TAU-Lektsia_2_5

11.5. Фазовые портреты и типы особых точек

Фазовые портреты нелинейных систем характеризуются большим разнообразием, чем фазовые портреты линейных систем. Однако типы особых точек линейных и нелинейных систем совпадают. Здесь имеются в виду те особые точки, в окрестностях которых уравнения нелинейных систем допускают линеаризацию.

31

11.5.1. Фазовые портреты и типы особых точек линейных систем

Решение, фазовый портрет и типы особых точек зависят от корней характеристического уравнения

2 + а1 + а2 = 0.

Из уравнения (11.7) следует, что рассматриваемая система имеет одну особую точку в начале координат. В зависимости от вида фазового портрета в окрестности особых точек последние подразделяются на различные типы.

32

Тип корней: Чисто мнимые

Тип особой точки: Центр

33

Текс программы построения переходного процесса и фазового портрета

>restart;

>with(plots);

>with(DEtools);

>sys := [diff(x1(t), t) = x2(t), diff(x2(t), t) = -a1*x2(t)- a2*x1(t)];

>eq := lambda^2+a1*lambda+a2 = 0;

>aa := solve(eq, lambda);

>ee := solve({lambda[2] = aa[2], lambda[1] = aa[1]}, {a1, a2});

>lambda[1] := -I; lambda[2] := I;

>sys1 := subs(ee, sys);

>sol := dsolve([op(sys1), x1(0) = 0, x2(0) = 1], type = numeric);

>odeplot(sol, [t, x1(t)], 0 .. 10);

>phaseportrait(sys1, [x1(t), x2(t)], t = 0 .. 10, [[x1(0) = 0, x2(0) = 1], [x1(0) = 0, x2(0) = .7], [x1(0) = 0, x2(0) = .35]], stepsize = 0.5e-1, linecolor = blue, scene = [x1(t), x2(t)]);

34

Тип корней: Комплексные с отрицательной

действительной частью

Тип особой точки: Устойчивый фокус

35

>lambda[1] := -1-4*I; lambda[2] := -1+4*I;

>sys1 := subs(ee, sys);

>sol := dsolve([op(sys1), x1(0) = 1, x2(0) = 0], type = numeric);

>odeplot(sol, [t, x1(t)], 0 .. 7, numpoints = 250);

>phaseportrait(sys1, [x1(t), x2(t)], t = 0 .. 10, [[x1(0) = 0, x2(0) = 1], [x1(0) = 0, x2(0) = .7]], stepsize = 0.5e-1, linecolor = blue, scene = [x1(t), x2(t)]);

36

Тип корней: Комплексные с положительной

действительной частью

Тип особой точки: Неустойчивый фокус

37

>lambda[1] := 1-4*I; lambda[2] := 1+4*I;

>sys1 := subs(ee, sys);

>sol := dsolve([op(sys1), x1(0) = 1, x2(0) = 0], type = numeric);

>odeplot(sol, [t, x1(t)], 0 .. 3, numpoints = 250);

>phaseportrait(sys1, [x1(t), x2(t)], t = 0 .. 3.2, [[x1(0) = 0, x2(0) = 1], [x1(0) = 0, x2(0) = .7]], stepsize = 0.5e-1, linecolor = blue, scene = [x1(t), x2(t)]);

38

Тип корней: Действительные отрицательные

Тип особой точки: Устойчивый узел

39