TAU-Lektsia_2_5

Определение 11.8. Невозмущенное движение y*(t) называется орбитально устойчивым, если для любого числа ε > 0 найдется такое число > 0, что при всех t≥t0 расстояние от изображающей точки возмущенного движения до траектории невозмущенного движения меньше ε (ρ(y(t),L*) < ε) при условии, что в начальный момент это расстояние меньше (ρ(y(t0),L*) < ).

Определение 11.9. Невозмущенное движение y*(t) называется асимптотически орбитально устойчивым, если оно орбитально устойчиво и найдется такое положительное число η, что расстояние от изображающей точки возмущенного движения до траектории невозмущенного движения стремится к нулю (ρ(y(t),L*) → 0) при t → ∞, если это расстояние в начальный момент не превышает η (ρ(y(t0),L*) < η).

Иначе говоря, невозмущенное движение y*(t) асимптотически орбитально устойчиво, если вокруг его траектории L* существует такая окрестность, что если возмущенное движение начинается в этой окрестности, то его траектория со временем сольется с траекторией невозмущенного движения L*.

21

22

Более того, если невозмущенное движение является периодическим, то оно не может быть асимптотически устойчивым.

Действительно, пусть невозмущенное движение y*(t) является периодической функцией с периодом T: y*(t) = y*(t + T). Рассмотрим возмущенное движение y(t) = y*(t + α). Это возмущенное движение не стремится к невозмущенному движению, как бы мало ни было расстояние между изображающими точками возмущенного и невозмущенного движений в начальный момент. Каким бы малым ни было число η в условии |y(t0) – y*(t0)| < η, если указанное расстояние

как бы велико ни было t'. Следовательно, расстояние между изображающими точками не может стремится к нулю.

В теории нелинейных систем важную роль играет понятие автоколебаний, введенное в теорию колебаний А. А. Андроновым.

Определение 11.10. Автоколебаниями называются асимптотически орбитально устойчивые свободные колебания (периодические движения).

23

Автоколебания являются незатухающими колебаниями, которые устанавливаются и поддерживаются в системе за счет собственных источников энергии, причем амплитуды этих колебаний определяются свойствами системы, а не начальными условиями. Системы, в которых возникают автоколебания,

называются автоколебательными системами.

Автоколебания возможны только в нелинейных системах. Незатухающие свободные колебания возможны в маргинально устойчивых линейных системах. Однако эти колебания не являются автоколебаниями, так как они не удовлетворяют условиям асимптотической орбитальной устойчивости.

Если на выходе какой-либо системы возникают незатухающие колебания, то чтобы проверить, являются ли эти колебания автоколебаниями, можно поступить следующим образом: подать на вход системы возмущающее воздействие, которое приводит к незначительному изменению амплитуды; если после устранения возмущающего воздействия амплитуда колебаний со временем восстанавливается, то эти колебания являются автоколебаниями, в противном случае они не являются автоколебаниями.

24

11.4. Изображение процессов на фазовой плоскости

Если уравнения системы управления представлены в нормальной форме, то вектор состояния системы однозначно определяет ее состояние. Каждому состоянию системы в пространстве состояний соответствует точка. Точка, соответствующая текущему состоянию системы, называется изображающей точкой.

При изменении состояния изображающая точка описывает траекторию. Эта траектория называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий, соответствующая всевозможным начальным условиям, называется фазовым портретом.

Наглядно фазовую траекторию и фазовый портрет можно представить в случае двухмерного фазового пространства. Двухмерное фазовое пространство называется фазовой плоскостью.

25

Фазовая плоскость – это координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Метод анализа и синтеза системы управления, основанный на построении фазового портрета, называют

методом фазовой плоскости.

фазовых траекторий. Параметром здесь является время. Построив фазовые траектории по этим уравнениям при различных начальных условиях, получим фазовый портрет.

26

Уравнения (11.5) являются дифференциальными уравнениями фазовых траекторий в параметрической форме. Разделив второе уравнение на первое,

уравнение будем называть (непараметрическим) дифференциальным уравнением фазовых траекторий.

Точки, в которых правая часть уравнения (11.6) равна отношению нулей, называются особыми. Особые точки являются корнями системы уравнений

Xi(x1,x2) = 0, i = 1,2.

Как следует из уравнений (11.5), в особых точках фазовая скорость равна нулю. Следовательно, особые точки являются положениями равновесия. Через особые точки может проходить более одной траектории, в то время как через неособые точки проходит только одна траектория.

27

Часто при изображении процессов на фазовой плоскости за фазовую координату x2, которую откладывают по оси ординат, принимают производную координаты x1, откладываемой по оси абсцисс. В этом случае уравнение (11.6) принимает

вид

dx2 X1 x1 , x2 dx1 x2

ифазовые траектории обладают следующими свойствами.

•В верхней полуплоскости изображающая точка движется слева направо, так как x1 x2 0 и x1 возрастает.

•В нижней полуплоскости, наоборот, изображающая точка движется справа налево, так как x1 x2 0 и x1 убывает.

•На оси абсцисс (x2 = 0) производная dx2/dx1 = ∞ (за исключением точек равновесия), и поэтому фазовые траектории пересекают ось абсцисс под

прямым углом.

По фазовому портрету можно судить о характере переходных процессов. В частности, по фазовой траектории можно построить без расчетов качественно временную характеристику – кривую зависимости x1 от времени, и, наоборот, по временной характеристике можно качественно построить фазовую траекторию.

28

Построение временных характеристик по фазовому портрету

29