Вартанян.Функциональный анализ. (1)

ãäå

ci = (x, ei), i = 1, 2, ..., n.

Данное представление может быть обобщено на случай бесконечномерного пространства с внутренним произведением. Пусть e1, e2, ..., en, ... ортонормированная система в

евклидовом (унитарном) пространстве X è x произвольный элемент из X. Составим последовательность чисел

Теорема. Пусть {ei}∞i=1 ортонормированная система в евклидовом пространстве X. Тогда, для каждого элемента x X элемент

n

X

(x, ei)ei

i=1

является ближайшим к нему элементом в подпространстве построенном на векторах

e1, e2, ..., en.

Доказательство. Рассмотрим расстояние между элементами x è Sn = Pn aiei, ãäå

i=1

ai, i = 1, 2, ..., n некоторые числа. Имеем

Ясно, что минимум этого выражения достигается тогда, когда последнее слагаемое равно нулю, т. е. При

ai = (x, ei), i = 1, 2, ..., n.

В этом случае

n

||x − Sn||2 = ||x||2 − X c2i ,

i=1

ãäå ci = (x, ei), i = 1, 2, ..., n.

Так как всегда ||x − Sn||2 ≥ 0, то из последнего равенства следует неравенство

n

X c2i ≤ ||x||2.

i=1

Это неравенство называется неравенством Бесселя. Из этого неравенства следует, что ряд

Понятие замкнутости ортогональной нормированной системы тесно связано с введенным выше понятием полноты системы.

Теорема. В сепарабельном евклидовом пространстве X всякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой, и обратно.

Доказательство. Пусть система {en} замкнута; тогда, каков бы ни был элемент x X, последовательность частичных сумм его ряда Фурье сходится к x. Это означает, что линейные комбинации элементов системы всюду плотны в X, т. е. система {en} полна.

31

Теорема (Рисc, Фишер). Пусть {en} произвольная ортогональная нормированная

система в полном евклидовом пространстве X, и пусть числа {cn} таковы, что ряд P∞ c2 сходится. Тогда существует такой элемент i=1 i

x X, ÷òî

(x, ei) = (xn, ei) + (x − xn, ei) ,

причем справа первое слагаемое при n ≥ i равно ci, а второе стремится к нулю при n → ∞, так как

|(x − xn, ei)| ≤ kx − xnk · keik .

Переходя к пределу при n → ∞, получаем, что ci = (x, ei). Так как, по определению x

Следствие. Для того чтобы ортогональная нормированная система в полном сепарабельном евклидовом пространстве была полна, необходимо и достаточно, чтобы в нем не существовало ненулевого элемента, ортогонального всем элементам системы.

Доказательство. Пусть система {en} полна и, следовательно, замкнута. Если x ортогонален всем элементам системы, то все его коэффициенты Фурье равны нулю. Тогда P∞ c2 = 0 и x = 0. Обратно, пусть система {en} íå

i=1 i

полна. Тогда в X существует такой элемент y 6= 0, ÷òî

∞

X c2i < (y, y),

i=1

ãäå ci = (y, ei) , n = 1, 2, .... На основании теоремы Рисса Фишера существует такой

элемент x X, ÷òî

∞

ci = (x, ei) , n = 1, 2, ..., (x, x) = X c2i .

i=1

Элемент x − y ортогонален всем элементам системы {en}. Поскольку

∞

(x, x) = X c2i < (y, y),

i=1

òî x − y 6= 0.

32

2.6.4Гильбертовы пространства

Определение. Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовым пространством.

Таким образом, гильбертовым пространством называется совокупность H элементов произвольной природы, удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам).

1. H есть евклидово (унитарное) пространство т. е. линейное пространство с заданным в нем скалярным произведением.

2. Пространство H полно в смысле метрики

q

ρ(x, x) = ||x − y|| = (x − y, x − y).

3. Пространство H бесконечномерно, т.е.в нем для любого натурального n можно найти

n линейно независимых элементов.

Чаще всего рассматриваются сепарабельные гильбертовы пространства, т. е. пространства, удовлетворяющие еще одной аксиоме.

4. H сепарабельно, т.е.в нем существует счетное всюду плотное множество.

Примером сепарабельного гильбертова пространства может служить действительное пространство l2.

Два евклидовых пространства, X è Y , называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операции сложения умножения на число и скалярное произведение.

Как известно, любые два n мерных евклидовых пространства изоморфны между собой и, следовательно, каждое такое пространство изоморфно арифметическому пространству

Rn. Евклидовы пространства бесконечного числа измерений не обязательно изоморфны

друг другу. Например, пространства l2 è C

например, из того, что первое из них полно, а[a;второеb] междунетсобой. не изоморфны. Это видно,

Однако имеет место следующий факт.

Теорема (Об изоморфизме гильбертовых пространств). . Любые два сепарабельных гильбертовых пространства изоморфны между собой.

Доказательство. Покажем, что каждое гильбертово пространство H изоморфно пространству l2. Выберем в H произвольную полную ортогональную нормированную систему {ei} и поставим в соответствие элементу x H совокупность {ci} åãî

коэффициентов Фурье по этой системе. Так как P∞ c2 < ∞, òî

i=1 i

c = (c1, c2, ..., ci, ..) l2.

Обратно, в силу теоремы Рисса Фишера всякому элементу c = (c1, c2, ..., ci, ..) l2

отвечает некоторый элемент x H, имеющий числа {ci} своими коэффициентами Фурье.

Установленное соответствие между элементами из H è l2 взаимно однозначно. Кроме того, при таком отображении сумма переходит в сумму, а произведение на число в произведение соответствующего элемента на это же число. Из равенства Парсеваля следует, что если

x ←→ c = (c1, ..., ci, ..), y ←→ d = (d1, ..., di, ..), x, y H, c, d l2,

33

Таким образом, установленное нами соответствие между элементами пространств является изоморфизмом.

Доказанная теорема означает, что, с точностью до изоморфизма, существует лишь одно (сепарабельное) гильбертово пространство и что пространство l2 можно рассматривать как

его координатную реализацию, подобно тому как n мерное арифметическое пространство со скалярным произведением представляет собой координатную реализацию евклидова

пространства n измерений, заданного аксиоматически.

2.6.5Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма

Линейным многообразием в гильбертовом пространстве H называется совокупность элементов L èç H, ÷òî åñëè x, y L, òî αx + βy L для любых чисел α è β. Замкнутое линейное многообразие называется подпространством. Примером подпространства гильбертова пространства H может служить совокупность всех элементов

x H, ортогональных к некоторому h H. Всякое

подпространство гильбертова пространства либо является конечномерным евклидовым пространством, либо само представляет собой гильбертово пространство. Подпространства гильбертова пространства обладают некоторыми специальными свойствами. Эти свойства связаны с наличием в гильбертовом пространстве скалярного произведения и основанного

на нем понятия ортогональности. В частности, в каждом подпространстве M пространства H содержится ортогональная нормированная система {ei}, линейное замыкание которой совпадает с M.

Пусть M подпространство гильбертова пространства Н. Обозначим через M

множество элементов ортогональных ко всем элементам из M.

Множество M называется ортогональным дополнением множества M. Покажем, что M тоже есть подпространство пространства H. Линейность очевидна. Для доказательства

принадлежат M и сходятся к

любого y M

(x, y) = lim (xn, y) = 0,

n→∞

и, следовательно x M .

Нетрудно заметить, что подпространства M è M имеют общим только нулевой элемент. Теорема. Если M (замкнутое) линейное подпространство пространства H, то любой

элемент h H единственным образом представим в виде

y = h − x.

Очевидно, что (y, ei) = 0, i = 1, 2, .... и, поскольку произвольный элемент из М представим векторами системы {ei}, òî (y, v) = 0, v M. Последнее означает, что y M .

Допустим теперь, что, кроме построенного нами разложения h = x + y, существует другое разложение:

h = x0 + y0, x0 M, y0 M .

34

Тогда при всех i = 1, 2, ....

(h, ei) = (x, ei) = (x0, ei) = ci.

Откуда следует, что x = x0 è y = y0.

35

Глава 3

ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

Пусть X - линейное нормированное пространство над полем P вещественных или комплексных чисел. Отображение f называют функционалом заданном на X если каждому элементу множества X поставлено в соответствие единственное число f(x) из множества P . Функционал f называется непрерывным в точке x0 X, åñëè ε > 0, δ > 0 такое, что x X, для которых kx − x0k < δ выполняется неравенство |f(x) − f(x0)| < ε.

Функционал f называется линейным если он аддитивен т.е f(x + y) = f(x) + f(y)x, y X и однороден, т.е. f(αx) = αf(x) x X è α P . Отметим, что из линейности функционала fследует, что f(0) = 0. Действительно, f(0) = f(0x) = 0f(x) = 0.

Лемма. Если линейный функционал непрерывен в одной точке, то он непрерывен всюду.

Доказательство. Пусть линейный функционал f задан на линейном нормированном пространстве X и непрерывен в точке x0 X Покажем, что тогда он непрерывен в произвольной точке x X. Действительно, если выполняется неравенство |f(x) − f(x0)| < εx X, для которых kx − x0k < δ, òî

|f(x) − f(x)| = |f(x − x + x0) − f(x0)| < ε

как только kx − xk < δ.

Функционал f заданный линейном нормированном пространстве X называется ограниченным, если существует постоянная C такая, что

|f(x)| ≤ C kxk x X.

Теорема. Линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Доказательство. Достаточность. Пусть линейный функционал ограничен. В таком случае C > 0, ÷òî

|f(x)| = |f(x) − f(0)| ≤ C kx − 0k x X.

Следовательно функционал f непрерывен в точке x = 0. В силу предыдущей леммы f непрерывный функционал.

Необходимость. Пусть линейный функционал f непрерывен. Допустим, что он

36

Из предыдущей теоремы следует, что норма линейного непрерывного функционала конечна, причем

|f(x)| ≤ kfk · kxk, x X.

Очевидно, что kfk равна наименьшему из значений C, для которых

|f(x)| ≤ C kxk x X.

Изучим линейные функционалы в некоторых пространствах. Пусть X = Rn

f(x) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,

ãäå a = (a1, a2, ..., an) Rn, является линейным непрерывным функционалом на Rn ñ

нормой kfk = kak.

Для нахождения нормы этого функционала достаточно воспользоватся неравенством Коши - Шварца.

Покажем, что эта формула дает общий вид линейного непрерывного функционала на Rn. Действительно, пусть f линейный функционал на данном множестве. Тогда положив

ai = f(ei), ãäå ei вектора у которых все координаты, кроме i -ой равны нулю а на i -îì

месте стоит 1, i = 1, 2, :, n, получим требуемое.

Отсюда, в частности, следует, что всякий линейный функционал в конечномерном пространстве непрерывен.

Упражнение. Определите норму линейного функционала на Rn è Cn с каждой из íîðì:

kxk1 = |x1| + |x2| + .. + |xn|;

kxk2 = max |xn|,

1≤i≤n

x = (x1, x2, ..., xn).

3.1Продолжение функционалов.

Ñпонятием выпуклого множества тесно связано важное понятие однородно-выпуклого функционала. Пусть L действительное линейное пространство. Определенный на L

функционал p называется выпуклым, если

p(αx + (1 − α)y) < αp(x) + (1 − α)p(y)

äëÿ âñåõ x, y L è âñåõ α R (0 ≤ α ≤ 1). Функционал p называется положительнооднородным, если p(αx) = αp(x) äëÿ âñåõ x L è âñåõ

Пусть L действительное линейное пространство и

Пусть, далее, на подпространстве L0 задан некоторый линейный функционал f0. Линейный функционал f, определенный на всем пространстве L, называется продолжением

функционала f0, åñëè f(x) = f0(x) äëÿ âñåõ x L0.

Основную роль в вопросах продолжения функционалов играет следующая теорема.

Теорема (Хан - Банах). Пусть p однородно-выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве L, и пусть L0 линейное подпространство â L. Åñëè f0 линейный функционал на L0, подчиненный на L0 функционалу p(x), ò. å.

f0(x) ≤ p(x) x L0,

òî f0 может быть продолжен до линейного функционала f íà L, подчиненного p(x) íà âñåì L.

37

Доказательство. Покажем, что если L0 L, то функционал f0 можно продолжить ñ L0 на некоторое большее подпространство L1 с сохранением условия подчиненности p. Действительно, пусть z - произвольный элемент из L, не принадлежащий L0, и пусть L1 подпространство, порожденное L0 è z. Каждый элемент из L1 имеет вид tz + x, ãäå

Åñëè f1 искомое продолжение функционала f0 íà

f1(tz + x) = tf1(z) + f(x),

или, если положить f1(z) = c,

f1(tz + x) = t · c + f(x).

Выберем c так, чтобы сохранить на L1 условие подчинения, т. е. так, чтобы при всех и всех действительных t выполнялось неравенство

Покажем, что всегда существует число c, удовлетворяющее этим двум условиям. В

Таким образом, из аксиомы непрерывности множества действительных чисел, следует, что найдется число c удовлетворяющее неравенствам:

Итак, мы показали, что если функционал f0 определен на некотором подпространстве L0 L и удовлетворяет на нем условию подчинения то f0 можно продолжить с сохранением этого условия на некоторое большее подпространство L1. Åñëè â L можно выбрать счетную

систему элементов x1, x2, ..., xn, ..., порождающую все L, то функционал на L можно построить по индукции, рассмотрев цепочку подпространств

L0 L1 L2 ... Ln ... L

Ln = {tz + x | x Ln−1, z L \ Ln−1, t R} , n N.

38

В общем случае нам понадобится лемма Цорна: Если в частично упорядоченном множестве X для всякого линейно упорядоченного подмножества существует верхняя

грань, то в X существует максимальный элемент.

Совокупность F = {fα} всевозможных продолжений функционала f0 удовлетворяющих условию подчинения, частично упорядочена. Для некоторых пар его элементов можно

ввести, бинарное отношение порядка , считая продолжения исходного функционала fα fβ, если для пространств Lα, Lβ на которые соответственно продолжены эти функционалы выполнено включение Lα Lβ. Каждое линейно упорядоченное подмножество G F обладает верхней гранью, этой верхней гранью служит функционал, определенный на объединении областей определения функционалов из G и совпадающий с каждым функционалом из G на его области определения. В силу леммы Цорна во всем F

существует максимальный элемент f. Этот максимальный элемент f представляет собой искомый функционал. Действительно, он является продолжением исходного функционала,

удовлетворяет условию f(x) ≤ p(x) на своей области определения. Найденный функционал

f задан на всем L, так как иначе мы продолжили бы его описанным выше способом с того собственного подпространства, на котором он определен, на большее подпространство, а тогда он не был бы максимальным. Теорема доказана.

Приведем еще комплексный вариант теоремы Хана - Банаха. Неотрицательный функционал p на комплексном линейном пространстве L называется однородно-выпуклым ,

åñëè äëÿ âñåõ x, y L и всех комплексных чисел λ

p(x + y) ≤ p(x) + p(y), p(λx) = |λ|p(x).

Теорема. Пусть p однородно-выпуклый функционал на комплексном линейном

пространстве L, à f0 линейный функционал, определенный на некотором линейном подпространстве L0 L и удовлетворяющий на нем условию

|f0(x)| ≤ p(x), x L0.

Тогда существует линейный функционал f, определенный на всем L и удовлетворяющий

условиям

f0(x) = f(x), x L0;

|f(x)| ≤ p(x), x L.

Доказательство. Очевидно, что p рассматриваемый на L как на вещественном пространстве однородно-выпуклый функционал т.е.

p (αx + (1 − α)y) ≤ αp(x) + (1 − α)p(y), x, y L, α [0; 1].

Пусть l0(x) = Re {f0(x)}. Тогда l0 действительный линейный функционал заданный на L0, удовлетворяющий условию

l0(x) ≤ |l0(x)| ≤ |f0(x)| ≤ p(x), x L0.

В силу теоремы Хана - Банаха существует действительный линейный функционал l, определенный на всем L и удовлетворяющий условиям

l(x) = l0(x), x L0;

l(x) ≤ p(x), x L.

ßñíî, ÷òî

−l(x) = l(−x) ≤ p(−x) = p(x), x L,

Òàê ÷òî

|l(x)| ≤ p(x), x L.

39

Положим, теперь

f(x) = l(x) − il(ix).

Получим

Im {f(x)} = −l(ix) = −Re {f0(ix)} = −Re {if0(x)} = Im {f0(x)} , x L0.

Таким образом

f0(x) = f(x), x L0.

Непосредственная проверка показывает, что f комплексный линейный функционал на L. Осталось показать, что |f(x)| ≤ p(x), x L. Допустим противное; тогда для некоторого

x L

|f(x )| > p(x ).

Представим комплексное число f(x ) f(x ) = ρeiϕãäå ρ > 0, и положим y = e−iϕx . Тогда

|f(y )| = e−iϕf(x ) = ρ > p(x ) = p(y ),

что противоречит условию подчинености функционала l. Теорема доказана.

40