Для устойчивости дискретной системы необходимо, чтобы знак всех элементов первого столбца (а он единственный в данном примере) был одинаковый. Отсюда 2KT > 0 , при T > 0 и K > 0 ; 2T - T 2 K > 0 при TK < 2 . Этот результат согласуется с результатом примера 3.1.

Рассмотренные примеры показывают, что квантование приводит к сужению области устойчивости дискретных систем по сравнению с аналогичными (имеющими одинаковые непрерывные части) непрерывными системами. В непрерывной системе первого порядка устойчивость обеспечивается при всех положительных коэффициентах характеристического уравнения, а в дискретной – накладывается жесткое ограничение (TK < 2).

3.4. Критерий Найквиста

Для дискретных систем также применим критерий Найквиста, как и для непрерывных систем. Различие в построении АФЧХ разомкнутой системы обусловлено переменной и диапазоном ее изменения для каждого типа модели

(табл. 3.1).

Таблица 3.1

АФЧХ K(jww) и K(jw) совпадают (рис. 3.4).

K (e jwT ) имеет такой же вид, но заканчивается не в начале координат, а на

вещественной оси, так как конечная точка соответствует частотеw = ws , при

2

которой коэффициент усиления разомкнутой системы не равен нулю (рис. 3.5). Дискретная система устойчива, если K(jww) или K (e не охватывают точку –1; j0. Запасы устойчивости находятся так же, как и в случае непрерывной системы: по модулю 1a , по фазе -Dj .

42

w

3.5. Логарифмический критерий Найквиста

Частотные характеристики дискретных систем после перехода от реальной частоты w к псевдочастоте ww в соответствии с(3.6) строят по методике построения аналогичных характеристик непрерывных систем. Логарифмические частотные характеристики строятся отдельно для областей низких и высоких частот. Границей, разделяющей частотную область на низкочастотную и

высокочастотную, служит частота среза wc в предположении, что wc < T2 . Это

условие необходимо выполнять вследствие требований, предъявляемых к обеспечению запасов устойчивости и точности работы системы.

Рассмотрим методику построения ЛЧХ на примере системы, включающей в себя непрерывную часть с обобщенной передаточной функцией вида:

i=1

При построении допускаются следующие предположения.

1. Как уже отмечалось, wc < 2 .

T

2. Переход оси нуля децибел асимптотической ЛАХ непрерывной части происходит при отрицательном наклоне -20 дБ/дек.

3. Постоянным времени tj ( j =1, 2, K, m) соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза.

43

Это выражение представляет собой произведение элементарных типовых сомножителей, поэтому его легко использовать для построения логарифмических частотных характеристик импульсных систем. Результирующий фазовый сдвиг определяется так:

По построенным логарифмическим частотным характеристикам находят запасы устойчивости.

Пример 3.3. Построить логарифмические частотные характеристики системы с экстраполятором нулевого порядка и периодом дискретности импульсного элемента T = 4 с, если передаточная функция непрерывной части

K (s )= K (1 + 25s ) , K = 0,01 c-1 . НЧ s2 (1 + 0,5s )(1 + 0,3s )

Определяем частоту среза wc < 2T = 0,5 c-1 . В соответствии с заданными постоянными времени вычисляем сопрягающие частоты:

wcопр1 =125 = 0,04 c-1 – низкочастотный диапазон; wcопр2 =10,5 = 2 с-1 – высокочастотный диапазон; wcопр3 =10,3 = 3,33 с-1 – высокочастотный диапазон;

45