Вартанян.Функциональный анализ. (1)

1.8 Пополнение метрических пространств

Определение. Полное метрическое пространство (Y, ρ) называется пополнением метрического пространства (X, ρ), åñëè (X, ρ) является подпространством (Y, ρ) è

замыкание подпространства (X, ρ) совпадает со всем (Y, ρ). Справедлива следующая теорема.

Теорема. Для любого метрического пространства (X, ρ) существует его пополнение (Y, ρ). Это пополнение единственно с точностью до изометрии.

Доказательство. Пусть (X, ρ) произвольное метрическое пространство. Назовем две

фундаментальные последовательности {xn} è {x0n} èç X эквивалентными и обозначим

{xn} {x0n}, åñëè limn→∞ ρ (xn, x0n) = 0. Это отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Значит, все фундаментальные последовательности, которые

можно составить из точек пространства X, распадаются на классы эквивалентных между

собой последовательностей. Определим теперь пространство (Y, ρ). В качестве Y мы возьмем множество классов эквивалентных между собой последовательностей. Обозначим

x,e y,e ... а расстояние введем по правилу:

ρ(x,e ye) = lim ρ (xn, yn)

n→∞

ãäå {xn}, {yn} произвольные фундаментальные последовательности из классов xe è ye соответственно. Указанный предел существует и не зависит от выбора последовательностей

{xn} , {yn}. Действительно, ε > 0 n0 N, ÷òî äëÿ âñåõ n, m ≥ n0

так как последовательности фундаментальные. Поэтому числовая последовательность αn =

Покажем теперь, что метрическое пространство Y является пополнением пространства X. Пусть x X. Рассмотрим стационарную последовательность {xn} , xn = x. Очевидно,

11

ρ(xm, xn) = ρ (xm, xn) ≤ ρ (xm, xem) + ρ (xn, xen) + ρ (xen, xem) ≤

1 1

≤m + n + ρ (xen, xem) .

Отсюда следует, что {xn} фундаментальна в X. Значит, ей соответствует некоторый элемент Y (по определению Y ). Обозначим его через xe. Имеем далее:

ρ(xn, x) ≤ ρ(xn, xn) + ρ(xn, x).

Поэтому ρ(xe0, ye0) = ρ(x,e ye). По построению отображение взаимно-однозначное. Получили изометрию, для которой g(x) = x, x X.

1.9 Основные теоремы в полных метрических пространствах

Приведем некоторые теоремы, имеющие большое значение при изучении метрических пространств.

Так по аналогии с леммой Кантора о вложенных сегментов для полных метрических пространств справедлива теорема.

Теорема (принцип вложенных шаров). Для того чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Доказательство. Необходимость. Пусть (X, ρ) полное метрическое пространство, a

B(x1r1) B (x2r2) ...B (xnrn) ...

вложенные друг в друга замкнутые шары радиусы rn которых стремятся к нулю. Последовательность их центров фундаментальна, так как ρ(xn, xm) < rn ïðè m > n,

12

à rn → 0 ïðè n → ∞. Поскольку пространство X полное, то существует элемент

x = limn→∞ xn X. Очевидно, что x B (xnrn) äëÿ âñåõ n N. Действительно, для

limk→∞ ρ(x, xnk ) = 0. Таким образом, фундаментальная последовательность {xn} содержит

подпоследовательность {xnk }, сходящуюся к некоторой точке x пространства X. Тогда и сама последовательность сходится к этому же пределу. Действительно, применяя свойство треугольника для функции расстояния, имеем

ρ(x, xn) ≤ ρ(xn, xnk ) + ρ(x, xnk ) → 0, n, nk → ∞,

т. е. пространство X полное всякая фундаментальная последовательность сходится к элементу, принадлежащему данному пространству.

Замечание. Все условия теоремы являются существенными: полнота пространства, замкнутость шаров, условие того, что они вложены, стремление их радиусов к нулю.

Приведем пример метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга, замкнутых шаров, имеющих пустое пересечение.

Пусть N множество натуральных чисел, а

Определим последовательность замкнутых шаров с центрами в точках n и радиуса 1 + 1 Тогда очевидно, что эти шары замкнуты и вложены друг в друга, пространство полно,2n .

поскольку каждая фундаментальная последовательность сходится в пространстве. Она является, почти постоянной с некоторого номера. Однако пересечение этих шаров пусто.

Связь между полнотой и замкнутостью отражает следующее утверждение.

Лемма. Пусть X полное метрическое пространство. Для того, чтобы подпространство Y X было полным, необходимо и достаточно, чтобы Y было замкнуто в X.

Доказательство. Достаточность. Пусть Y замкнуто в X. Если {xn} фундаментальная последовательность в Y , то {xn} фундаментальна и в пространстве X. В силу полноты X, {xn} сходится в X к некоторой точке x. Поскольку Y замкнуто, то x Y . Таким образом, {xn} сходится в Y .

Необходимость. Пусть Y полное подпространство. Если x предельная точка Y , то, найдется последовательность {xn} попарно различных точек из Y , сходящаяся к x в метрике пространства X. Эта последовательность фундаментальна в X, а поэтому фундаментальна в Y . В силу полноты Y последовательность {xn} сходится к некоторой

точке подпространства Y . Но {xn} сходится к x, следовательно, x Y , что и требовалось доказать.

1.10 Множества первой и второй категории

13

Как известно, любое конечное множество точек на вещественной прямой нигде не плотно. Однако нигде не плотные множества на прямой могут иметь и положительную меру. Исследуем структуру всюду плотных и нигде не плотных множеств на произвольном

метрическом пространстве (X, ρ).

Нетрудно показать, что дополнение к нигде не плотному множеству является, всюду плотним. Более того, это дополнение содержит открытое - всюду плотное множество. Конечное объединение нигде не плотных множеств нигде не плотно. Счетное объединение нигде не плотных множеств может оказаться всюду плотным.

Определение. Множество E называется множеством первой категории, если оно может быть представлено в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

ПРИМЕРЫ.

1.Множество Q всех рациональных чисел является множеством 1-й категории в R.

2.Множество последовательностей из l2, все члены которых, начиная с некоторого номера (своего для каждой последовательности) равны нулю множество 1-й категории

âl2.

3. Åñëè 1 ≤ p < q < ∞, òî Lq[a;b] является множеством первой категории в Lp[a;b]

.

Lq[a;b] Lp[a;b]

Определение. Множество E в метрическом пространстве (X, ρ) называют множеством второй категории, если его нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

В теории полных метрических пространств фундаментальную роль играет следующая теорема.

Теорема (Бэр). Полное метрическое пространство есть множество второй категории. Доказательство. Предположим противное. Пусть полное метрическое пространство X

доказали, что в полном метрическом пространстве дополнение к любому множеству первой категории является всюду плотным. Учитывая, этот факт, нетрудно подучить следующую усиленную форму теоремы Бэра.

Теорема (Бэр). Пусть (X, ρ) полное метрическое пространство. Тогда:

1) счетное объединение замкнутых множеств с пустыми внутренностями имеет пустую внутренность;

2) счетное пересечение открытых всюду плотных множеств всюду плотно в X.

1.11 Принцип сжимающих отображений.

Пусть X метрическое пространство. Отображение A пространства X в себя называется сжимавшим отображением, или сжатием, если существует число α (0 < α < 1), что

ρ(Ax, Ay) ≤ αρ(x, y),

äëÿ âñåõ x, y X.

Нетрудно заметить, что сжимающее отображение непрерывно.

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, åñëè Ax = x.

14

Теорема (Принцип сжимающих отображений). Каждое сжимающее отображение

определенное в полном метрическом пространстве (X, ρ) имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство. Выбрав произвольную точку x0, положим:

x1 = Ax0, x2 = Ax1, ..., xn = Axn−1, ...,

ò.å. xn = Anx0.

Покажем, что последовательность {xn} фундаментальна. Действительно, считая m ≥ n имеем

ρ(xn, xm) = ρ(Anx0, Amx0) ≤ αnρ(x0, xm−n) ≤

≤αn (ρ(x0, x1) + ρ(x1, x2) + ... + ρ(xm−n−1, xm−n)) ≤

≤αnρ(x0, x1) 1 + α + α2 + ... + αm−n−1 ≤ αnρ(x0, x1) 1 −1 α.

Òàê êàê 0 < α < 1, то при достаточно больших n рассматриваемая величина сколь угодно мала, то {xn} фундаментальна а значит имеет предел x = limn→∞ xn X. В силу непрерывности отображения A

Существование неподвижной точки доказано, докажем ее единственность. Если

предположить, что существуют две неподвижные точки x, y, то в силу определения сжимающего отображения получим

ρ(x, y) = ρ(Ax, Ay) < αρ(x, y).

Отсюда, так как 0 < α < 1, вытекает равенство ρ(x, y) = 0 ò. å. x = y.

1.12 Компактность

Пусть X метрическое пространство и множество A X. Семейство {Gα} открытых множеств называется открытым покрытием множества A, если каждая точка x A

ρ(en, em) = const ≥ 1 ïðè n 6= m. Множество E не имеет предельных точек и поэтому

en образуют открытое покрытие множества E, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Тем не менее справедлива следующее утверждение.

Теорема. Пусть (X, ρ) метрическое пространство. Каждое компактное множество K X замкнуто и ограничено.

Доказательство. Выберем произвольную точку x0 X. Рассмотрим семейство {B (x0, n)}∞n=1 шаров с центром в точке x0 радиусов n N. Данное семейство покрывает

множество K. В силу компактности, множество K можно покрыть конечным числом шаров а поэтому и просто одним из этих шаров B (x0, n0). Следовательно, K ограничено.

Покажем, что K замкнуто; с этой целью установим, что cK открыто т. е. для каждой точки y / K существует окрестность, непересекающаяся с K. Пусть y / K.

15

B (y, r0) ∩ K =

Как мы видели, обратное утверждение в произвольном метрическом пространстве может не иметь места.

Теорема. Если K компактное множество в метрическом пространстве (X, ρ), то любое замкнутое подмножество K компактно,

Доказательство. Пусть множество E K замкнуто и {Gα} открытое покрытие E. Та часть множества K, которая не покрывается данным семейством, содержится во множестве cE = E \ E. Как известно, дополнение замкнутого множества есть множество открытое. Присоединяя к исходному покрытию множество G = cK, мы получим открытое покрытие

необходимо и достаточно, чтобы каждая центрированная система его замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение.

Действительно, пусть {Fα} центрированная система замкнутых подмножеств в X и пусть X компактно. Множества Gα = cFα открыты, причем из того факта, что никакое

En = {xn, xn+1, ...} образуют центрированную систему замкнутых множеств имеющую пустое пересечение, т. е. K не компактно.

16

1.13 Вполне ограниченные множества

Пусть X метрическое пространство с метрикой ρ. Множество A X называется вполне ограниченным, если для любого ε > 0 это множество можно покрыть конечным числом шаров радиуса ε.

Множество S называется ε (ε > 0) сетью для A, если для каждой точки a A найдется такая точка s S, ÷òî ρ(a, s) < ε.

Упражнение. Докажите, что множество A является вполне ограниченным, тогда и

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. ПРИМЕРЫ.

1.В пространстве Rn полная ограниченность множества равносильна его ограниченности.

2.Множество E = {en}, ãäå en последовательности у которых все элементы кроме n

-го равны нулю а n -й единице ограниченно в lp (1 ≤ p ≤ ∞) однако не является вполне ограниченным.

В терминах приведенного определения можно установить критерии компактности.

Теорема (Хаусдорф). Метрическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда оно является одновременно полным и вполне ограниченным.

Доказательство. Пусть X компактно. Тогда для любого ε > 0 из семейства

открытых шаров {B (x, ε)}x X покрывающего X, можно выделить конечное подпокрытие. Следовательно, X вполне ограничено. Докажем полноту X. Пусть {xn} фундаментальная

последовательность точек из X. В силу компактности X, существует такая точка x, в любой окрестности которой содержится бесконечно много членов последовательности {xn}. Выделим из {xn} подпоследовательность {xnk } сходящуюся к x. Поскольку, при этом {xn} фундаментальна, то limn→∞ xn = x.

Пусть теперь X полное и вполне ограниченное пространство. Докажем, что X компактно. Предположим противное. Тогда существует открытое покрытие {Gα} пространства X, такое, что ни одно из конечных подсемейств семейства {Gα} не покрывает X. В силу полной ограниченности X можно покрыть конечным числом шаров радиуса 1/2. По крайней мере, один из этих шаров нельзя покрыть конечным числом множеств из {Gα}. Выберем такой шар и обозначим его через B1. Øàð B1 можно покрыть конечным числом шаров радиуса 1/4. Среди них найдется такой шар B2, который пересекается B1, è

не покрывается никаким конечным подсемейством семейства {Gα}. Применяя индукцию, построим последовательность шаров {Bn} с радиусами 1/2n, таких, что Bn+1 ∩ Bn 6=

(n N) è Bn+1 не покрывается никаким конечным подсемейством семейства {Gα}. Пусть

xn центр шара Bn. Поскольку Bn+1 ∩ Bn 6= , то существует точка x Bn+1 ∩ Bn. Следовательно

Это неравенство показывает, что последовательность {xn} фундаментальна. В силу полноты X существует последовательности {xn}. Пусть limn→∞ xn = x0. Точка x0

17

принадлежит некоторому открытому множеству Gα0 {Gα}. Поскольку x0 = limn→∞ xn, à радиусы шаров Bn стремятся к нулю, то, начиная с некоторого номера, все шары Bn будут содержаться в открытом множестве Gα0 то есть покрываются одним элементом семейства

{Gα}. Это противоречит выбору даров Bn. Теорема доказана.

Следствие. Каждое компактное метрическое пространство сепарабельно.

Пусть X метрическое пространство, множество E X называется предкомпактным, если его замыкание компактно.

Так в пространстве Rn множество предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено. Однако, как мы видели ранее, имеются примеры метрических пространств и ограниченных в них множеств, замыкание которых не компактны.

Упражнение. Пусть X полное метрическое пространство. Докажите, что множество E X предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.

Множество E в метрическом пространстве X называется счетно-компактным, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку,

Упражнение. Докажите, что в метрическом пространстве X счетная компактность

множества E равносильна тому, что каждая последовательность точек из E содержит сходящуюся подпоследовательность.

Теорема. Множество E метрическом пространстве X предкомпактно тогда и только тогда, когда оно счетно-компактно.

Доказательство. Пусть E предкомпактно. Предположим, что существует бесконечное подмножество A E, не имевшее ни одной предельной точки. Тогда для каждой точки x X найдется окрестность Ux, содержащая разве лишь одну точку из A. Семейство

{Ux}x E образует открытое покрытие компактного множестве E. Из этого семейства можно выделить конечное подпокрытие, и мы получим, что множество A конечно.

Пусть теперь E счетно-компактно. Докажем, что E вполне ограничено. Предположим противное. Тогда мажется такое ε > 0, что никакое конечное подмножество из X не являемся ε сетью для E. Возьмем произвольную точку x1 E. Для нее существует точка 2 E, такая, что ρ (x1, x2) ≥ ε. Продолжая этот процесс, получим последовательность точек из E такую, что при n 6= m (n, m N). Эта последовательность не

имеет предельных точек. Получили противоречие. Следовательно, E вполне ограничено, а значит и предкомпактно.

1.14Критерий компактности в пространстве непрерывных функций

Вопрос о компактности того или иного множества в метрическом пространстве довольно распространенная в анализе задача. Между тем, попытка непосредственно применить критерий Хауздорфа сталкивается с трудностями. Поэтому для множеств в конкретных пространствах используют специальные критерии компактности (или

предкомпактности), более удобные на практике. В n -мерном евклидовом пространстве предкомпактность множества равносильна его ограниченности. Однако для более общих метрических пространств это уже неверно.

Одним из важнейших в анализе метрических пространств является пространство

C

доставляет[a;b]. Для еготак подмножествназываемаятеоремаважныйАрцелаи часто.Чтобыиспользуемыйее сформулировать,критерий предкомпактностинам понадобятся

следующие понятия.

Семейство Φ функций ϕ определенных на некотором отрезке [a; b], называется равномерно ограниченным, если существует такое число M, ÷òî

|ϕ(x)| ≤ M, x [a; b], ϕ Φ.

18

Семейство Φ называется равностепенно непрерывным, если для каждого ε > 0 найдется такое δ > 0, ÷òî

|ϕ(x1) − ϕ(x2)| < ε, x1, x2 [a; b], | x1 − x2| < δ, ϕ Φ.

Теорема (Арцела). Для того чтобы семейство Φ непрерывных функций, определенных

на отрезке [a; b], было предкомпактно в C

было равномерно ограничено и равностепенно[a;b], необходимонепрерывнои .достаточно, чтобы это семейство

Каждая из функций ϕi как непрерывная функция на отрезке, ограничена числом Mi

Равностепенная непрерывность Φ также доказана.

Достаточность. Пусть Φ равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное семейство функций. Для доказательства его предкомпактности достаточно показать, что

при любом ε > 0 äëÿ íåãî â C[a;b] существует конечная ε -сеть. Пусть

|ϕ(x)| ≤ M, x [a; b], ϕ Φ

и пусть δ > 0 выбрано так, что

ε

|ϕ(x1) − ϕ(x2)| < 5 , x1, x2 [a; b], | x1 − x2| < δ, ϕ Φ.

Разобьем отрезок [a; b] точками {xi}ni=0 (a = x0 < x1 < ... < xn = b) на промежутки

прямоугольник 5 и проведем через точки деления горизонтальные прямые. Таким образом,

ψ с вершинами в в узлах построенной сетки, и уклоняющуюся в точках xi от функции ϕ меньше чем на ε

Поскольку по5 .построению

19

Пусть теперь x произвольная точка отрезка [a; b] è xi б лижайшая к x слева из выбранных нами точек деления. Тогда

|ϕ(x) − ψ(x)| ≤ |ϕ(x) − ϕ(xi)| + |ϕ(xi) − ψ(xi)| + |ψ(xi) − ψ(x)| ≤ ε.

Следовательно, ломаные ψ по отношению к Φ образуют ε -сеть. Число их очевидно, конечно; таким образом, Φ вполне ограничено. Теорема доказана.

Эквивалентным данной теореме является следующее утверждение: Пусть {fn} последовательность непрерывных на [a; b] функций. Для того, чтобы существовала

равномерно сходящаяся на [a; b] подпоследовательность {fni } необходимо и достаточно,

чтобы семейство функций {fn} было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

20