Вартанян.Функциональный анализ. (1)

3.2 Теорема Хана - Банаха в нормированном пространстве

Применительно к нормированным пространствам теорему Хана - Банаха можно сформулировать следующим образом:

Теорема. Пусть L действительное нормированное пространство, L0 åãî подпространство, f0 ограниченный линейный функционал на L0. Этот линейный функционал может быть продолжен до некоторого линейного функционала f на всем пространстве L без увеличения нормы, т. е. так, что

f0(x) = f(x), x L0;

è

kfk(L) = kf0k(L0) .

Действительно, пусть p(x) = kf0k · kxk . ßñíî, ÷òî p(x) однородно-выпуклый функционал:

p(αx + βy) = kf0k · kαx + βyk ≤

≤ |α| · kf0k · kxk + |β| · kf0k · kyk ≤ |α| · p(x) + |β| · p(y),

x, y L è α, β R.

Применяя к нему общую теорему Хана-Банаха, и учитывая тот факт, что при продолжении норма функционала уменьшится не может, получим требуемый результат.

Следствие 1. Пусть L линейное нормированное пространство и x0 6= 0, x0 L. Тогда существует линейный функционал f заданный на всем L такой, что

f(x0) = kx0k ;

kfk = 1.

Доказательство. Пусть L линейное нормированное пространство над полем P è x0 6= 0, x0 L. Рассмотрим множество

L0 = {x | x = αx0, α P } .

Множество L0 образует в L замкнутое подпространство так как, если x1, x2 L0, òîα1,α2 P , ÷òî x1 = α1x0 è x2 = α2x0 а значит

x1 + x2 = (α1 + α2) x0 L0

è

λx1 = (λα1) x0 L0 λ P.

Докажем замкнутость L0. С этой целью рассмотрим последовательность

{xn}∞ , xn L0, n N, lim xn = x,

n=1 n→∞

èдокажем, что x L0.

Âсамом деле,

xn = αnx0, αn P, n N.

Тогда limn→∞ αn = α P и следовательно

lim xn = lim αnx0 = αx0 L0.

n→∞ n→∞

На подпространстве L0 определим функционал f равенством

f(x) = α kx0k , x = αx0, α P.

41

Линейность введенного функционала очевидна. Найдем его норму на L0. Имеем

Применяя теорему Хана - Банаха получим продолжения данного функционала на все L со свойствами

f(x0) = kx0k , kfk = 1.

Следствие 2 (теорема об отделимости). Пусть L линейное нормированное

пространство L0 его собственное замкнутое подпространство и x0 L\L0. Тогда существует ненулевой непрерывный линейный функционал, разделяющий x0 è L0 такой, ÷òî

1) f(x) = 0 x L0,

2) f(x0) = 1,

3) kfk = γ1 < ∞,

ãäå γ = ρ (x0, L0) = infx L0 kx0 − xk.

Доказательство. Поскольку L0 замкнутое подпространство, то

γ = ρ (x0, L0) = inf kx0 − xk > 0.

x L0

Введем в рассмотрение множество

Le = {z |z = y + αx0, y L0, α P } .

а значит

1 = |f0(x0 − yn)| ≤ kf0k kx0 − ynk , n N.

Отсюда kf0k = γ1 . Продолжая, согласно теореме Хана - Банаха для нормированных пространств, полученный функционал на все пространство мы получим требуемое.

42

3.3 Сопряженное пространство

Для линейных функционалов можно определить операции сложения и умножения их на числа. Пусть f1 è f2 два линейных функционала на некотором линейном пространстве L. Их суммой f1 + f2 называется линейный функционал

f(x) = f1(x) + f2(x), x L.

Произведением αf линейного функционала αf на число

равный αf(x) äëÿ âñåõ x L.

Сумма линейных функционалов и произведение линейного функционала на число представляют собой линейные функционалы. Кроме того, если пространство L

топологическое, то из непрерывности функционалов f1 è f2 следует, что функционал

Оно называется пространством, сопряженным с L, и обозначается L .

Эта величина удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к норме элементов нормированного пространства. Действительно,

1) ||f|| ≥ 0 для любого линейного функционала f, è ||f|| = 0 тогда и только тогда, когда

f(x) ≡ 0;

2) ||αf|| = |α| · ||f|| для любого функционала f, и скаляра α;

Доказательство. Пусть L линейное нормированное пространство и L сопряженное ê íåìó, à {fn} фундаментальная последовательность линейных функционалов. Тогда для каждого ε > 0 найдется такое n0, ÷òî kfn − fmk < ε äëÿ âñåõ n, m ≥ n0 (n, m N). Отсюда для любого x L получаем

|fn(x) − fm(x)| ≤ kfn − fmk · ||x|| < ε||x||.

Таким образом при любом x L числовая последовательность {fn(x)} сходится.

43

= α lim fn(x) + β lim fn(y) = αf(x) + βf(y).

n→∞ n→∞

Докажем непрерывность. С этой целью в неравенстве |fn(x) − fm(x)| < ε||x|| перейдем к пределу при m → ∞. Получим |fn(x) − f(x)| ≤ ε||x||. Отсюда вытекает, что функционал fn −f ограничен. Но тогда ограничен, и значит, непрерывен и функционал f = fn −(fn −f). Кроме того, отсюда следует, что kf − fnk ≤ ε äëÿ âñåõ n ≥ n0 и следовательно {fn} сходится

ê f.Замечание 1. Приведенная теорема справедлива независимо от того, полно или нет исходное пространство.

Замечание 2. Если нормированное пространство L не полно, а X - его пополнение, то пространства L è X изоморфны.

Действительно, если L вложено в X в качестве всюду плотного подмножества, то всякий

линейный непрерывный на L функционал f продолжается по непрерывности с L íà âñå X. Обозначим это (единственное!) продолжение F . ßñíî, ÷òî F X , и что всякий функционал èç X служит продолжением некоторого функционала из L (а именно, своего сужения на L). Следовательно, отображение f → F представляет собой изоморфное отображение

пространства L на все пространство X .

Определим теперь сильную топологию в пространстве, сопряженном к произвольному линейному топологическому. В пространстве, сопряженном к нормированному окрестность

нуля это совокупность функционалов, удовлетворяющих условию ||f|| < ε т.е. окрестность нуля в пространстве, сопряженном к нормированному, это совокупность функционалов,

для которых |f(x)| < ε, когда x пробегает в L единичный шар. Беря всевозможные ε, получим определяющую систему окрестностей нуля. В случае, когда L не нормированное,

а топологическое линейное пространство, вместо единичного шара в L естественно взять произвольное ограниченное множество. Заметим, что сильная топология обязательно удовлетворяет аксиоме отделимости.

Примеры сопряженных пространств

1. Пространство сопряженное с Rn совпадает с Rn, ò.å. (Rn) = Rn. Причем любой непрерывный линейный функционал f заданный на Rn представим в виде

2. Пространство сопряженное с c0 изоморфно пространству l1. Покажем, что любая

Таким образом f ограничен и ||f|| ≤ ||a||l1 . Рассмотрим в c0 вектора

44

e1 = (1, 0, 0, ..., 0, ...),

e2 = (0, 1, 0, ..., 0, ...),

...............................

e1 = (0, 0, 0, ..., 1, ...),

...............................

Отсюда следует ограниченность функционала f и неравенство ||f|| ≤ ||a||lq . Линейность f очевидна.

45

Пусть теперь f (lp) . Покажем, что этот функционал можно представить в виде f(x) =

Банаха функционал f можно продолжить с сохранением нормы до линейного непрерывного

Проверим вначале, что g функция ограниченной вариации. Рассмотрим произвольное разбиение π отрезка [0; 1] точками {ti}ni=0:

XX

46

Кроме того, {xn} - последовательность кусочно постоянных функций, равномерно сходящаяся к x, поэтому