Физпрактикум.Оптика
.pdf
4.3. Дифракция Фраунгофера |
191 |
Условия наблюдения 3 и 4 являются условиями Фраунгофера. Если источник и экран не очень далеки от препятствия, то дифракция наблюдается в условиях Френеля.
Аналитический расчет распределения интенсивности света при дифракции на щели приводит к следующим условиям наблюдения
максимумов: |
|
|
= 1.43 λ; |
|
первый максимум |
а sin φ |
1max |
|
|
второй максимум |
а sin φ |
2max |
= 2.46 λ; |
(4.12) |
третий максимум |
а sin φ |
3max |
= 3.47 λ. |
|
Интенсивности дифракционных максимумов по отношению к ну- |
||||
левому составляют следующий ряд чисел: I0 : I1 : I2 : I3 = 1 : 0.045 : 0.016 : |
||||
0.008. Как видно, основная энергия световой волны при дифракции на щели сосредоточена в пределах нулевого максимума и интенсивность достаточно сильно (примерно как 1/m2) убывает с ростом порядка максимума. Точное выражение для распределения интенсивности света на экране (рис. 4.22) при дифракции на щели имеет вид:
где I0 |
I(φ) = I0 (sin A/A)2 , |
(4.13) |
Ð интенсивность центрального максимума, |
|
|
параметр A = πа(sin φ)/λ. |
|
|
Отметим, что из (4.13) вытекает формула (4.10). Однако положение максимумов функции (4.13) лишь приближенно описывается форму-
лой (4.11).
!"#. ).$$. ["?&'73"-**'G 7'&%"*' -% -4*-< H),"
192 |
Тема 4. Дифракция света |
В предыдущих рассуждениях неявно предполагалось, что на щель падает монохроматическая волна (λ = const). Если же на щель падает белый свет, то получится набор соответствующих дифракционных картин для разных цветов, смещенных относительно друг друга
взависимости от конкретного значения длины волны. Положение центрального максимума (φ = 0) не зависит от длины волны, поэтому
вцентре экрана наблюдается белая полоса, слегка окрашенная по краям. Остальные линии спектра представляют собой яркие радужные полоски. Следует подчеркнуть, что красный свет дифрагирует сильнее фиолетового. Это прямо противоположно тому, что наблюдается при дисперсии света.
4.3.3. Дифракция на параллельных щелях. Дифракционная решетка
Амплитудной дифракционной решеткой называется периодичес-
кая структура, представляющая собой чередование параллельных щелей и непрозрачных штрихов. Число щелей N может быть очень большим. Такая решетка периодически меняет амплитуду проходящих через нее световых волн и поэтому называется амплитудной−. Число штрихов и расстояние между ними выбирается в зависимости от области спектра, в которой проводятся наблюдения. Так, число штрихов на один миллиметр решетки меняется от 6000 для рентгеновских спектров до 1 в области инфракрасного излучения.
В настоящее время для изучения спектров в видимой и ультрафиолетовой области света используют решетки с числом штрихов на 1 мм длины: 300, 600, 1200, 1800 и 2400. Штрихи наносят либо механически (тонкая ювелирная работа!), либо голографически.
Механический способ состоит в нанесением алмазным резцом с помощью делительной машины большого числа штрихов на плоскопараллельную стеклянную пластинку малой толщины (менее 1 мм). Матовая поверхность штрихов интенсивно рассеивает свет, так что внаправлениинаблюденияпроходитлишьегоничтожнаячасть.Штрихи являются, таким образом, почти непрозрачными промежутками
* Существуют решетки, периодически меняющие фазу проходящей через решетку волны. Такие решетки называются фазовыми (эшелон Майкельсона, эшелетт Вуда).
4.3. Дифракция Фраунгофера |
193 |
|
|
между неповрежденными частями пластинки Ð щелями−. Голографический метод состоит в регистрации на фотопластинке периодической интерференционной картины, созданной с помощью лазерного излучения. Именно этим методом удается получить наибольшее число штрихов на 1 мм (до 6000) и большую площадь решетки (до 600 × 400 мм).
В основе работы дифракционной решетки лежит явление дифракции на многих щелях и многолучевая интерференция.
Если ширина непрозрачного промежутка а, а щели Ð b, то величина d = a + b (расстояние между центрами соседних щелей) носит назва-
ние периода дифракционной решетки (рис. 4.23).
При освещении решетки параллельным пучком световых лучей (плоская волна) каждая ее щель становится самостоятельным источником когерентных световых волн (лучей), расходящихся по всевозможным направлениям: происходит дифракция света на щелях решетки. Если за решеткой поставить линзу, то она рассортирует продифрагировавшие лучи по направлениям: лучи одного и того же направления соберутся в одной и той же точке фокальной плоскости линзы и будут интерферировать друг с другом.
!"#. ).$(. Q'&%"*' ?-&."&-/'*"G 4"?&'73"-**=5 .'7#".1.-/:
[. &. & '.+,"%14*'G 4"?&'73"-**'G &)E)%7'' ' & E"&"*' *)+&-6&'2*-0- +&-.)(1%7'' F & E"&"*' H),"' G 5 H B F & +)&"-4 &)E)%7"'
YI & 10-, 4"?&'73""' X & &'6*-#%8 5-4' #-#)4*"5 #/)%-/=5 ,12)<' 6 & ?-71#*-) &'##%-G*") ,"*6= U' O & L7&'*' I & +-&G4-7 #+)7%&'
* В современных спектральных приборах чаще применяются отражательные решетки, изготовленные на полированных металлических пластинках.
194 |
Тема 4. Дифракция света |
В схеме дифракции Фраунгофера все щели дают одинаковые накладывающиеся друг на друга дифракционные картины (см. 4.3.2). Казалось бы, распределение интенсивности должно описываться функцией (4.13), увеличенной пропорционально количеству щелей N. Однако в действительности картина оказывается сложнее, так как происходит взаимная интерференция волн, идущих от разных щелей
в одном и том же направлении. Это явление называется многолучевой интерференцией. Результат взаимодействия волн от соседних щелей определяется разностью хода , которая равна d sin φm. Действие разных щелей усиливает друг друга в направлениях, в которых колебания волновых полей происходят в одинаковой фазе, т. е. максимум интерференции наблюдается, когда оптическая разность хода волн от двух соседних щелей решетки равна либо нулю, либо целому числу длин волн монохроматического света, падающего на решетку (рис. 4.23).
c = d sin φm = mλ; m = 0, ±1, ±2, ±3, É |
(4.14) |
где c Ð разность хода лучей, распространяющихся в данном направлении от двух соседних щелей решетки, λ Ð длина волны монохроматического света, а φm Ð угол, соответствующий максимуму интерференции (дифракционному максимуму).
Формула (4.14) называется формулой дифракционной решетки или условием главных максимумов.
Линза не вносит дополнительной разности хода. Число m, равное числу длин волн, укладывающихся в разности хода волн, образующих данный максимум, называется порядком интерференции или порядком спектра. Максимумам интерференции разного порядка в фокальной плоскости линзы соответствуют ярко освещенные линии определенного цвета на темном фоне. Угловое положение максимума φm зависит от λ.
Условие минимумов, обусловленных многолучевой интерферен-
цией, можно записать в виде: |
|
|||
,9=-φ % |
I |
Α+ |
(4.15) |
|
5 |
||||
! |
|
|
||
где P Ð любое целое число, кроме 0, N, 2N, 3N и т. д. Действительно, если P = mN, условие минимумов (4.15) превратится в условие главных максимумов (4.14).
График распределения интенсивности при многолучевой интерференции монохроматического света изображен на рис. 4.24. График
4.3. Дифракция Фраунгофера |
195 |
распределения интенсивности при прохождении волны через дифракционную решетку (в) является комбинацией двух предыдущих графиков (а) и (б).
Если направление главного максимума (4.14) совпадает с направлением минимума для одной щели (4.10), то интенсивность такого максимума станет нулевой и соответствующей линии в спектре не будет.
Минимумы интенсивности для одиночной щели (4.10) иногда называют главными минимумами, а минимумы многолучевой интерференции (4.15) Ð дополнительными минимумами дифракционной решетки.
Дифракционная картина на решетке характеризуется наличием интенсивных главных максимумов, минимумов и побочных максимумов. Между соседними главными максимумами располагается (NÐ1) минимумов и (NÐ2) побочных максимума. Чем больше щелей содержит решетка, тем менее интенсивны дополнительные линии спектра. При дифракции на решетке линии становятся значительно уже, что улучшает наблюдения.
!"#. ).$). !'#+&)4),)*") "*%)*#"/*-#%" #/)%' +&" .*-0-,12)/-< "*%)&?)&)*3"" 0'.3 &'#+&)4),)*") "*%)*#"/*-#%"
+&" 4"?&'73"" -% -4*-< H)," 0:.3 &'#+&)4),)*") "*%)*#"/*-#%"
+&" 4"?&'73"" *' &)E)%7) 0/.
196 |
Тема 4. Дифракция света |
Распределение интенсивности света на экране описывается выра-
жением: I = I0(sin A/A)2[(sin NB)/sin B ]2 ,
где N Ð число щелей на дифракционной решетке, параметр A определен в формуле (4.13), параметр B = 1d(sin φ)/Α, I0 Ð интенсивность в центре экрана, создаваемая одной щелью.
При дифракции на решетке белого света, как и на одной щели, в центре экрана наблюдается белая полоса, слегка окрашенная по краям. Остальные линии спектра представляют собой яркие радужные полоски.
Схематическое изображение дифракционного спектра, даваемого немонохроматическим источником, приведено на рис. 4.25. Здесь каждый порядок m, кроме нулевого, содержит 3 спектральные линии с длинами волн λ1 < λ2 < λ3, окрашенные в разные цвета. Максимум нулевого порядка для всех λi, входящих в состав немонохроматического света, наблюдается в одном и том же месте (φm = 0), следовательно, его цвет совпадает с цветом света, падающего на решетку. Поэтому признаку максимум нулевого порядка легко отличить от всех других.
Идеальная дифракционная картина представляет систему дифракционных максимумов различной интенсивности и ничтожно малой ширины. Однако реально переход от максимума интенсивности к минимуму для данной длины волны происходит более или менее постепенно, поэтому распределение освещенности на экране или фотопластинке имеет вид, представленный на рис. 4.25, б. Наблюдаемая ширина дифракционного максимума зависит как от спектральной ширины дифрагирующей световой волны, так и от устройства прибора.
!"#. ).$+. D5).'%"2)#7-) "6-:&'()*") 4"?&'73"-**-0- #+)7%&' "#%-2*"7'3 "6,12)*") 7-%-&-0- #-4)&("% ( .-*-5&-.'%"2)#7") #-#%'/,G9H")
/ -:,'#%" /"4".-0- #/)%' 0'. " &'#+&)4),)*") "*%)*#"/*-#%" / -4*-< "6 #+)7%&',8*=5 #-#%'/,G9H"5 0:.
4.3. Дифракция Фраунгофера |
197 |
|
|
!"#. ).$,."Q-#-) +'4)*") ,12)< *' &)E)%71
Рассмотрим косое падение лучей на решетку. Пусть лучи падают на решетку под углом i (рис. 4.26).
Разность хода лучей, идущих от соседних щелей решетки в направ-
лении φ: = |
2 Ð |
1 = d sin φ Ð d sin i. |
|
|||||
Для главных максимумов: |
|
|
||||||
d (sin φmax Ð sin i) = mλ, (m = 0,+1,+2É) |
(4.16) |
|||||||
|
|
|
|
|
= |
|
( = |
|
|
|
|
|
|
||||
или #,089 |
|
φ |
H?B |
|
9=- φH?B |
% HΑ& |
(4.16а) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
# |
|
# |
|
|
Из (4.16а) следует, что при m = 0 φmax = i, т. е. главный максимум нулевого порядка будет наблюдаться в направлении падающего пучка.
Будем считать, что углы дифракции (φmax Ð i) малы (главные максимумы ненулевых порядков располагаются вблизи максимума нуле-
вого порядка). При этом условии |
φmax ≈ i и, следовательно, (φmax + i)/2 ≈ i, |
2sin(φmax Ð i)/2 ≈ sin(φmax Ð i) (вспомним, что при малых α cos α ≈ 1, |
|
sin 2α = 2 sin α, cos α ≈ 2 sin α). С учетом сказанного |
|
d cos i sin(φmax Ð i) = mλ. |
(4.17) |
Соотношение (4.17) Ð условие главных максимумов при косом |
|
падении лучей на решетку. |
|
Сравним (4.17) при i = 0 с формулой решетки (4.14): d sin φmax |
= mΑ. |
|
Видно, что при i |
≠ 0 решетка работает, как решетка с периодом |
|
d* = d cos i, |
(4.17а), |
|
где d* Ð эффективный период решетки.
Дифракционные решетки широко используются в спектральных приборах.
198 |
Тема 4. Дифракция света |
|
|
4.3.4. Дифракция на прямоугольнике
Щель разворачивает свет перпендикулярно своим сторонам, образуя дифракционную картину в виде параллельных щели полос. Прямоугольник имеет две пары параллельных сторон, т. е. он образован как бы двумя взаимно перпендикулярными щелями. Эти щели дают два набора взаимно перпендикулярных ярких полос. Наиболее яркими местами на экране оказываются области пересечения этих полос, т. е. на экране видны пятна, по форме близкие к прямоугольным. Интенсивность светящихся прямоугольников сильно зависит от координат.
Аналогичным образом объясняется дифракция на двумерной дифракционной решетке, т. е. на наборе вертикальных и горизонтальных линий. В этом случае зависимость интенсивности от координат светлых пятен будет значительно слабее.
4.3.5. Дифракция на N кругах и на мелких частицах
При дифракции на одном круглом диске в центре геометрической тени наблюдается светлое пятно, вокруг которого расположены темные и светлые дифракционные кольца. Размеры колец зависят от длины волны света, радиуса диска и расстояния от диска до экрана.
При дифракции Френеля на круглом отверстии в центре экрана может наблюдаться как светлое, так и темное пятно. Если в отверстии умещается четное число зон Френеля, то пятно Ð темное, если нечетное Ð светлое. При дифракции Фраунгофера пятно в центре всегда светлое.
Если дифракция наблюдается на нескольких одинаковых дисках (или отверстиях), то результирующая дифракционная картина зависит от взаимного расположения дисков. Здесь возможны два случая:
"диски (отверстия) расположены хаотично (пылинки в воздухе);
"диски (отверстия) расположены упорядоченно.
Впервом случае фазовые соотношения между волнами, дифрагировавшими от отдельных дисков, имеют случайный характер (волны оказываются некогерентными). Поэтому для каждого направления наблюдения происходит простое сложение интенсивностей волн, дифрагировавших от всех дисков. От большого числа N дисков получается такая же картина, как и от одного диска, но усиленная по интенсивности в N раз.
4.3. Дифракция Фраунгофера |
199 |
Во втором случае, напротив, волны, дифрагировавшие от соседних дисков, имеют определенное значение разности фаз и оказываются когерентными. Интерференция этих волн существенно изменяет дифракционную картину.
Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от малой круглой частицы, наблюдаемую с помощью лазера. Схема наблюдения представлена на рис. 4.27, а.
Параллельный пучок лучей от лазера 1 падает нормально на круглую частицу 2 диаметра d, дифрагирует на ней и дает дифракционную картину на экране 3, расположенном на расстоянии L от частицы. При достаточно большом L (L >> d2/λ) дифракционные лучи будут образовывать практически параллельные пучки, что соответствует схеме дифракции Фраунгофера. При этом на экране 3 возникает периодическое распределение интенсивности света в виде концентрических колец Ð дифракционных максимумов и минимумов, графически представленных на рис. 4.27, б.
!"#. ).$-: '. & #5).' *':,94)*"G 4"?&'73"" I&'1*0-?)&' -% .',-< 7&10,-<
2'#%"3=' :. & 7'&%"*' 4"?&'73"" *' .),7"5 2'#%"3'5
Аналитический расчет дает следующие условия расположения темных и светлых колец:
|
Минимум |
|
|
Максимум |
|
dsin φ1 |
= 1,22 λ |
|
dsin φ 1 |
= 0 |
|
dsin φ2 |
= 2,23 λ |
(4.18) |
dsin φ 2 |
= 1,62 λ |
(4.18) |
dsin φ3 |
= 3,24 λ |
dsin φ 3 |
= 2,66 λ |
||
dsin φ4 |
= 4,24 λ |
|
dsin φ4 |
= 3,70 λ |
|
В (4.18) d Ð диаметр частиц, sin φ ≈ tg φ = R/L, где R Ð радиус соответствующего кольца.
Полученная дифракционная картина от одной частицы будет слабой на фоне прямого недифрагированного света. Для ее усиления ис-
200 |
Тема 4. Дифракция света |
пользуется большое число хаотически расположенных одинаковых круглых частиц.
Все частицы дают одинаковые дифракционные картины, сложение которых в плоскости экрана усиливает контраст (рис. 4.27, б). Тем не менее интенсивность светлых колец убывает так быстро, что невооруженным глазом можно заметить только 2Ð3 первых кольца. Хаотичность расположения частиц исключает возможность интерференции пучков, дифрагировавших на разных частицах. Данный метод позволяет измерять размеры частиц порядка нескольких микрон, что является технически сложной задачей. Микроскоп и проектор дают погрешность 1Ð2 мкм.
4.4. C2'*-.)78#&' 2./>$.&
4.4.1. Введение
Любой спектральный прибор выполняет гармонический анализ падающего на него излучения, т. е. физическое разложение излучения на монохроматические составляющие. Прежде всего, нужно выделить два больших класса спектральных приборов, разделяемых по принципу регистрации спектров Ð это приборы дисперсионные и интерференционные. В дисперсионном спектральном приборе устанавливается распределение энергии падающего на него излучения по частотам, т. е. находятся интенсивности отдельных монохроматических составляющих, а информация об их фазах оказывается утраченной. В интерферометрах основной измеряемой характеристикой является не амплитуда световой волны и связанная с ней энергия, а фаза электромагнитного колебания.
Спектральные приборы можно классифицировать по характеру решаемых с их помощью задач: спектроскоп Ð для визуального наблюдения, спектрограф Ð для фотографической регистрации спектра, спектрофотометр Ð для измерения распределения энергии по спектру, монохроматор Ð для выделения из спектра узкого интервала частот.
Действие спектральных приборов может быть основано на разных физических принципах. Основная часть дисперсионного прибора, диспергирующий элемент, осуществляет обычно пространственное разделение излучения разных длин волн, отклоняя его на различные