2799-up_ch2

31

На рисунках 3.2 и 3.3 представлены графики модуля и аргумента комплексной спектральной плотности сигнала.

Е 2

S

Тоc

Рисунок 3.2 – График модуля спектральной плотности

а)

б)

Рисунок 3.3 – Графики аргумента комплексной спектральной плотности: ненормированный (а) и нормированный (б) относительно 2 n

Анализируя рисунки 3.2 и 3.3, можно сказать, что сдвиг сигнала во временной области не изменяет значения модуля спектральной плотности, а приводит к изменению фазовой характеристики.

32

3.2Дискретизация аналогового сигнала по времени

Руководствуясь теоремой Котельникова, частоту дискретизации д выбираем так, чтобы д 2 в . Для определения верхней частоты в спектра

сигнала воспользуемся пороговым критерием: для частот выше «верхней» модуль спектральной плотности не превышает уровня 0,1 от максимального значения:

образом частота дискретизации д и интервал дискретизации Тд будут равны

д 2 в 12 , Т д 2 д в Тос 12 .

Строго говоря, все реальные сигналы имеют конечную длительность и, следовательно, бесконечно протяженный спектр. Однако начиная с некоторого значения частоты спектральные составляющие становятся настолько малы, что ими можно пренебречь.

Сигнал может быть приближенно описан конечным числом выборочных значений. Число выборочных значений, которыми полностью описывается сигнал, называют числом степеней свободы сигнала.

Число степеней свободы N будет равно

N Tос 12.

Tд

На рисунке 3.4 приведены отсчеты прямоугольного импульса.

1,2

Е

0,8

sn 0,6 0,4

0,2

Рисунок 3.4 – Отсчеты исходного аналогового сигнала

Таким образом, сигнал задается последовательностью отсчетов вида

33

Е{1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0}.

Запишем математическую модель дискретного сигнала sд t с помощью дискретных функций Хэвисайда:

sд t E n E n 6 .

3.3 Расчет спектральной плотности дискретизированного сигнала

Для нахождения спектральной плотности дискретизированного сигнала применим прямое преобразование Фурье (2.19). Выполняя нормировку относительно числа степеней свободы N, найдем

спектральной плотности.

35

отсчетами его спектральной плотности с помощью прямого дискретного преобразования Фурье (ПДПФ):

Расчет комплексных коэффициентов ряда Фурье Ck с использованием

ЦВМ не составляет труда. Однако необходимо представлять себе, каким образом происходит векторное суммирование компонент.

На рисунках 3.7 – 3.9 изображены векторные диаграммы, отражающие расчет комплексных коэффициентов ряда Фурье. Рисунку 3.7 соответствует аналитическое выражение

210 330

36

Рисунок 3.8 – Векторная диаграмма определения коэффициента C2

Е 0,083 j0,083 .

Рисунок 3.9 – Векторная диаграмма определения коэффициента C3

В таблице 3.1 приведены все коэффициенты ряда Фурье.

37

На рисунке 3.10 представлены графически модули комплексных коэффициентов Фурье

. 0,6 Сk 0,5

Е0,4

0,3

0,2

0,1

k ·2π

Tоc

Рисунок 3.10 – Отсчеты спектральной плотности, полученные по ДПФ

Дискретный периодический сигнал обладает дискретным периодическим спектром. Отсчеты во временной и частотной областях связаны парой ДПФ. При этом число степеней свободы во временной и частотной областях имеет одно и то же значение N:

3.5Восстановление исходного сигнала по ДПФ

Если на основании совокупности отсчетов s0, s1, s2, ..., sN-1 некоторого сигнала найдены коэффициенты ДПФ С0,С1,С2,...,СN-1, то по ним всегда можно восстановить исходный сигнал s(t) с ограниченным спектром, который был подвергнут дискретизации. Ряд Фурье такого сигнала (для четного числа N) принимает вид конечной суммы

Для того чтобы на основании Z-образа последовательности отсчетов было возможно получить спектральную плотность, необходимо сделать замену вида

ze j Tд .

Врезультате подстановки получим

Sд Е sin 3 Tд e j5 Tд 2 . sin Tд 2

40

На рисунке 3.12 изображен модуль спектральной плотности дискретизированного сигнала, полученной на основе Z-преобразования (с учетом нормирования относительно числа степеней свободы N =12).

Таким образом, пара Z-преобразований позволяет связать частотный и временной образы дискретного сигнала. Причем выборке отсчетов сигнала во временной области соответствует периодическая спектральная плотность в частотной области с периодом повторения, равным д.

Рисунок 3.12 – Спектральная плотность последовательности отсчетов

сучетом нормирования относительно N

3.7Восстановление аналогового сигнала использованием ряда Котельникова

Восстановление аналогового сигнала по заданным отсчетам произведем, используя ряд Котельникова, а именно

Другими словами, восстановленный сигнал представляет собой сумму функций Котельникова с весами, равными отсчетам сигнала. На рисунке 3.13 приведен результат восстановления.