X (s) |
X * (s) 1- e-Ts X |
(s) |
s
Рис. 2.9. Изображение ИЭ
Рассмотрим математическую модель идеального импульсного элемента, в котором X*(s) (назовем дискретным преобразованием Лапласа сигналаx(t)) определяется выражением
¥ |
|
X * (s) = åx(kT )e-kTs . |
(2.39) |
k =0 |
|
Взяв обратное преобразование Лапласа от(2.39), получаем математическую модель идеального импульсного элемента во временной плоскости:
x* (t) = L-1 {X * (s)} = x(0)d(t) + x(T )d(t - T ) + x(2T )d(t - 2T ) + ... (2.40)
Здесь d(t – kT) – единичная импульсная функция, существующая в моменты времени t = kT, а x*(t) – последовательности d-функций с весами, равными значениям исходного непрерывного сигнала в дискретные моменты времени kT. Однако (2.39) и (2.40) – это лишь модели идеального ИЭ. Реальный ИЭ – это совокупность квантователя (идеального импульсного элемента) и фиксатора (формирующего устройства).
|
|
Пример 2.3. Определить X*(s) для |
единичного ступенчатого |
сигнала |
||||||||||
x(t) = 1(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X * (s) = åx(kT )e-kTs = x(0) + x(T )e-Ts + x(2T )e-2Ts + ... =1 +1×e-Ts +1×e-2Ts +... |
|
||||||||||||
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Это соответствует ряду |
|
1 |
=1 + x + x2 + ..., |
|
x |
|
<1. Тогда X * (s) = |
1 |
, |
|||
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 - e-Ts |
||||||||||||
1 |
- x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
e-Ts |
<1. Так как |
e-Ts |
= z-1 , то |
X * (s) = E(z) |
Ts =1 + z-1 + z-2 +... |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z=e |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.7. Частотные свойства дискретного преобразования
Дискретное преобразование (преобразование со звездочкой) представляют и в других формах.
Полезно следующие представление:
|
|
|
|
¥ |
f (0) |
|
|
|
||
|
|
|
|
F * (s) = |
1 |
å F (s + jkws ) + |
(2.41) |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
T k=-¥ |
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
f (0) |
|
|||
|
* |
1 |
[F (s) + F (s + jws ) + F (s + j2ws ) + F (s - jws ) + F (s - j2ws ) +...]+ |
|
||||||
F |
|
(s) = |
|
|
, |
|||||
|
T |
2 |
||||||||
где ws = 2p / T – частота квантования в рад./с.
25
Отметим основные свойства этого преобразования.
1. F*(s) – периодическая функция переменной s с периодом jws, т. е.
|
|
|
|
|
F*(s) = F*(s + jws). |
(2.42) |
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
В силу (2.39) F * (s + jws ) = å f (kT )e-kT (s+ jws ) . |
|
||||||
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
w = |
2p |
; e- jwskT = e- j |
2p |
kT |
= e- jk 2p =1 на основании формулы |
Эйлера, по- |
|
T |
|||||||
|
|
||||||
s |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
скольку e-j2pk = cos 2kp – jsin 2kp = 1.
¥ ¥
Значит, F* (s + jws ) = å f (kT )e-kTse- jkT ws = å f (kT )e-kTs = F * (s), что и тре-
k =0 k =0
бовалось доказать.
2. Если функция F (s) имеет полюс s = s1, то F*(s) имеет полюсы s = s1 + jmws, где m = 0, ±1, ±2, …
Положение нулей F*(s)также обладает периодичностью с периодомjws (рис. 2.10). На рисунке нули обозначены кружками, а полюсы – крестиками. Из рисунка видно, что нули и полюсы присутствуют в основной и дополнительной полосах бесконечное число раз. От этого недостатка можно избавиться за-
меной esT = z, тогда отрезок мнимой оси плоскости s от - ws до ws перейдет в
2 2
окружность единичного радиуса на плоскости z (рис. 2.11).
-b1 + |
|
Дополнительная |
{ |
|
|
полоса |
{ |
Основная полоса |
|
Дополнительная |
{ |
полоса |
|
j (w + w |
S |
) Im |
j |
3wS |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
wS |
|||||
-b1 + jw1 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
Re |
|||
|
|
|
|
- j |
|
wS |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b1 + j (w1 - wS ) |
|
- j |
3wS |
|||||||
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 2.10. Расположение полюсов и нулей F*(s)
A1
B1 0
Рис. 2.11. Расположение полюсов и нулей F(z)
26
При этом все точки левой полуплоскости плоскостиs, соответствующие периодически повторяющимся, например, полюсам, переходят в одну точку внутри круга плоскости z (точка B1), а все точки правой полуплоскости, соответствующие также периодически повторяющимся, например, нулям, переходят в одну точку вне круга плоскости z (точка А1).
3.Если сигналы с амплитудными спектрами, приведенными на рис. 2.12,
аподвергаются квантованию, то амплитудный спектрF1* ( jw) будет такой, как
на рис. 2.12, б и F2* ( jw) как на рис. 2.12, в. Другими словами, при идеальном фильтре восстановление сигнала возможно, при неидеальном – невозможно. Под идеальным фильтром понимается фильтр с единичным коэффициентом усиления в полосе пропускания и с нулевым коэффициентом усиления– за ее пределами.
F ( jw)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
F2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
wS |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
w |
w |
w |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
S |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1* ( jw) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2w |
S |
-w |
- |
wS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
w |
2w |
|
w |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
S |
|
S |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
F2* ( jw) |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2wS |
-wS |
- |
wS |
|
wS |
w |
2w |
|
w |
|
|
|
|
|
|
S |
|
S |
|||
|
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 2.12. Частотные спектры сигналов F(jw) и F*(jw)
2.8. Восстановление данных
Рассмотрим частотные характеристики второй части ра нулевого порядка, передаточная функция которого
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
(s) = |
1 - e-sT |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ФУ |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
- jwT |
|
|
- jwT |
|
T |
|
T |
|
jw |
T |
|
|
|
jw |
T |
|
- jw |
T |
|
||
|
|
1 - e |
|
1 - e |
|
|
|
2e 2 |
|
|
e 2 - e |
2 |
|
|||||||||||
KФУ |
( jw) = |
|
= |
|
e jw |
|
e- jw |
|
= |
× |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||
jw |
jw |
w |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 j |
|
|
|
|||||||
ИЭ– экстраполято-
(2.43)
|
|
æ wT ö |
|
|
|||||
|
sin ç |
|
|
÷ |
|
T |
|||
|
|
|
|||||||
= T |
è 2 |
ø |
e- jw |
|
. |
||||
2 |
|||||||||
|
|
||||||||
|
|
wT |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
27
Так как |
wT |
= |
w |
|
2p |
= |
pw |
|
, то окончательно получим |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 2 w |
|
w |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ pw ö |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ç |
|
÷ |
|
pw |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è ws ø |
- j |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ws |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
KФУ |
( jw) = T |
|
|
|
e |
. |
(2.44) |
||||
|
|
|
|
|
|
pw |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ws
Амплитудно-частотная характеристика экстраполятора нулевого порядка
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ pw ö |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
А |
(w) = |
|
K |
ФУ |
( jw) |
|
= T |
è ws ø |
. |
||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
ФУ |
|
|
|
|
|
|
|
pw |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ws |
||||
Фазово-частотная характеристика этого экстраполятора
ì |
pw |
+ p, sin |
æ pw ö |
< 0 |
||||||
ï- |
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|||
ws |
|
|
|
|||||||
ï |
|
|
è ws ø |
|
||||||
jФУ (w) = arg KФУ ( jw) = í |
pw |
æ pw ö |
|
|
|
|||||
ï |
|
|
|
|||||||
ï- |
|
|
, sin ç |
|
|
÷ |
> 0 . |
|||
ws |
|
|
||||||||
î |
è ws |
ø |
|
|
|
|||||
Характеристики AФУ(w) и jФУ(w) приведены на рис. 2.13.
АФУ (w)
wS
2
jФУ (w) |
wS |
2wS |
3wS |
|
wS |
2wS |
3w |
||
|
||||
|
|
|
S |
(2.45)
(2.46)
Рис. 2.13. Частотные характеристики экстраполятора нулевого порядка
Как следует из приведенного рисунка, при w << ws амплитудные и фазо-
2
вые искажения сигнала на выходе экстраполяторы минимальны.
28