TAU-Lektsia_2_5
.pdf
Фазовые портреты нелинейных систем могут содержать другой тип особой кривой
– изолированные замкнутые траектории. Эти кривые называются предельными циклами.
Если изнутри и снаружи фазовые траектории сходятся к предельному циклу, то такой предельный цикл называется
устойчивым предельным циклом.
Устойчивому предельному циклу соответствует асимптотически орбитально устойчивое периодическое движение (автоколебания).
В системе, у которой фазовый портрет имеет вид, представленный на рисунке, автоколебания возникают самопроизвольно при любых начальных условиях. В этом случае говорят, что имеет место мягкое самовозбуждение.
51
Если фазовые траектории изнутри и снаружи предельного цикла удаляются от него, такой предельный цикл называется неустойчивым предельным циклом.
Периодический процесс, соответствующий неустойчивому предельному циклу, нельзя наблюдать. Если движение начинается внутри такого предельного цикла, то процесс сходится к положению равновесия. Если движение начинается вне такого предельного цикла, то процесс расходится. Неустойчивый предельный цикл служит границей области притяжения, или границей устойчивости положения равновесия
(начала координат).
52
Внутренний предельный цикл устойчив, и ему соответствуют автоколебания, а наружный предельный цикл неустойчив и является границей области автоколебаний: автоколебания возникают при любых начальных отклонениях, не выходящих за наружный предельный цикл.
Наружный предельный цикл является устойчивым и соответствует автоколебаниям, а внутренний предельный цикл является неустойчивым и является границей области притяжения положения равновесия. В системе с таким фазовым портретом автоколебания возникают при достаточно большом отклонении системы от положения равновесия – отклонении, выходящем за пределы внутреннего предельного цикла. Если движение системы начинается внутри неустойчивого предельного цикла, то она приближается к положению равновесия. В этом
случае говорят, что имеет место жесткое
53
самовозбуждение.
11.6. Метод фазовой плоскости анализа и синтеза систем
По фазовому портрету системы можно судить о ее устойчивости и характере переходных процессов.
Метод исследования систем, основанный на построении их фазового портрета, называется методом фазовой плоскости.
Достоинством метода фазовой плоскости является то, что он позволяет наглядно представить всевозможные процессы, происходящие в системе, и является точным, а не приближенным (как, например, метод гармонической линеаризации, который мы рассмотрим далее). Его недостатком является то, что он применим только к системам второго порядка.
54
11.6.1. Анализ нелинейных систем
Нелинейная система с реле с зоной нечувствительности
g=0 
e
α |
u |
1 |
y |
|
|||
|
α |
p2 |
|
|
|
|
|
1, |
|
e α , |
||||
y u, e g0 |
|
|
|
|
α , |
||
|
|
|
|||||
y, u |
0, |
|
e |
||||
|
|
|
e α |
||||
|
1, |
||||||
x1 e, x2 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
x1 α , |
||
x1 x2 , x2 |
u, u |
|
|
|
x1 |
|
α , |
|
|
|
|||||
0, |
|
|
|
||||
55 |
|
1, |
|
x α |
|||
|
|
|
1 |
|
|
||
Разобьем фазовую плоскость на три области I, II, III прямыми x1 = α и x1 = –α. В пределах каждой области u = const. Поэтому, разделив в последней системе второе уравнение на первое и проинтегрировав его, получим
x22 2ux1 C
В области I (x1 < –α) u = – 1, и уравнение фазовых траекторий имеет вид x22 2x1 C1 ; оно определяет семейство парабол, направленных вправо.
|
|
|
|
|
|
В области II (|x1| ≤ α) u = 0, и уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фазовых траекторий имеет вид |
x22 C2 ; оно |
|
|
|
|
|
|
|
|
определяет семейство прямых, параллельных |
|
||
|
|
|
|
|
|
оси абсцисс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 , |
|
u, |
|
|
|
|
||
x1 |
x2 |
В области III (x1 > α) u = 1, и уравнение |
|
|
|||||
|
1, |
|
|
x1 |
α , |
C3 |
|
||
|
|
|
фазовых траекторий имеет вид |
2 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
x2 2x1 |
|||
u 0, |
|
|
x1 |
α , |
оно определяет семейство парабол, |
|
|
||
|
1, |
x |
α |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
направленных влево. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения фазовых траекторий во всех трех областях различаются между собой, и при переходе из одной области в другую через границу происходит
56переключение с одного вида траекторий на другой. Линии, на которых происходят такие переключения, называются линиями переключения.
На основе полученных уравнений построен фазовый портрет системы. Как следует из этого рисунка, при ненулевых начальных условиях в системе возникают незатухающие колебания. Амплитуда колебаний зависит от начальных условий, и, следовательно, эти колебания не являются автоколебаниями. Положение равновесия (начало координат) неустойчиво, так как, если принять ε < α, то какое бы малое положительное числомы ни выбрали, возмущенное движение, начинающееся внутри сферы радиуса , всегда
достигает сферы с радиусом ε.
57
Нелинейная система со скользящим процессом
g=0 |
e |
c |
σ |
k1 |
y |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
-c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2p+1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y k1σ , |
σ c sign e, |
e k2 y y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x1 y, x2 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 |
x2 , |
|
|
|
|
dx2 |
|
k1c sign k2 x2 x1 |
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
x |
|
||||
x2 |
k1c sign k2 x2 |
x1 |
. |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
58
Прямая АВ, которая описывается уравнением
k2x2 + x1= 0, или x2 = – (l/k2)x1, делит фазовую плоскость на две области: область I (k2x2 + x1> 0)
и область II (k2x2 + x1< 0).
|
|
|
|
dx2 |
|
k1c sign k2 x2 x1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
dx |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
в области I |
|
|
в области II |
||||||||
|
dx2 |
|
k1c |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dx2 |
|
k1c |
|
|||
|
dx1 |
x2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dx1 |
x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
или |
|||
x2dx2 |
k1cdx1 |
|||
x2dx2 |
k1cdx1 |
|||
|
|
|||
Уравнения для фазовых траекторий
в области I |
|
|
в области II |
||||
x2 |
2k cx C |
x2 |
2k cx C |
2 |
|||
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
59
Эти уравнения являются уравнениями парабол, направленных навстречу друг другу. На основе этих уравнений построен фазовый портрет.
Из этого рисунка следует: если изображающая точка не находится на линии переключения (прямая АВ), то она до достижения этой прямой будет двигаться по одной из фазовых траекторий. Как только изображающая точка пересечет линию переключения, она попадет на одну из фазовых траекторий, направленных в сторону линии переключения. Поэтому изображающая точка опять будет двигаться в сторону линии переключения, пока не пересечет ее. Как только изображающая точка снова пересечет линию переключения, она опять окажется на фазовой траекторий, направленной в сторону линии переключения. Поэтому изображающая точка по достижении линии переключения будет двигаться по ней, теоретически совершая колебания с бесконечно малой амплитудой и бесконечно большой частотой. В действительности, так как реле обладает конечной скоростью переключения, частота не будет бесконечно большой, а амплитуда бесконечно малой.
Таким образом, когда изображающая точка достигнет линии переключения, она теоретически будет скользить по этой линии и двигаться к положению равновесия. Такой процесс называют скользящим режимом.
60