2.3. Анализ нелинейной системы с насыщением

Пусть структурная схема НСАУ имеет вид, приведенный на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Структурная схема НСАУ с насыщением

В режиме свободного движения v(t) º 0 , и, следовательно, e(t ) = -y (t ).

Разделив правую и левую части на K и обозначив e = x , получим

Таким образом, математическая модель нелинейной системы с насыщением описывается системой дифференциальных уравнений в безразмерных величинах.

Рис. 2.18. Структурная схема НСАУ, описанная системой (2.11)

Составим уравнения изоклин для двух случаев.

1. Для линейной области ( -1 < x < +1) уравнение (2.11) приводится к виду

90

Из полученных уравнений видно, что стыковку изоклин необходимо осуществлять на линиях переключения, описываемых уравнениями:

Фазовый портрет приведен на рис. 2.23.

Сопоставляя результаты исследования динамики системы с ОС по скорости с результатами исследования без ОС можно сделать вывод: коэффициент усиления в цепи ОС по скорости KOC можно подобрать так, что в переходном процессе будет отсутствовать перерегулирование, а время переходного процесса будет минимальным.

Подобные результаты были положены в основу построения позиционных систем управления, которые широко распространены в современной технике.

x& = de dt

N =1

0

e

N =1

N = -1

Рис. 2.23. Фазовый портрет НСАУ с насыщением и местной обратной связью по скорости

схему позиционной системы (рис. 2.24):

93

2.5.Исследование динамики релейной системы

сидеальным двигателем

Для улучшения динамических свойств систем в контур управления часто включают элементы, обладающие релейными характеристиками. Рассмотрим структуру простейшей системы (рис. 2.26).

v(t ) e(t ) x&2 =U x&1 = x2 x = x1

Рис. 2.26. Структура релейной системы

Полагая x1 (0)= x2 (0)= 0 , построим в соответствии с (2.20 – 2.22) графики

95

где С – постоянная интегрирования.

По этому уравнению построим семейство парабол для разных значений

Ci и U(t) = ±1 (рис. 2.28).

При v(t) = 1(t), С = 1. Через точку x1k = C = 1 проводим параболу при U = –1. Из рис. 2.28 видно, что после перемещения системы из начального состояния x1(0) = x2(0) = 0 в конечное x1k = 1, x2k = 0, движение не заканчивается, так как в системе возникают автоколебания.

1

U =1

Рис. 2.28. Фазовый портрет релейной системы

Из теории линейных систем известно, что динамические свойства можно улучшить, если в сигнал управления ввести дополнительный сигнал, пропорциональный первой производной (т.е. ввести обратную связь по скорости). Используем этот метод для того, чтобы исключить автоколебания. Структурная схема системы примет вид (рис. 2.29).

KОС

Рис. 2.29. Структура релейной системы с обратной связью по скорости

97

Этой структуре соответствуют следующие соотношения:

Фазовый портрет системы представлен на рис. 2.30.

Изменяя значение KOC , можно подобрать его таким, чтобы парабола при U = –1 проходила через начало координат (точка А на линии переключении при начальном условии (x0 , 0) ), тогда переходный процесс в системе будет монотонный, апериодический, а время переходного процесса– минимальным, дру-

x1 = -KOC x2

Рис. 2.30. Фазовый портрет линейной системы с обратной связью

G

Рис. 2.31. Скользящий режим в релейной системе с обратной связью

98

В том случае, когда в точке переключения реле угол наклона линии переключения становится равным наклону или меньше угла наклона касательной к фазовой траектории, по которой движется изображающая точка после переключения реле, возникают условия существования скользящего режима

(рис. 2.31).

Скользящим режимом называется режим работы релейной системы, характеризующийся колебательным движением изображающей точки вдоль линии переключения с высокой частотой и малой амплитудой.

Пусть начальное состояние системы задано точкой (x1, 0) (рис. 2. 31), от

которой изображающая точка перемещается по фазовой траектории типа1 до встречи с линией переключения в точкеС. В этой точке происходит переключение реле и изображающая точка перемещается по фазовой траектории типа2 до точки D. В точке D происходит переключение реле в другую сторону, после чего изображающая точка будет перемещаться по фазовой траектории типа1. Как только снова увеличится результирующий сигнал обратной связи, произойдет переключение реле и изображающая точка будет перемещаться по фазовой траектории типа 2 и т. д. Таким образом, изображающая точка, достигнув точки D, непрерывно перемещается к началу координат, как бы «скользя» вдоль линии переключения.

Как видно из рис. 2.31, скользящий режим возникает на участке АВ. При начальном положении изображающей точки(x2, 0) после ее прихода по траектории типа 1 в точку на линии переключенияЕ сразу начинается скользящий режим. При начальном положении изображающей точки(x3, 0) скользящий режим имеет место после переключения реле в точкеН, когда изображающая точка скользит по линии переключения в четвертом квадранте.

Быстрое движение по линии скольжения обуславливает следующие особенности, характерные для нелинейных систем: возможность получения с использованием релейного регулятора гораздо меньшего времени переходного процесса, чем, например, при использовании стандартного ПИД–регулятора; возможность получения практически конечного времени переходного процесса (времени достижения заданного состояния).

что движение по линии переключения соответствует системе первого порядка, процессы не зависят от параметров прямой цепи, а определяются только величиной KОС .

Отметим, что на практике всегда реализуется режим, близкий к скользящему, отличающийся от истинно скользящего конечной частотой переключения. В самом деле, релейный элемент не может переключаться с бесконечной частотой вне зависимости от его реализации: аппаратной (реле), электронной (электронная ключевая схема) или программной.

99