TAU-Lektsia_2_5
.pdf
11.6.2. Синтез систем с переменной структурой
Структура системы определяется составом элементов (звеньев) и связью между ними. Изменить структуру системы – это значить изменить состав ее элементов или связи между элементами.
Системой с переменной структурой (СПС) называют систему, в
которой структура в процессе ее функционирования изменяется на основе текущей информации для достижения определенной цели – обеспечения устойчивости, улучшения качества и т. п.
Использование принципов построения СПС при синтезе систем управления позволяет достичь устойчивости и приемлемого качества в тех случаях, когда параметры объекта изменяются в широких пределах или отсутствует информация, необходимая для реализации обычных алгоритмов управления с фиксированной структурой, обеспечивающих заданные требования к системе.
61
Принципы построения СПС
Построение СПС основано на формировании различных структур, обеспечивающих желаемое протекание заданных режимов.
g=0 |
e |
УУ |
u |
y |
|
|
|
Wo(p) |
Пусть в системе управления передаточная функция объекта равна
Wо p |
1 |
|
|
|
T 2 p2
и при формировании закона управления можно воспользоваться информацией о
выходной переменной у и знаке ее производной y . Следовательно, при синтезе линейной системы мы можем воспользоваться только пропорциональным законом управления
u = – ky, k = const. |
(11.8) |
Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
T2λ2 + k = 0,
и его корни при k > 0 будут чисто мнимыми, а при k < 0 – действительными и разных знаков. Следовательно, в первом случае система маргинально устойчива или устойчива по Ляпунову, а во втором случае неустойчива. Таким образом, в рамках фиксированной структуры не удается синтезировать асимптотически
62
устойчивую систему.
СПС с двумя маргинально устойчивыми структурами
Уравнения рассматриваемой системы в нормальной форме имеют вид
|
|
|
x |
x , |
x |
|
k |
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
T 2 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где x1=y. Разделив второе уравнение на первое, получим |
|||||||||||||||
|
dx2 |
|
k |
|
|
x1 |
или |
x2 dx2 |
|
k |
x1dx1 |
||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
dx |
2 |
|
|
x |
|
|
||||||||
|
T |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
T |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проинтегрировав последнее уравнение, получим уравнение эллипса
x2 |
|
x2 |
C |
|
1 |
2 |
|||
T 2 |
k |
|||
|
|
Большая ось эллипса при k = k1 < T2 располагается на оси абсцисс, а при k = k2 >T2 – на оси ординат.
63
Если принять закон управления |
|
|
|
|
k1 , |
x1 x2 |
0 |
(11.9) |
|
u y, |
|
|
0 |
|
k2 |
, |
x1 x2 |
|
|
во второй и четвертой четвертях |
в первой и третьей четвертях – |
|
|
изображающая точка будет |
по фазовым траекториям |
|
|
двигаться по фазовым траекториям |
|
64
СПС с двумя неустойчивыми структурами
g=0 |
e |
УУ |
u |
y |
|
|
|
Wo(p) |
Wо |
p |
|
b |
|
|
|
|
||
p2 |
a p a |
2 |
||
|
|
|
1 |
b 0, a1 0, a2 0
При формировании закона управления можно использовать информацию о выходной переменой и знаке линейной формы s y αy
В данном случае опять при синтезе линейной системы можно воспользоваться только пропорциональным законом управления (11.8). При этом законе управления характеристическое уравнение имеет вид
2 – a1 – а2 + kb = 0.
Рассмотрим две структуры, соответствующие значениям k = k1 и k = k2, при которых корни характеристического уравнения в первом случае (k = k1) являются комплексными с положительной вещественной частью, а во втором случае (k = k2) – вещественными и разных знаков. Так как корнями приведенного уравнения являются
|
a |
|
a |
|
2 |
||
1,2 |
1 |
|
|
1 |
|
a2 kb |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
то такие значения k существуют.
65
Фазовый портрет первой структуры |
Фазовый портрет второй структуры |
Пусть в случае k = k2 корнями являются |
(α1, α2 > 0). Этим |
корням на фазовом портрете соответствуют |
фазовые траектории, |
которые описываются уравнениями x2 + α1x1 = 0 и x2 – α2х1 = 0. Отрицательному корню соответствует фазовая траектория, по которой изображающая точка
движется к началу координат, а положительному корню – фазовая траектория, по
которой изображающая точка удаляется от начала координат.
66
СПС построим так, чтобы переключение с одной структуры на другую происходило на оси ординат и прямой фазовой траектории x2 + α1x1 = 0, по которой изображающая точка движется к началу координат. Такое переключение будет происходит при алгоритме управления
|
k1 , |
x1s 0 |
(11.10) |
|
|
u y, |
|
x1s 0 |
|
где s = x2 + α1x1. |
k2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
При таком алгоритме управления фазовая плоскость делится на две области:
•область I, которая расположена в углах, образованных прямой s = x2 + α1x1 = 0 и осью ординат,
•область II, которая расположена вне указанных углов.
В области I изображающая точка СПС движется по фазовым траекториям второй структуры, в области II
– по фазовым траекториям первой структуры. На фазовых портретах отдельных структур участки траекторий, которые не присутствуют на фазовом портрете СПС, изображены штриховыми линиями.
У систем второго порядка, как правило, все фазовые траектории не являются прямыми. Прямые67 траектории называются вырожденными. В рассмотренном примере одна из структур имеет две вырожденные траектории, а СПС – одну.
СПС со скользящим режимом
Теоретически в СПС с алгоритмом управления (11.10) переходный процесс является апериодическим. Действительно, если изображающая точка в начальный момент не находится на вырожденной траектории, то она будет двигаться по одной из кривых фазовых траекторий, пока не дойдет до вырожденной траектории, а затем будет двигаться по этой прямой траектории.
Однако в действительности из-за наличия ошибок и запаздывания изображающая точка будет перескакивать вырожденную траекторию и все время будет двигаться по кривым фазовым траекториям и переходный процесс будет колебательным.
68
Апериодический переходный процесс может быть достигнут, если в системе создать скользящий процесс. В только что рассмотренной системе можно получить скользящий процесс, если переключение производить не на прямой
s = x2 + α1x1 = 0, которая является вырожденной траекторией одной из структур, а на прямой x2 + βx1 = 0, где β < α1. Если в законе управления (11.10) вместо
s = x2 + α1x1 подставить sβ = x2 + βx1, то получим СПС, у которой фазовый
портрет будет иметь вид
Фазовые траектории в окрестности прямой
sβ = x2 + βx1 = 0
направлены навстречу, поэтому как только изображающая точка, оказавшись на этой прямой, сойдет с нее, она попадет на одну из фазовых траекторий, которая снова ведет к ней. Поэтому когда изображающая точка попадает на эту прямую, начинается скользящий процесс.
69