Вартанян.Функциональный анализ. (1)
.pdfДоказательство, а) Так как X0 = Ar (X) = Rr, òî
A X0 = Ar+1 (X) = Rr+1 = Rr.
Åñëè Ax = 0, ãäå x X0, òî, âçÿâ n ≥ r так, чтобы в соответствии с леммой 2 было
Nn = Nn+1, будем иметь x Rn и, следовательно, существует x X такой, что x = Anx.
Но тогда 0 = Ax = An+1x, и поэтому x Nn+1 = Nn, ò. å. x = Anx = 0. b) Имеем
Ar = (I − T )r = I − T1,
где оператор T1 есть линейная комбинация положительных степеней оператора T . Таким образом, оператор T1 компактен. Так как для x X00 будет T1x = x, то каждое ограниченное
множество в X00 предкомпактно, но тогда X00 |
конечномерно. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Множество A (X00) в случае r > 0 есть, очевидно, Nr |
− |
1 |
|
Nr = X00. Åñëè æå |
r = 0, òî |
||||||||||||
X00 = {0} и включение A (X00) X00 |
тривиально. |
|
|
|
|
|
|
. Íà |
|||||||||
c) Обозначим через A0 оператор A, рассматриваемый лишь на множестве X0 |
|
|
|||||||||||||||
основании леммы 1, примененной к оператору Ar = I |
|
|
T1, заключаем, что множество |
||||||||||||||
X0 замкнуто и, следовательно, является банаховым |
пространством. Поэтому оператор |
A0, |
|||||||||||||||
|
− |
|
|
|
A0− |
1 |
|
||||||||||
взаимно однозначно отображающий |
X0 |
на себя, имеет непрерывный обратный |
|
|
|||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
x произвольный элемент из X; положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x0 = A0−rArx, x00 = x − x0 = x − A0−rArx. |
|
|
|
|
|
||||||||||
ßñíî, ÷òî x0 X0', à òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Arx00 = Arx − ArA0−rArx = Arx − Arx = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||
òî x00 |
X00, |
что и доказывает |
возможность представления x в форме x |
|
= x0 + |
||||||||||||
x00 (x0 |
X0, x00 |
X00). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Åñëè |
x = x10 + x100 x10 X0, x100 X00 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
элемента |
x |
, òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
какое-нибудь другое представление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Arx = Arx01 + Arx001 = Arx01.
Íî òàê êàê x10 X0, òî Arx10 |
= A0rx10 поэтому x10 = A0rx10 = A0−rArx = x0 и единственность |
||||||
представления доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
Наличие оценок |
||x0|| ≤ M||x||, ||x00|| ≤ M||x||. |
|
|
||||
|
A0− |
|
|||||
d) Ввиду того, что |
|
x0 |
|
x00 |
|
. |
|
вытекает на основании построения элементов |
|
è |
|
и из непрерывности оператора |
|
1 |
|
T = I − A, äëÿ x0 X0 |
имеем |
|
|
|
T x = x − Ax X0,
т. е. оператор T отображает X0 в себя. Аналогично убеждаемся, что T (X00) X00. Для произвольного x X положим
T 0x = T x0, T 00x = T x00,
ãäå x0 X0 è x00 X00 из представления элемента x в форме
x = x0 + x00 x0 X0, x00 X00 .
Учитывая оценки
||x0|| ≤ M||x||, ||x00|| ≤ M||x||.
71
убеждаемся, что T 0 è T 00 непрерывные линейные операторы. Кроме того, ясно, что T = T 0 + T 00 è T 0 (X) X0, T 00 (X) X00. Далее, очевидно,
T 0 X00 = T 00 X0 = {0} .
Из этих соотношений следует, что
T 0T 00 = T 00T 0 = 0.
Оператор T 00 отображает пространство X в конечномерное пространство X00, в котором всякое ограниченное множество предкомпактно. Поэтому T 00 компактный оператор. Но T 0 = T − T 00, и можно заключить, что оператор T 0 компактен.
Докажем, наконец, что оператор A0 = I−T 0 имеет двусторонний непрерывный обратный. Для этого достаточно установить. во-первых, ÷òî A0x = 0 влечет x = 0 è, во-вторых, ÷òî A0 (X) = X. Пусть A0x = 0. Представляя x в форме x = x0 +x00 (x0 X0, x00 X00), получим
0 = A0x = x − T 0x = x0 − T x0 + x00 = Ax0 + x00.
Òàê êàê Ax0 X0, то вследствие единственности представления элемента 0 в форме x = x0 + x00 будем иметь
Ax0 = x00 = 0
н на основании пункта а) x0 = 0. Тем самым x = x0 + x00 = 0.
Рассмотрим теперь произвольный элемент y X. Представим его в форме
и положим |
y = y0 + y00 y0 X0, y00 X00 |
|
x = A0−1y0 + y00. |
Òàê êàê A0−1y0 X0, òî |
|
è |
T 0x = T A0−1y0 |
T 0x = x − T 0x = A0−1y0 − T A0−1y0 + y00 = AA0−1y0 + y00 = y0 + y00 = y. |
Èòàê, T 0 (X) = X.
Теорема полностью доказана.
Замечание. Пусть m означает наименьшее из неотрицательных целых чисел n таких, что Nn = Nn+1. Тогда m = r.
В самом деле, беря x Nr+1 и представляя его в форме x = x0 + x00 (x0 X0, x00 X00), |
|||
получим |
0 = Ar+1x = Ar+1x0 |
+ Ar+1x00 = Ar+1x0, |
|
|
|
||
что в силу пункта а) возможно лишь при x0 |
= 0. Отсюда x = x00 Nr и, следовательно, |
||
m ≤ r. |
|
|
X0, x00 X00), будем |
Далее, если y = Anx, то, подставляя x в форме x = x0 + x00 (x0 |
|||
иметь |
y = Anx = Anx0 + Anx00 = Amx0 = Am+1 A0−1x0 |
|
|
è y Am+1 (X), следовательно, должно быть также r ≤ m. |
|
Частный случай факта, указанного в замечании, содержится в следующей теореме.
Теорема 2. Для того чтобы уравнение x − T x = y было разрешимо при любом y X, необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение Ax = 0 имело единственное решение (очевидно, x = 0).
Действительно, разрешимость уравнения x − T x = y при любом y X означает, что A (X) = X, ò. å. ÷òî r = 0. Единственность решения уравнения Ax = 0 эквивалентна тому, что m = 0.
72
Замечание. Можно дать доказательство теоремы, не зависящее от теоремы 1, используя лишь тот факт, что множество A (X) замкнуто.
Связь между уравнениями x − T x = y è g − T g = f (f, g X ) устанавливается в следующей теореме которую мы приведем без доказательства.
Теорема 3. Множества N (A) è N (A ) имеют одинаковую конечную размерность.
Объединяя доказанные выше теоремы, получаем следующий результат. Ввиду аналогии его с известной теоремой теории интегральных уравнений настоящую теорему называют альтернативой Фредгольма.
Теорема 4.
x − T x = y (x, y X)
è
g − T g = f (f, g X )
разрешимы при любой правой части, и тогда их решения единственны. Либо однородные. уравнения Ax = 0 è A g = 0 имеют одинаковое конечное число линейно независимых
решений x1, x2, ..., xn è g1, g2, ..., gn соответственно. В этом случае, для того чтобы уравнение x −T x = y (соответственно уравнение g −T g = f) имело решение, необходимо
и достаточно, чтобы
gk (y) = 0 (k = 1, 2, ..., n) .
Cоответственно
f (xk) = 0 (k = 1, 2, ..., n) .
При этом общее решение уравнения x − T x = y имеет вид
|
n |
x = x + |
ckxk, |
|
kX |
|
=1 |
а общее решение уравнения g − T g = f |
|
|
n |
g = g + |
ckgk, |
|
kX |
|
=1 |
ãäå x (соответственно g ) какое-нибудь решение уравнения x−T x = y (соответственно g − T g = f), a c1, c2, ..., cn произвольные постоянные.
73