Вартанян.Функциональный анализ. (1)

4.7.2Теорема об обратном операторе. Принцип открытости отображения

Лемма 1. Если A линейный непрерывный оператор, отображающий банахово пространство X на банахово пространство Y , то замыкание образа (при отображении A) любой окрестности нуля пространства X содержит некоторую окрестность нуля пространства Y .

Пусть U0 произвольная окрестность нуля пространства X. Ее образ при отображении A (U0). Всегда можно указать такую окрестность V0 нуля в пространстве X,

EV = {x = x1 − x2| x1, x2 V0} U0.

Åñëè x X, то при достаточно большом n

61

плотным, а поэтому содержит непустое открытое подмножество. Тогда и A (V0) содержит непустое открытое подмножество. Обозначим это подмножество через W . Имеем

n o

A (U0) EV EW = y = y1 − y2| y1, y2 W .

Докажем, что множество EW = {y = y1 − y2| y1, y2 W } открыто. Пусть y W тогда множество

y − W = {z = y − y1| y1 W }

открыто и, следовательно,

[

EW = (y − W ) .

y W

открыто, как объединение открытых множеств Точка 0 принадлежит EW , поэтому оно содержит окрестность нуля.

Лемма 2. Пусть A линейный непрерывный оператор, отображающий банахово пространство X на банахово пространство Y , тогда образ любой окрестности нуля пространства X содержит некоторую окрестность нуля пространства Y .

Доказательство. Пусть ε > 0. Рассмотрим шары

BX (0, ε) = {x X | ||x|| < ε} , BY (0, ε) = {y Y | ||y|| < ε} .

Выберем ε0 > 0 è {εi} òàê, ÷òî εi > 0 ïðè âñåõ i è P∞ εi < ε0. Согласно лемме 1

i=1

существует монотонно убывающая к нулю последовательность положительных чисел {ηi},

÷òî A (BX (0, εi)) BY (0, ηi) äëÿ âñåõ i = 0, 1, 2, ....

Пусть y BY (0, η0). Покажем, что найдем элемент x BX (0, 2ε0) такой, что Ax = y.

Действительно, поскольку A (BX (0, ε0)) BY (0, η0), то существует x0 BX (0, ε0), такое, что ky − Ax0k < η1. Точно так же, поскольку y − Ax0 BY (0, η1), найдется такое x1 BX (0, ε1), ÷òî ky − Ax0 − Ax1k < η2. Продолжим процесс построения векторов xn неограниченно. Найдется такое xn BX (0, εn), ÷òî

XX

i=k+1 i=k+1

Последовательность {zk} фундаментальная, и в силу полноты X она сходится. Отсюда получаем

62

координат. Таким образом, при отображении A образ окрестности нуля пространства X содержит некоторую окрестность нуля пространства Y .

Лемма 3. Пусть A линейный непрерывный оператор, отображающий банахово пространство X на банахово пространство Y , тогда образ любого открытого множества

A (U0) W , окрестность W согласно лемме 2 всегда существует. Запишем следующие очевидные соотношения:

A (V ) A (x + U0) = A (x) + A (U0) Ax + W.

Множество Ax + W открытое следовательно содержит окрестность точки Ax. Таким образом, поскольку x произвольная точка из V , ò. å. Ax произвольная точка образа A (V ), множество A (V ) содержит вместе с каждой своей точкой некоторую ее окрестность.

Тем самым множество A (V ) открыто.

Из доказанных выше лемм непосредственно следует

Теорема (теорема Банаха об обратном операторе). Пусть A линейный

непрерывный оператор, взаимно-однозначно отображающий банахово пространство X на банахово пространство Y . Тогда обратный оператор A−1 существует линеен и

непрерывен.

Существование A−1 следует из взаимно-однозначности отображения пространство X на пространство Y . Линейность оператора A−1 была доказана ранее. Согласно лемме 3

оператор A переводит открытые множества в открытые, следовательно, при отображении

A−1 прообраз любого открытого множества, в частности единичного шара с центром в нуле открыт. Вложение

4.7.3Метод последовательных приближений

Рассмотрим уравнение

x − Ax = y,

ãäå A непрерывный линейный оператор действующий из банахово пространства X â X,

y данный и x искомый элементы пространства X.

Одним из распространенных методов нахождения решения данного уравнения является так называемый метод последовательных приближений, который состоит в том, что,

задавшись произвольным элементом x0 X начальным приближением, строят, исходя из него, последовательность {xn} приближенных решений

xn+1 = y + Axn, n = 0, 1, 2, ... .

Если при этом получается сходящаяся последовательность, пределом которой является решение рассматриваемого уравнения, то говорят, что процесс последовательных

приближений для уравнения x−Ax = y, начатый с элемента x0, сходится к решению данного уравнения. Поскольку A L (X), то из одного факта сходимости последовательности вытекает, что x = limn→∞ xn есть решение уравнения x − Ax = y. Чтобы убедиться в

этом, достаточно перейти к пределу при n → ∞ в соотношении xn+1 = y + Axn.

Вопрос о сходимости процесса последовательных приближений для рассматриваемого уравнения оказывается связанным со сходимостью ряда

I + A + A2 + A3 + ... + An + ...,

63

сумма которого, в случае сходимости, равна (I − A)−1.

Теорема. Åñëè ðÿä P∞ An сходится, то, каково бы ни было начальное приближение

n=0

x0 X, процесс последовательных приближений для уравнения x − Ax = y сходится к единственному решению x данного уравнения. При этом имеет место оценка

Доказательство. Применяя последовательно формулу xn+1 = y + Axn, найдем

xn = y + A(y) + A2(y) + A3(y) + ... + An(x0), n = 1, 2, ... .

x0 íà x . Взяв в качестве начального приближения x получим равенства xn = x äëÿ âñåõ n N. Таким образом, мы приходим к соотношению

x = y + A(y) + A2(y) + A3(y) + ... + An(x ), n = 1, 2, ... .

Вычитая из него равенство аналогичное равенство для xn и переходя к нормам, получим

kx − xnk ≤ kAnk · kx − x0k , n = 1, 2, ... .

Обозначим xe = x − x0. Принимая во внимание, что x есть решение уравнения x − Ax = y и, следовательно, x − Ax = y, будем иметь

(I − A) (xe) = x − Ax − x0 + Ax0 = y + Ax0 − x0 = x1 − x0,

отсюда находим

xe = (I − A)−1 (x1 − x0) .

Подставив выражение для xe в неравенство kx − xnk ≤ kAnk·kx − x0k, придем к требуемой оценке.

4.7.4Сопряженные операторы

Пусть имеется непрерывный линейный оператор A, переводящий нормированное

пространство X в нормированное пространство Y . Пусть g непрерывный линейный функционал в пространстве Y , иначе говоря, элемент сопряженного пространства Y . Для произвольного x X положим

f(x) = g (A (x)) .

Очевидно, функционал f непрерывный линейный функционал, причем

||f|| ≤ ||A|| · ||g||.

64

Итак, формула f(x) = g (A (x)) соотносит каждому функционалу g Y некоторый функционал f X . Оператор, осуществляющий это соответствие, называется сопряженным по отношению к данному оператору A и обозначается A , ò. å. f = A g. Иначе говоря, A g = gA.

Таким образом, каждому A L (X, Y ) соответствует сопряженный оператор A , переводящий Y â X .

Докажем, что A L (Y , X ).

Теорема. Сопряженный оператор A является непрерывным линейным оператором, переводящим пространство Y â X , ïðè ýòîì

kA k = kAk .

Доказательство. Проверим линейность оператора A . Åñëè g = αg1 + βg2 è f = A g, òî

f(x) = g (A(x)) = αg1 (A(x)) + βg2 (A(x)) = αA g1(x) + βA g2(x).

Отсюда

A g = αA g1 + βA g2.

Ограниченность A вытекает из неравенства ||f|| ≤ ||A||·||g||, на основании которого kA k ≤

kAk.

Возьмем далее произвольный x X, и пусть y = Ax. Построим функционал g Y такой, что

g(y) = ||y||, ||g|| = 1.

Тогда

kAxk = ||y|| = g(y) = (gA) (x) = A (g) (x) ≤ kA (g)k · ||x|| ≤ kA k · ||x||,

откуда ясно, что

kAk ≤ kA k .

Отметим еще, что если A1 è A2 два непрерывных линейных оператора из пространства

X â Y è

A = αA1 + βA2,

òî

A = αA1 + βA2.

4.7.5Компактные операторы

Определение. Произвольный линейный оператор T , отображающий нормированное пространство X в банахово пространство Y , называется компактным (вполне непрерывным), если он преобразует каждое множество, ограниченное в X, в множество,

предкомпактное в Y .

Приведем эквивалентное определение.

Определение. Произвольный линейный оператор T , отображающий нормированное пространство X в банахово пространство Y , называется компактным (вполне непрерывным), если из любой ограниченной последовательности {xn} èç X можно выделить такую подпоследовательность {xnk } , что последовательность образов

{T (xnk )} сходится.

Очевидно, что каждый компактный линейный оператор непрерывен. Действительно, единичный шар пространства X переводится оператором в предкомпактное и тем более

ограниченное множество пространства Y . Любые

конечномерные операторы будут, разумеется, компактными. Другой тривиальный пример

65

компактного оператора представляет непрерывный линейный функционал в пространстве

X, если его рассматривать как оператор из X в пространство скаляров. Примером компактного оператора является оператор

Z t

Ax(t) = x(τ)dτ,

0

показать, что, какова бы ни была ограниченная последовательность {xn} элементов из X, из последовательности {T (xn)} можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

очевидно, T1 x2n тоже сходится. Рассуждая аналогично, выберем из последовательности

x2n такую подпоследовательность

x31, x32, x33, ..., x3n, ...

÷òî T3 x3n сходится и т. д. Возьмем затем диагональную последовательность

x11, x22, x33, ..., xnn, ...

Каждый из операторов

T1, T2, ..., Tn, ...

переводит ее в сходящуюся. Покажем, что и оператор Тем самым компактность T будет установлена.

Так как пространство Y полно, то достаточно показать, что {T (xnn)} фундаментальная последовательность. Имеем

kT (xnn) − T (xmm)k ≤ kT (xnn) − Tk (xnn)k + kTk (xnn) − Tk (xmm)k + kTk (xmm) − T (xmm)k .

Пусть kxnk ≤ M; выберем сначала k òàê, ÷òî

ε

kT − Tkk < 3M + 1 ,

а потом выберем такое n0, чтобы при всех n > n0 è m > n0 выполнялось неравенство

kTk (xnn) − Tk (xmm)k < 3ε

(это возможно, так как последовательность {Tk (xnn)} сходится). При этих условиях получаем, что

kT (xnn) − T (xmm)k < ε

66

для всех достаточно больших n è m. Теорема доказана.

Легко проверить, что линейная комбинация компактных операторов компактна. Следовательно, в пространстве всех ограниченных линейных операторов, компактные операторы образуют замкнутое линейное подпространство.

Посмотрим теперь, будет ли совокупность компактных операторов замкнута относительно операции перемножения операторов. На самом деле здесь справедливо даже существенно более сильное утверждение.

Теорема 2. Åñëè T компактный оператор действующий из банахово пространства X â X, à A ограниченный A L (X), то операторы AT è T A компактны.

Доказательство. Если множество E X ограничено, то A (E) тоже ограничено. Следовательно, T (A (E)) предкомпактно, а это и означает, что оператор T A компактен. Далее, если E ограничено, то T (E) предкомпактно, а тогда, в силу непрерывности A,

множество A (T (E)) тоже предкомпактно, т. е. оператор AT компактен. Теорема доказана.

Следствие. В бесконечномерном пространстве компактный оператор не может иметь ограниченного обратного.

Действительно, иначе единичный оператор был бы компактен, что невозможно. Теорема 3. Оператор, сопряженный компактному, компактен.

Доказательство. Пусть T компактный оператор в банаховом пространстве X. Покажем, что сопряженный оператор T действующий в X , переводит каждое

ограниченное подмножество из X в предкомпактное. Поскольку всякое ограниченное подмножество нормированного пространства содержится в некотором шаре, достаточно

показать, что T переводит каждый шар в предкомпактное множество. В силу линейности

оператора T достаточно показать, что образ T (S ) замкнутого единичного шара S X предкомпактен.

Будем рассматривать элементы из X как функции не на всем пространстве X, à ëèøü

на компакте T (S) замыкании образа единичного шара при отображении T . При этом множество Φ функций, отвечающих функционалам из S , будет равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Действительно, если kϕk ≤ 1, òî

Поскольку Φ предкомпактно, то оно вполне ограничено; следовательно, вполне ограничено

и изометричное ему множество T (S ). Поэтому T (S ) предкомпактно в X . Теорема доказана.

4.7.6Уравнения компактных операторов. Теория Фредгольма

Мы будет изучаться уравнение вида

x − T (x) = y (x, y X)

67

и сопряженное к нему

g − T (g) = f (g, f X ) ,

ãäå T компактный оператор отображающий банахово пространство X â ñåáÿ.

Введем обозначение A = I − T , где, как всегда, через I обозначен тождественный

оператор в пространстве X. Рассматриваемые уравнение при этом можно записать более коротко: Ax = y è A g = f

Докажем для операторов вида A = I − T , ãäå I тождественный, а T компактный три леммы.

Лемма 1. Множество A (X) = Im A замкнуто. Доказательство. Обозначим

X0 = N(A) = ker A.

Как известно множество Ker A образует замкнутое подпространство пространства X.

Рассмотрим фактор-пространство Xe = X/X0 состоящее из классов эквивалентности

xe = {z X | x − z N(A) = ker A}

оператор π(x) = xe действующий из X â Xe. Оператор π является линейным:

π(x1 + x2) = (x1g+ x2) = xf1 + xf2 = π(x1) + π(x2);

π(αx) = (gαx) = α · xe = α · π(x).

Ограниченным:

kπ(x)k = inf ||z|| ≤ ||x||.

Из определения классов смежности получаем A (xn) = yn ïðè âñåõ n N.

Докажем, что последовательность {xen} ограничена. В противном случае, переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно было бы добиться того, что cn = k{xen}k → ∞.

Последовательность n o ограничена, поэтому, переходя еще раз к подпоследовательности,

xn cn