TAU-Lektsia_2_5
.pdf
Тип корней: Действительные положительные
Тип особой точки: Неустойчивый узел
41
>lambda[1] := 1; lambda[2] := 2;
>sys1 := subs(ee, sys);
>sol := dsolve([op(sys1), x1(0) = -1, x2(0) = 0], type = numeric);
>odeplot(sol, [t, x1(t)], 0 .. 1, numpoints = 250);
>phaseportrait(sys1, [x1(t), x2(t)], t = 0 .. 2.2, [[x1(0) = - 0.5e-4, x2(0) = -0.5e-4], [x1(0) = 0.5e-4, x2(0) = 0.5e-4], [x1(0) = -0.5e-4, x2(0) = -0.4e-4], [x1(0) = 0.5e-4, x2(0) = 0.4e-4], [x1(0) = -0.8e-4, x2(0) = -0.7e-4], [x1(0) = 0.8e-4, x2(0) = 0.7e-4], [x1(0) = -0.1e-4, x2(0) = -0.15e-4], [x1(0) = 0.1e-4, x2(0) = 0.15e-4]], stepsize = 0.5e-1, linecolor = blue, scene = [x1(t), x2(t)]);
42
Тип корней: Действительные разных знаков
Тип особой точки: Седло
43
>lambda[1] := -1; lambda[2] := 1;
>sys1 := subs(ee, sys);
>sol1 := dsolve([op(sys1), x1(0) = -1, x2(0) = 0], type = numeric);
>p1 := odeplot(sol1, [t, x1(t)], 0 .. 2, numpoints = 250);
>sol := dsolve([op(sys1), x1(0) = 1, x2(0) = 0], type = numeric);
>p2 := odeplot(sol, [t, x1(t)], 0 .. 2, numpoints = 250);
>display({p1, p2});
>phaseportrait(sys1, [x1(t), x2(t)], t = 0 .. 3.25, [[x1(0) = - 0.27e-4, x2(0) = -0.27e-4], [x1(0) = 0.27e-4, x2(0) = 0.27e-4], [x1(0) = -0.7e-3, x2(0) = 0.7e-3], [x1(0) = 0.7e-3, x2(0) = -0.7e- 3], [x1(0) = -0.6e-3, x2(0) = 0.65e-3], [x1(0) = 0.6e-3, x2(0) = - 0.65e-3], [x1(0) = -0.6e-3, x2(0) = 0.55e-3], [x1(0) = 0.6e-3, x2(0) = -0.55e-3]], stepsize = 0.5e-1, linecolor = blue, scene = [x1(t), x2(t)]);
44
Когда корни характеристического уравнения являются чисто мнимыми, фазовые траектории являются эллипсами или окружностями, т.е. они являются замкнутыми.
Замкнутым фазовым траекториям соответствуют незатухающие колебания (периодические режимы). Однако эти колебания не являются автоколебаниями, так как их амплитуда зависит от начальных условий и они не являются асимптотически орбитально устойчивыми.
Положение равновесия, соответствующее особой точке типа центр, является устойчивым по Ляпунову. Действительно, по заданному ε можно выбрать нужное δ (см. определение 11.3) следующим образом. В качестве δ выбирается любое положительное число, меньшее или равное половине длины меньшей оси эллипса, касающегося изнутри
окружности радиуса ε.
45
11.5.2. Фазовые портреты нелинейных систем
Нелинейные системы могут иметь несколько положений равновесия (особых
точек) и характеризуются большим разнообразием фазовых портретов.
Если правые части нелинейных уравнений |
|
xi Xi x1 , x2 , |
i 1,2 |
допускают линеаризацию в окрестностях особых точек, то эти особые точки
могут быть лишь тех же типов, что и особые точки в случае линейных систем.
Чтобы определить тип какой-либо особой точки, нужно произвести
линеаризацию правых частей приведенных уравнений в окрестности этой точки,
а затем по линеаризованным уравнениям определить ее тип.
46
x1 x1 1 x12 2x2 , x2 x1 x2 .
x1 0 x2 0
x1 1 x12 2x2 0, x1 x2 0.
х |
1 |
=0, x |
2 |
= 0 |
x1 |
x1 2x2 , |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 |
x1 x2 . |
1)х1 =0, x2 = 0;
2)х1 = 1, x2 = –1;
3)x1=–1, x2 = 1
1 |
2 |
|
2 1 0 |
|
|||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1,2 = ±j |
Точка (0,0) является особой точкой типа центр
47
x1 x1 1 x12 2x2 ,
x2 x1 x2 .
х1 = –1, x2 = 1
η1 4η1 2η2 , |
|
||
η = x + 1 |
|||
η2 η1 η2 . |
η1 |
= x1 |
– 1 |
|
2 |
2 |
|
4 |
2 |
|
2 |
3 2 0 |
|
||||
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
1, 2 3 
17 / 2
Точка (– 1, 1) является особой точкой типа седло
48
x1 x1 1 x12 2x2 ,
x2 x1 x2 .
х1 = 1, x2 = –1
η1 4η1 2η2 , |
|
||||||
η = x – 1 |
|||||||
η2 |
η1 η2 . |
|
η1 |
= x1 |
+ 1 |
||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
4 |
2 |
|
2 |
3 2 |
0 |
|
|
|
|
||||||
1 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2 3 
17 / 2
Точка (1, –1) является особой точкой типа седло
49
(– 1, 1) – особая точка типа седло
(0,0) – особая точка типа центр
(1, –1) – особая точка типа седло
Если движение начинается внутри замкнутой красной линии, то возникает колебательный (периодический) процесс. Если движение начинается вне указанной замкнутой кривой, то возникает расходящийся процесс.
|
При наличии |
точек равновесия возможны различные типы |
|
фазовых |
|
|
Особые кривые |
красного цвета на рисунке), разделяющие фазовую |
50 |
плоскость на |
с разными типами фазовых траекторий, называются |
сепаратрисами |
|
|
|
|