = Za |
f(t)dt; x 2 [a; b]: |
Теорема 8.5.1. (о непрерывности интеграла по верхнему пределу интегрирования).
|
x |
Пусть функция f R[a; b]: Тогда F (x) = |
f(t)dt является функцией |
непрерывной на этом2отрезке. |
Ra |
Доказательство. Пусть точки x; x + h 2 [a; b]; |
M = sup jf(x)j: Тогда |
||
|
|
|
x2[a;b] |
|
x+h |
x |
|
jF (x + h) F (x)j = j |
Z |
f(t)dt Z f(t)dtjj = |
|
|
a |
a |
|
x+h
Z
= j f(t)dtj Mjhj ! 0 ïðè h ! 0:
x
То есть F (x+h) ! F (x) при h ! 0; что означает непреравность функции F в каждой точке x 2 [a; b]:
Теорема 8.5.2. (о дифференцируемости интеграла по верхнему пределу
интегрирования). |
|
|
f |
2 R[a; b] |
|
|
|
x 2 [a; b]: Тогда |
||||||
Пусть |
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
функция |
|
|
|
|
|
и непрерывна в точке |
|
|||||
функция F (x) = Ra |
f(t)dt дифференцируема в точке x и F 0(x) = f(x): |
|||||||||||||
Доказательство. Используя свойства интеграла, получаем |
||||||||||||||
|
|
h |
|
( |
|
) |
|
|
x+h |
|
|
x+h |
|
|
|
|
F |
x |
= h Z f(t)dt = h Z (f(x) + (f(t) f(x))dt = |
||||||||||
|
F (x + h) |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
94
= h |
x+h |
x+h |
|
x+h |
|||
Zx |
f(x)dt + h |
Zx |
(f(t) f(x))dt = f(x) + h Zx |
(f(t) f(x))dt: |
|||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
Рассмотрим последнее слагаемое. Пусть > 0 - произвольное число. В силу непрерывности функции f в точке x найдется > 0 такое, что при всех t из отрезка [a; b]; удовлетворяющих условию jt xj < ; выполняется неравенство jf(t) f(x)j < : Тогда, если jhj < ; то
h |
x+h |
|
|
||
Z |
(f(t) f(x))dt h jhj = : |
||||
|
1 |
x |
|
1 |
|
|
j j |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что
x+h
Z
lim 1 (f(t) f(x))dt = 0:
h!0 h
x
Поэтому существует предел
lim F (x + h) F (x) = f(x);
h!0 h
òî åñòü F 0(x) = f(x):
Следствие. Если функция f непрерывна на отрезке [a; b]; то она
имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных явля-
x
R
ется функция F (x) = f(t)dt:
a
Теорема 8.5.3. (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]: Тогда
b
Z
f(x)dx = (b) (a);
a
где - произвольная первообразная функции f:
Доказательство. Согласно следствию предыдущей теоремы произвольная первообразная функции f имеет вид
x
Z
(x) = f(t)dt + C; ãäå C = const:
a
95
Положим в этом равенстве сначала x = a; а потом x = b: Тогда
a |
|
b |
(a) = Za |
f(t)dt + C = 0 + C = C; (b) = Za |
f(t)dt + C: |
Отсюда
b
Z
f(x)dx = (b) (a):
a
Замечание. Формулу Ньютона-Лейбница часто записывают в форме
b
Z |
|
ãäå (x) ab |
= (b) (a): |
f(x)dx = (x) ab |
; |
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
8.6Интегрирование по частям и замена переменний в интеграле Римана
(формула интегрирования по частям). Если функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a; b]; то справед-
ливо равенство
Z |
b |
|
ab Z |
b |
u(x)v0(x)dx = u(x)v(x) |
v(x)u0(x)dx: |
|||
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.
Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем
u(x)v(x) 0 = u0(x)v(x) + u(x)v0(x):
По условию теоремы все функции в этом равенстве непрерывны, а зна- чит, и интегрируемы на отрезке. Используя линейность интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получаем
|
|
b |
|
|
b |
b |
u(x)v(x) |
ab |
= Z |
|
u(x)v(x) |
0dx = Z v(x)u0(x)dx + Z u(x)v0(x)dx |
|
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
96
Следствие.(интегральная форма остаточного члена формулы Тейлора). Пусть функция f имеет на отрехке с концами x0 и x непрерывные производные до порядка n + 1 включительно. Тогда справедлива формула Тейлора
f(x) = f(x0) + f0(x0)(x x0) + : : : + f(n)(x0)(x x0)n + rn(x0; x): 1! n!
ãäå |
|
x |
|
rn(x0 |
|
f(n+1)(t)(x t)ndt: |
|
; x) = n! xZ0 |
|||
|
1 |
|
|
Доказательство. Используя формулу Ньютона-Лейбница и формулу интегрирования по частям, проделаем следующую цепочку проебразований, в которых все дифференцирования и подстановки производятся по переменной t :
xx
ZZ
f(x) f(x0) = |
f0(t)dt = f0(t)(x t)0dt = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|||
= f0(t)(x t) x0 |
|
|
x |
f00(t)(x t)dt = f0(x0)(x x0) 2 |
x |
|||||||||||||||||
+Z |
Z f00(t)((x t)2)0dt = |
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0)(x t)2 |
|
x0 + |
2 |
x |
(t)(x t)2dt = |
|||||||
= f0(x0)(x x0) 2f00 |
|
Z f000 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
||||
= f0(x0)(x x0) + 2f00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
f000(t)((x t)3)0dt = : : : = |
|||||||||||
(x0)(x x0)2 2 3 xZ0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= f0(x0)(x x0)+ |
1 |
f00(x0)(x x0)2+: : :+ |
|
|
1 |
|
|
f(n)(x0)(x x0)n+rn(x0; x); |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
2 3 : : : n |
||||||||||||||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rn(x0 |
; x) = n! xZ0 |
f(n+1)(t)(x t)ndt: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
Теорема 8.6.2. (формула замены переменной). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]; функция g имеет непрерывную производную на отрезке [ ; ] и min g(t) = g( ) = a; max g(t) = g( ) = b: Тогда
t2[ ; ] |
t2[ ; ] |
ZZ
f(x)dx = f(g(t))g0(t)dt:
Доказательство. Пусть - первообразная функции f: Согласно правилу вычисления производной сложной функции для всех t 2 [ ; ] имеем ( (g(t)))0 = 0(g(t))g0(t) = f(g(t))g0(t); то есть функция g является
первообразной функции (f |
|
g)g0 |
: Согласно формуле Ньютона-Лейбница |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
Z |
f(g(t))g0(t)dt = (g( )) (g( )) = (b) (a) = Za |
f(x)dx: |
Лекция 14
8.7Несобственный интеграл Римана
Определение, простейшие свойства и критерий Коши.
Определение 8.7. Пусть функция f определена на промежутке [a; +1) и при любом b 2 [a; +1) f 2 R[a; b]: Предел
b
Z
lim f(x)dx;
b!+1
a
если он существует и конечен, называют несобственным интегралом первого рода и обозначают символом
+1
Z
f(x)dx:
a
98
При этом говорят, что несобственный интеграл сходится. В против-
ный интеграл |
+1 |
R |
|
ном случае символ |
f(x)dx употребляют, но говорят, что несобствен- |
a
расходится.
b
R
Аналогично определяют несобственный интеграл f(x)dx:
1
Определение 8.8. Пусть функция f определена на промежутке [a; B); неограничена в окрестности точки B и при любом b 2 [a; B) f 2 R[a; b]:
Предел
b
Z
lim f(x)dx;
b!B 0
a
если он существует и конечен, называют несобственным интегралом второго рода и обозначают символом
B
Z
(x)dx:
a
При этом говорят, что несобственный интеграл сходится. В противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.
Поскольку вопрос о сходимости несобственных интегралов двух типов решается одинаково, будем в дальнейшем рассматривать оба случая вместе, введя следующее определение.
Определение 8.9. Пусть [a; !) - конечный или бесконечный промежуток, а функция f определена на нем и интегрируема на любом отрезке [a; b] [a; !): Тогда по определению
! |
b |
Z |
Z |
f(x)dx := lim |
f(x)dx; |
b!! |
|
a |
a |
если указанный предел существует и конечен.
Задание 1. Доказать, что
+1 |
x |
= 1 |
ïðè > 1; |
|
Z1 |
||||
|
dx |
1 |
|
|
99
и интеграл расходится при 1: Задание 2. Доказать, что
1 |
x |
= 1 |
ïðè < 1; |
Z0 |
|||
|
dx |
1 |
|
и интеграл расходится при 1:
Теорема 8.7.1. (свойства несобственного интеграла). Пусть несобственные интегралы
!!
ZZ
f(x)dx è |
g(x)dx |
|
a |
a |
|
сходятся. Тогда |
|
|
|
! |
|
a) если ! 2 R и f 2 R[a; !]; то значения интеграла Ra |
f(x)dx; ïîíè- |
маемого как в несобственном, так и в собственном смысле, совпадают;
b)при любых 1; 2 2 R функция 1f + 2g интегрируема в несобственном смысле на [a; !) и справедливо равенство
! |
! |
! |
|
Za |
( 1f(x) + 2g(x))dx = 1 Za |
f(x)dx + 2 Za |
g(x)dx; |
c) åñëè c 2 [a; !); òî
! |
c |
! |
|
Za |
f(x)dx = Za |
f(x)dx + Zc |
f(x)dx; |
d)если функция непрерывно дифференцируема и строго монотонна на [ ; ); причем ( ) = a и ( ) ! ! при ! ; 2 [ ; ); то несобственный интеграл от функции (f ) 0 на [ ; ) существует и справедливо равенство
ZZ
f(x)dx = f( (t)) 0(t)dt:
100