Вартанян.Функциональный анализ. (1)

Глава 4

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

4.1 Определение линейных операторов

Пусть X è Y два топологических пространства. Оператором A, действующим из X â Y , называется отображение при котором каждому x DA X ставится в соответствие единственный элемент y = Ax Y

Оператором A, действующим из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y , называется линейным если он удовлетворяет условию

A (αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2, α, β R (α, β C) , x1, x2 X.

Совокупность DA âñåõ òåõ x X, для которых отображение A определено, называется областью определения оператора A.

Оператор A называется непрерывным в точке x0 DAX, если для любой окрестности V точки y0 = Ax0 существует такая окрестность U точки x0, ÷òî Ax V , как только

x U ∩ DA.

Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке

Когда X è Y нормированные пространства, определение непрерывности в точке x0 равносильно следующему: оператор A называется непрерывным в точке x0 DA, åñëè äëÿ любого ε > 0 существует такое δ > 0, что из неравенства ||x − x0||X < δ, x DA следует

||Ax − Ax0||Y < ε.

Линейный оператор A действующий из линейного нормированного пространства X в линейное нормированное пространство Y называется ограниченным, если он определен на всем X и каждое ограниченное множество из X переводит в ограниченное из Y . В силу линейности оператора A это условие можно сформулировать так: оператор A ограничен если существует такая постоянная C, ÷òî

kAxkY ≤ C kxkX , x X.

Наименьшее из чисел C, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой

Так же как и для линейных функционалов для операторов справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Для того, чтобы линейный оператор A был непрерывен на линейном нормированном пространстве X необходимо и достаточно, чтобы он был непрерывен в одной точке пространства X.

51

Теорема 2. Для того, чтобы линейный оператор A был непрерывен на линейном нормированном пространстве X необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен на

X.

Множество тех x X, для которых Ax = 0, называется ядром линейного оператора A и обозначается Ker A. Множество тех y Y , для которых y = Ax при некотором x DA,

называется образом линейного оператора A и обозначается Im A. Как ядро, так и образ линейного оператора, являются линейными многообразиями. Если оператор непрерывен

è DA = X òî Ker A является подпространством, т.е. замкнуто. Что же касается образа непрерывного линейного оператора, то он не обязательно будет подпространством в Y ,

äàæå åñëè DA = X.

Понятие линейного функционала, есть частный случай линейного оператора. Линейный функционал это линейный оператор, переводящий данное пространство X â

числовую прямую R. Определения линейности и непрерывности оператора соответствуют определениям линейности и непрерывности, введенные ранее для функционалов.

Точно так же все утверждения доказанные для операторов можно применять и к линейным функционалам.

4.2Примеры линейных операторов

1.Пусть X линейное топологическое пространство. Положим Ix = X. Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором.

2.Пусть X è Y произвольные линейные топологические пространства и пусть

Ox = 0, x X.

Тогда O называется нулевым оператором.

3. Общий вид линейного оператора, переводящего конечномерное пространство в конечномерное. Пусть A линейный оператор, отображающий n мерное пространство Rn

с базисом e1, e2, ..., en â m мерное пространство Rm с базисом v1, v2, ..., vm. Åñëè x

Таким образом, оператор A задан, если известно, во что он переводит базисные векторы e1, e2, ..., en. Рассмотрим разложения векторов Aei; по базису v1, v2, ..., vm. Имеем

m

X

Aei = aijvj, i = 1, 2, ..., n.

j=1

Отсюда ясно, что оператор A определяется матрицей коэффициентов

A = (aij) , i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., m.

Образ пространства Rn â Rm представляет собой линейное подпространство, размерность

которого равна, очевидно, рангу матрицы (aij).

Отметим, что всякий линейный оператор, заданный в конечномерном пространстве, автоматически непрерывен.

4. Рассмотрим гильбертово пространство H и в нем некоторое подпространство H1. Разложив H в прямую сумму подпространства H1 и его ортогонального дополнения, т. е. представив каждый элемент h H â âèäå

h = h1 + h2, h1 H1, h2 H1 .

52

положим P h = h1. Этот оператор P естественно назвать оператором ортогонального

проектирования, или ортопроектором H íà H1. Линейность и непрерывность проверяются без труда.

5. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на отрезке [a; b] оператор, определяемый формулой

Z b

Ax(t) = K(t, s)x(s)ds,

a

ãäå K(t, s) некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных. Функция

Ax(t) непрерывна для любой непрерывной функции x(t), так что оператор A действительно переводит пространство непрерывных функций в себя. Его непрерывность очевидна.

4.3 Пространство линейных операторов

Пусть X è Y линейные нормированные пространства. Рассмотрим совокупность всех линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве X и принимающих значения в пространстве Y .

Определение. Пусть A è B два линейных непрерывных оператора, определенные на всем пространстве X и действующих из линейного пространства X в линейное пространство Y . Назовем их суммой A + B оператор C, действующий по правилу

Cx = Ax + Bx, x X.

Легко проверить, что C = A + B линейный непрерывный оператор действующий из линейного пространства X в линейное пространство Y . Кроме того

kCk = kA + Bk ≤ kAk + kBk .

Определение. Пусть A линейный непрерывный оператор, определенный на всем пространстве X и действующиq из линейного пространства X в линейное пространство Y è α R (α C). Произведением оператора A на число α называется оператор C = αA,

действующий по правилу

Cx = αAx, x X.

Вместо L (X, X) пишут L (X).

4.4 Кольцо линейных операторов

Определение. Пусть A è B линейные операторы, причем A действует из пространства X â Y , à B действует из Y â Z. Произведением BA операторов A è B называется оператор C, ставящий в соответствие элементу x X элемент z = B (Ax) èç Z. Область определения оператора BA состоит из тех x X для которых Ax попадают в область определения оператора Ax.

53

Ясно, что оператор BA линеен, Он непрерывен, если A è B непрерывны и

kBAk ≤ kBk · kAk .

Пусть X линейные нормированное пространство. Рассмотрим L (X) совокупность всех линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве X и принимающих значения в пространстве X. Тогда для всех A, B L (X) их произведение AB L (X). Â L (X) существует единичный элемент: оператор I причем

A L (X) IA = AI,

è äëÿ âñåõ A, B, C L (X) справедливы равенства

a) A (B + C) = AB + AC; b) (B + C) A = BA + CA;

c) A (BC) = (AB) C.

Таким образом множество всех линейных непрерывных операторов, действующих на пространстве X является кольцом, вообще говоря некоммутативным.

4.5 Полнота пространства операторов

Теорема. Если линейное нормированное пространство Y банахово, то пространство

сходится. Обозначим y = limn→∞ Anx. Мы получили таким образом отображение из X â Y ,. Оператор, осуществляющий это отображение, обозначим через A. Из свойств предела следует, что он линеен. Покажем его ограниченность. Из того, что kAn − Amk → 0 ïðè

n, m → +∞, следует, что |kAnk − kAmk| → 0 ïðè n, m → +∞, т. е. что числовая последовательность {kAnk}∞n=1 фундаментальна в R, а значит, и ограничена. Существует

такая постоянная M, ÷òî kAnk ≤ M для любого натурального n. Отсюда получаем, что

kAnxk ≤ kAnk·||x|| ≤ M ·||x|| и в силу того, что функция, определяющая норму, непрерывна, имеем

Зададим ε > 0 и выберем n0 òàê, ÷òî kAn+px − Anxk < ε, äëÿ n ≥ n0, p N и любого x X такого, что ||x|| ≤ 1. Пусть p → +∞, тогда kAx − Anxk ≤ ε äëÿ n ≥ n0 è âñåõ x с нормой, не превосходящей единицы. Поэтому для n ≥ n0

kAn − Ak = sup k(An − A) xkY ≤ ε.

x X, ||x||X ≤1

Следовательно, A = limn→∞ An в смысле сходимости по норме в пространстве L (X, Y ), т. е. это пространство банахово.

54

имело внутренние точки.

Достаточность. Пусть точка x0 E внутренняя точка множества E è

B (x0, ε) = {x X : kx0 − xk < ε} E.

Для любого x X с нормой ||x|| < ε элемент x0 + x B (x0, ε). Следовательно

kAxk = kA (x + x0) − Ax0k ≤ kA (x + x0)k + kAx0k ≤ 1 + kAx0k .

Пусть теперь x X è x 6= 0. Положим ξ = 2ε · ||xx|| . Очевидно, что ||ξ|| < ε и значит kAξk ≤ 1 + kAx0k. Отсюда

Окончательно получаем

kAxk ≤ 4ε · ||x||, x X.

Достаточность доказано. Покажем необходимость.

Пусть линейный ограниченный оператор A действует из линейного нормированного пространства X в линейное нормированное пространство Y . Тогда для всех x X kAxk = kAk · ||x||. Следовательно

Таким образом точка 0 X внутренняя точка множества E. Теорема доказана.

4.6 Принцип равномерной ограниченности

Теорема (Банаха Штейнгауза). Пусть задано семейство F линейных ограниченных операторов, действующих из банахово пространства X в некоторое нормированное пространство Y . Если для любого элемента x X числовое множество

{kAxk : A F } ограниченно, то множество {kAk : A F } ограниченно в совокупности.

Доказательство. Введем в рассмотрение множества

En = {x X : kAxk ≤ n, A F } n N.

Согласно условию теоремы каждый элемент x X попадет по крайней мере в одно из

множеств En. Следовательно X = S∞ En. Покажем, что каждое из множеств En

n=1

замкнуто. В самом деле, пусть n N фиксировано и x предельная точка множества En.

Тогда найдется последовательность {xm}∞m=1, xm En äëÿ âñåõ m N è x = limm→∞ xm. Воспользовавшись свойством непрерывности нормы и ограниченностью операторов из

семейства F получим

55

Значит x En т. е. множество En замкнуто.

Согласно теореме Бера полное пространство не может быть представлено в виде объединения счетного семейства нигде не плотных множеств, а поскольку X = S∞ En, òî

n=1

по крайней мере одно из множеств En содержит внутренние точки.

Пусть En0 содержит по крайней мере одну внутреннюю точку и пусть x0 внутренняя точка. Но тогда найдется шар B (x0, ε) En0 . Выберем произвольный элемент

. Тогда ||ξ|| < ε è

x0 + ξ B (x0, ε) En0 = {x X : kAxk ≤ n0, A F } .

Имеем

kAξk = kA (ξ + x0) − Ax0k ≤ kA (ξ + x0)k + kAx0k ≤ n0 + n0 = 2n0,

äëÿ âñåõ A F . Отсюда

Принцип равномерной ограниченности можно сформулировать и иначе.

Теорема (Банах). Пусть последовательность {An} линейных ограниченных операторов, отображающих банахово пространство X в нормированное пространство Y поточечно сходится при n → ∞ к оператору A. Тогда числовая последовательность

также называют поточечной сходимостью. В случае нормированных пространств сильная сходимость последовательности {An} èç L (X, Y ) ê A L (X, Y ) означает, что

lim kAxn − AxkY = 0,

n→∞

äëÿ âñåõ x X.

Связь между сильной и равномерной сходимостью операторов выражает следующая теорема.

Теорема. Если последовательность операторов {An} èç L (X, Y ) сходится равномерно к оператору A L (X, Y ) на пространстве X то она и сильно сходится к этому

оператору.

Действительно, пусть {An} сходятся равномерно к A. Тогда

lim kAn − AkL(X,Y ) = 0.

n→∞

Следовательно

äëÿ âñåõ x X.

Заметим, что обратное утверждение вообще говоря неверно. Из сильной сходимости последовательности операторов не следует их равномерная сходимость.

56

Теорема (Критерий сильной сходимости). Для того, чтобы последовательность

линейных ограниченных операторов {An} действующих из банахова пространства X в нормированное пространство Y была сильно сходящейся к линейному ограниченному оператору A необходимо и достаточно, чтобы:

1)Последовательность {kAnk} была ограничена;

2)Последовательность {Anx} была сходящейся для всех x из некоторого всюду

плотного в пространстве X множества X0.

Доказательство. Необходимость. Пусть {An} сильно сходится на пространстве X к линейному оператору A. Применив к {An} теорему Банаха - Штейнгауза получим ограниченость последовательности {kAnk}.

Достаточность. Пусть {kAnk} ограниченны в совокупности т.е. существует число M, ÷òî äëÿ âñåõ n N выполняется неравенство kAnk ≤ M.

Зафиксируем произвольный элемент x X. Согласно условие теоремы X0 всюду плотно â X. Следовательно

x0→x, x0 X

и устремив m → ∞ получим

kAnx − AxkY < ε, n > n0.

Следовательно Ax = limn→∞ Anx äëÿ âñåõ x X.

Линейность оператора A очевидна. Докажем его ограниченность. В самом деле

Среди пространств L (X, Y ) пространство непрерывных линейных операторов,

переводящих X в себя, L (X) = L (X, X) занимает особое место, так как только в нем произведение любых двух элементов имеет смысл.

Система, для элементов которой определены два действия: сложение и умножение, подчиненных обычным законам действий над числами (за исключением коммутативности и обратимости для умножения), называется кольцом. Если умножение определено для элементов нормированного пространства, то последнее называется нормированным кольцом. При этом, чтобы связать операцию умножение с метрикой пространства, требуют непрерывность произведения.

Часто употребляют соответственно термины алгебра и нормированная алгебра, а в случае полноты по норме - банахова алгебра.

57

Пространство является нормированным кольцом. Непрерывность произведения следует из неравенства kBAk ≤ kBk · kAk.

В нормированном кольце L (X) могут быть определены степени любого элемента. Пусть A L (X) По определению

A0 = I, An = An−1A, n = 2, 3, ...,

ãäå I тождественный оператор в X.

Так как это определение ничем не отличается от соответствующего определения для

чисел, то для любых целых положительных n è m: AnAm = An+m, откуда следует, что все степени одного и того же оператора перестановочны между собой.

Далее, применяя последовательно неравенство kABk ≤ kBk · kAk, найдем:

kAnk ≤ kAkn , n = 0, 1, 2, ....

При этом знак равенства, вообще говоря, не имеет места.

Будем считать в дальнейшем пространство X полным. Тогда будет полным и пространство L (X). В этом предположении рассмотрим геометрическую прогрессию :

I + A1 + A2 + A3 + ... + An + ... .

Выясним, при каких условиях этот ряд сходится. Из неравенства kAnk ≤ kAkn вытекает, что

сходимость имеет место, когда kAk < 1 так как тогда рассматриваемый ряд мажорируется сходящимся числовым рядом:

n o

M = max 1, kAk1 , kAk2 , ..., kAkn0−1 .

Рассмотрим произвольное n, представим его в форме

n = kn · n0 + ln (0 ≤ ln ≤ n0 − 1) .

Ïðè ýòîì

58

Следовательно, для n ≥ Nε

q

a ≤ n kAnk < a + 2ε,

4.7 Обратный оператор, обратимость

Рассмотрим вопрос об обращении действия умножения операторов. Пусть A оператор, действующий из X в Y и DA X область определения, а Im A образ этого оператора.

Определение. Оператор A называется обратимым, если для любого y Im A уравнение Ax = y имеет единственное решение.

Åñëè A обратим, то каждому y Im A можно поставить в соответствие единственный

элемент x DA, являющийся решением уравнения Ax = y. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к A и обозначается A−1.

Теорема. Оператор A−1, обратный линейному оператору A, также линеен.

Доказательство. Заметим прежде всего, что образIm A оператора A, т. е. DA−1 Y есть линейное многообразие. Пусть y1, y2 Im A. Проверим выполнение равенства

A−1 (αy1 + βy2) = αA−1y1 + βA−1y2.

Пусть Ax1 = y1 è Ax2 = y2- В силу линейности A имеем

A (αx1 + βx2) = αy1 + βy2.

По определению обратного оператора, A−1y1 = x1, A−1y2 = x2, откуда, умножая эти равенства на α и β соответственно и складывая, получим

αA−1y1 + βA−1y2 = αx1 + βx2 = A−1 (αy1 + βy2) .

4.7.1Критерии существования обратного оператора

однозначно, так как если x1 6= x2, òî

kAx1 − Ax1kY ≥ m||x1 − x2||X > 0.

Кроме того, из разрешимости уравнения Ax = y при любом y Y следует, что Im A = Y .

59

Таким образом, существует линейный оператор A−1. Так как равенство x = A−1y означает, что y = Ax, то из неравенства kAxkY ≥ m||x||X получим

заключения о разрешимости уравнения Ax = y.

Именно, если существует левый обратный оператор , то решение уравнения если оно существует, единственно.

Аналогично можно убедиться, что существование правого обратного оператора влечет

разрешимость (но, вообще говоря, неоднозначную) уравнения Ax = y при любом y Y . Очевидно, что, если существует левый обратный и правый обратный, то они равны

между собой и при этом существует обратный A−r 1 = A−l 1

Случай, когда X = Y , интересен тем, что если существует непрерывный обратный по отношению к данному оператору A L (X), то он является элементом того же пространства

L (X).

Теорема (Банах). Пусть X банахово пространство и A L (X). Тогда, если

kAk ≤ q < 1.

то оператор I − A имеет непрерывный обратный, причем

Доказательство. Рассмотрим ряд

I + A + A2 + A3 + ... + An + ... .

при условии теоремы данный ряд сходится. Обозначим через V сумму этого ряда. Имеем

V (I − A) = I + A + A2 + A3 + ... + An + ... (I − A) =

сходится, то в соответствии с доказанной ранее теоремой линейный непрерывный

60