TAU-Lektsia_2_5
.pdf
Пусть система управления описывается уравнениями |
|
|
yi |
Yi y1 , y2 , , yn ,t , i 1,2, , n |
|
или, в векторной форме, |
y Y y,t |
|
|
(11.1) |
|
Допустим, что y* t y1* t |
y2* t yn* t T – частное решение уравнения |
|
(11.1), которое описывает интересующее нас движение. Это движение и само решение называют невозмущенным движением (траекторией). Любое другое решение и движение, которое описывается этим решением, называют
возмущенным движением (траекторией).
Принимается, что в фазовом пространстве (пространстве состояний) Rn рассматриваемой системы введена евклидова метрика (норма), т.е. длина (норма) вектора y, и расстояние между точками y(1) и y(2) определяются следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
yi2 |
, |
y 1 y 2 |
|
yi 1 yi 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
Если y(t) = (y |
(t) y |
(t) ... y |
(t))T – какая-либо траектория системы (11.1), то точка в |
|||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
фазовом пространстве, соответствующая этой траектории в текущий момент времени t, называется изображающей точкой.
11
Определение 11.1. Невозмущенное движение y*(t) называется устойчивым по
Ляпунову, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число , что расстояние между изображающими точками
невозмущенной траектории y*(t) и какой-либо возмущенной траектории y(t) в
любой момент времени t ≥ t0 меньше ε, если только расстояние между этими траекториями в начальный момент t = t0 меньше , т.е. если выполняется условие
|y*(t) – y(t)|< ε t≥t0, если |y*(t0) – y(t0)| < . |
(11.2) |
Число , которое определяется по заданному числу ε, в общем случае зависит как от ε, так и от начального момента t0. Если можно выбрать число , не зависящее от начального момента t0, то говорят, что невозмущенное движение
равномерно устойчиво.
12
Определение 11.2. Невозмущенное движение называется асимптотически
устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое
положительное число η, что расстояние между изображающими точками
невозмущенной и возмущенной траекторий стремится к нулю при стремлении времени к бесконечности, как только расстояние между этими траекториями в
начальный момент меньше η, т.е. когда выполняется условие
|y*(t) – y(t)| → 0 при t → ∞, если |y*(t0) – y(t0)| < η. |
(11.3) |
13
Прежде чем переходить к другим понятиям устойчивости, преобразуем исходное уравнение. Дело в том, что при исследовании устойчивости методом функций Ляпунова уравнения системы управления должны быть записаны в отклонениях, т.е. так, чтобы невозмущенному движению соответствовало нулевое решение.
Введем новые переменные, которые определяются следующим образом:
x= y – y*.
Вновых переменных уравнение (11.1) примет вид
x X x,t |
(11.4) |
X x,t Y x y* ,t y* t |
|
Невозмущенному движению системы (11.4) соответствует нулевое решение x*(t) = 0. Кроме того, нулевое решение (начало координат) является положением равновесия системы (11.4). Действительно, имеем X 0,t Y y* ,t y* t 0. Таким образом, при таком преобразовании проблема устойчивости невозмущенного движения сводится к проблеме устойчивости положения равновесия. Любое ненулевое решение является возмущенным движением.
14
Определение 11.3. Положение равновесия x = 0 системы (11.4) называется
устойчивым по Ляпунову, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число , что в любой момент времени t ≥ t0 расстояние от изображающей точки возмущенного движения до начала координат |x(t)| меньше
ε, когда начальное отклонение |x(t0)| меньше , т.е. когда выполняется условие
|x(t)| < ε t≥t0, если |x(t0)| < .
Определение 11.4. Положение равновесия x = 0 системы (11.4) называется
асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и найдется такое положительное число η, что возмущенное движение x(t) стремится к началу координат, если начальное отклонение |x(t0)| меньше η, т.е. когда выполняется условие
x(t) → 0 при t → ∞, если |x(t0)| < η.
15
Геометрическая интерпретация определений устойчивости
x2 |
|
Устойчивость по Ляпунову означает, что, если |
|
|
задана сфера Sε радиуса ε, то существует сфера S |
|
S |
радиуса такая, что, если возмущенное движение |
|
|
x1 |
начнется внутри сферы S , то изображающая точка
никогда не достигнет сферы Sε, т. е. движение будет
Sε
происходить внутри сферы Sε.
x2
Асимптотическая устойчивость означает, что
выполняется условие устойчивости по Ляпунову и |
|
|
существует сфера Sη радиуса η такая, что если |
Sη |
|
x1 |
||
возмущенное движение начинается внутри сферы |
|
|
|
|
|
Sη, то оно стремится к началу координат при стремлении времени к бесконечности.
16
Если положение равновесия x = 0 асимптотически устойчиво, то множество всех начальных точек x0, из которых возмущенное движение приходит в начало координат при стремлении времени к бесконечности, называется областью притяжения начала координат. Иначе говоря, если точка x0 принадлежит области притяжения начала координат, то выполняется условие
lim x(x0,t) → 0 при t → ∞,
где x(x0,t) – решение уравнения (11.4) при начальном условии x(t0) = x0 (x(x0,t0)= x0).
Определение 11.5. Положение равновесия x = 0 системы (11.4) называется глобально устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и при любых начальных условиях все ее фазовые координаты ограничены при всех t ≥ t0.
Это определение устойчивости тесно связано с определением устойчивости по Лагранжу. Система (11.4) называется устойчивой по Лагранжу, если все ее решения ограничены на всем интервале 0 ≤ t < ∞. Очевидно, положение равновесия x = 0 системы (11.4) будет глобально устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и устойчиво по Лагранжу.
17
Определение 11.6. Положение равновесия x = 0 системы (11.4) называется
асимптотически устойчивым в целом или глобально асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и возмущенное движение стремится в начало координат из любого начального положения.
Другими словами, положение равновесия называется глобально асимптотически устойчивым, если его область притяжения совпадает со всем фазовым пространством.
Рассмотрим, как соотносится определение устойчивости линейных систем с рассмотренными здесь определениями устойчивости. Если положение равновесия линейной системы устойчиво, то возмущенное движение стремится к положению равновесия из любого начального положения. Так что принятое в теории линейных систем определение устойчивости совпадает с определением глобальной асимптотической устойчивости.
В случае линейных систем положение равновесия (система) считается неустойчивым, если не выполняется критерий устойчивости, т.е. если не все корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости. Однако в общем случае с понятием неустойчивости не все так просто. Поэтому специально остановимся на его определении. При этом, как и выше, сферу
радиуса ρ с центром в начале координат обозначим Sρ.
18
Определение 11.7. Положение равновесия x = 0 системы (11.4) называется неустойчивым, если существует такое число ε > 0, что для любого числа > 0 найдется такая точка внутри сферы S , что возмущенное движение, начинающееся в этой точке, достигает сферы Sε.
Другими словами, положение равновесия x = 0 системы (11.4) называется неустойчивым, если существует такое число ε > 0, что не найдется сфера S , которая не содержала бы внутри себя точки, начиная с которой возмущенное движение достигает сферы Sε.
Это определение является логическим отрицанием определения устойчивости по Ляпунову. Поэтому если положение равновесия не является устойчивым по Ляпунову, то оно неустойчиво.
Положение равновесия линейной системы, неустойчивое в том смысле, как это принято в теории линейных систем, не обязательно будет неустойчивым в определенном выше смысле. Как увидим дальше, если линейная система неустойчива (т.е. не все корни ее характеристического уравнения являются левыми), но имеет место маргинальная устойчивость (характеристическое уравнение не имеет правых корней), то система может быть устойчива по Ляпунову.
19
11.3. Орбитальная устойчивость. Автоколебания
Пусть y*(t) и y(t) – невозмущенное и возмущенное движение соответственно. Выше при определении различных понятий устойчивости мы руководствовались тем, как изменяется со временем расстояние ρ[y*(t), y(t)] = |y*(t) – y(t)| между изображающими точками этих движений. Однако если невозмущенное движение является периодическим и совершается по замкнутой траектории (например, движение небесных тел), то важно, как ведет себя изображающая точка возмущенного движения относительно траектории невозмущенного движения, а не относительно его изображающей точки. Поэтому при рассмотрении периодических процессов используются понятия устойчивости, отличные от рассмотренных выше, – орбитальная устойчивость и асимптотическая орбитальная устойчивость.
Введем следующие обозначения:
L* – траектория невозмущенного движения, т.е. L* = {y: y = y*(t), t≥t0}; ρ(y, L) – расстояние от точки y до траектории L, т.е. до ближайшей точки
20 этой траектории.