- •Теория надёжности
- •Содержание
- •1. Введение 7
- •2. Основные понятия и определения теории надёжности 8
- •3. Показатели надёжности 18
- •4. Расчёт надёжности по внезапным отказам 44
- •5. Надёжность резервированных систем 55
- •6. Испытания на надёжность 76
- •7. Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации 118
- •Введение
- •Основные понятия и определения теории надёжности
- •Свойства, характеризующие надёжность
- •Состояния объекта и их характеристики
- •Временные параметры, характеризующие надёжность
- •Основные сведения о расчёте надёжности
- •Показатели надёжности
- •Общие сведения о показателях надёжности для различных видов объектов
- •Показатели безотказности
- •Набор показателей безотказности для различных видов объектов
- •Вероятность безотказной работы, вероятность отказа и частота отказов
- •Интенсивность отказов
- •Средняя наработка до отказа
- •Гамма - процентная наработка до отказа
- •Средняя наработка на отказ
- •Параметр потока отказов и осреднённый параметр потока отказов
- •Показатели долговечности
- •Показатели сохраняемости
- •Показатели ремонтопригодности
- •Комплексные показатели надёжности
- •Распределение Пуассона
- •Нормальное распределение времени безотказной работы при постепенных отказах и учёт влияния этих отказов при расчёте надёжности
- •Распределениевремени безотказной работы по закону Релея
- •Распределениевременибезотказной работыпо закону Вейбулла
- •Законыраспределениявремениремонта
- •Выбор номенклатуры показателей надёжности и задание требований по надёжности
- •Выбор номенклатурыпоказателейнадёжности
- •Заданиетребованийпо надёжности
- •Расчёт надёжности по внезапным отказам
- •Нормирование значений величин вероятности безотказной работы и интенсивности отказов (ориентировочный расчёт надёжности)
- •Окончательный расчёт надёжности невосстанавливаемых объектов с учётом режимов работы элементов
- •Окончательный расчёт надёжности восстанавливаемых объектов с учётом режимов работы элементов
- •Разработка требований к надёжности составных частей объекта, исходя из заданной надёжности на объект
- •Надёжность резервированных систем
- •Методы и средства повышения надёжности рэо
- •Виды резервирования
- •Методы расчёта надёжности резервированных систем
- •Расчёт общего резервирования спостоянновключенным резервом и с целой кратностью m при отсутствии последействия
- •Расчёт раздельногорезервированияс постоянно включенным резервом и с целой кратностью при отсутствии последействия
- •Расчёт общего резервирования с дробной кратностью и с постоянно включенным резервом при отсутствии последействия
- •Расчёт резервирования замещениемдляслучаев облегченного резерва, ненагруженного резерва и общего нагруженного резервирования с последействием
- •Расчёт скользящегоненагруженногорезервирования замещением
- •Испытания на надёжность
- •Виды и планы испытаний нанадёжностьпри проектировании, производстве и эксплуатации изделий
- •Контрольные выборочные испытания на надёжность по методу однократной выборки
- •Контрольные выборочные последовательные испытания на надёжность
- •Контрольные и определительные испытания на ремонтопригодность
- •Определительные испытания на долговечность, на сохраняемость, на безотказность и для оценки комплексных показателей
- •Определительные ускоренные испытания на надёжность с использованием математических и физических методов прогнозирования Общие сведения о прогнозировании
- •Математические методы прогнозирования
- •Физические методы прогнозирования
- •Определительные ускоренные испытания на надёжность с использованием прогнозирования
- •Граничные испытания для оценки запаса параметрической надёжности
- •Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации
- •Общие положения
- •Доверительные вероятности, доверительные интервалы и методы исключения грубых ошибок измерения при определении статистических характеристик надёжности
- •Общие сведения о доверительной вероятности, доверительных интервалах и методах исключения грубых ошибок измерения
- •Определение доверительного интервала и минимального числа измерений при нормальном распределении времени безотказной работы
- •Доверительные интервалы при экспоненциальном распределении и распределении Пуассона
- •Критерии согласия между теоретической кривой и статистическим распределением
- •Критерий согласия Колмогорова
- •Критерий согласия χ2 Пирсона
- •Литература
- •Приложение а.Справочные данные для расчёта надёжностиРэСв курсовых и дипломных проектах
Доверительные интервалы при экспоненциальном распределении и распределении Пуассона
Статистические оценки для интенсивности отказов λстат, не зависящей при экспоненциальном распределении от времени, и средней наработки до отказаT1статвычисляют по формулам (3.15) и (3.22).
Нижнюю λни верхнююλвграницы интенсивности отказов находят по формулам [4]:
λн=λстат/r1; (7.23)
λв=λстат/ r2, (7.24)
где
r1 = 2 n/ 2[Р(), 2n], (7.25)
r2= 2 n/ 2[1 -Р(), 2n]. (7.26)
В формулах (7.25) и (7.26) 2[2n- квантили распределения 2 Пирсона при числе степеней свободыr= 2n(см.таблицу 7.11). Значения коэффициентовr1иr2табулированы для различных вероятностейР() и значений числа отказовnи приведены втаблице 6.4.
Учитывая, что при экспоненциальном распределении согласно формуле (3.18) Т1= 1 /λ, получим
Tн=T1стат·r2, (7.27)
Tв=T1стат·r1. (7.28)
Если в процессе испытаний в течение времени tине получено ни одного отказа, верхнюю доверительную границу интенсивности отказов находят из выражения [4]
λв=r0/tи, (7.29)
где значения коэффициента r0можно опеделить по формуле
r0= 1 / 2χ2[Р(), 2] приr= 2 (7.30)
или из таблицы 7.9.
Таблица 7.19 - Значения коэффициента r0
Р() |
1,0 |
0,999 |
0,99 |
0,95 |
0,9 |
0,8 |
r0 |
0 |
6,91 |
4,6 |
3,0 |
2,3 |
1,61 |
Доверительные границы в случае распределения Пуассона вычисляются по формулам [4]:
ан=n / r1; (7.31)ав=n / r2, (7.32)
где а- параметр распределения Пуассона (математическое ожидание числа отказов);а=λ t;n- количество отказов, возникших в процессе испытаний. Доверительный интервал для интенсивности отказов находится следующим образом:
1. Задаемся доверительной вероятностью Р().
2. По заданным nиР() находим потаблице 6.4коэффициентыr1, иr2.
3. Рассчитываем по формулам (7.31) и (7.32) значения аниав. По заданной наработкеtинаходим доверительные границы дляλ:
λн=ан/tи; (7.33)
λв=ав/tи. (7.34)
Критерии согласия между теоретической кривой и статистическим распределением
Критерий согласия Колмогорова
По критериям согласия можно определить, вызваны ли расхождения между теоретической кривой и статистическим распределением только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что выбранная кривая плохо выравнивает данное статистическое распределение. Из критериев согласия наиболее распространены критерий Колмогорова и критерий χ2Пирсона.
При применении критерия согласия Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между теоретической F(t) и экспериментальнойFстат(t) интегральными функциями распределения (рисунок 7.2). В данном случае интегральными функциями распределения являются вероятности отказа. Заметим, что в некоторых источниках [10] статистическую интегральную функцию распределенияFстат(t) называют накопленной частостьюРн, а обычную статистическую функцию распределенияfстат(t) - частостьюРi. На основании критерия Колмогорова экспериментальное распределение согласуется с выбранным теоретическим, если выполняется условие [4, 8, 10]
(7.35)
где ΔF= max [Fстат(t) -F(t)] - наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экспериментальной; n- общее количество экспериментальных данных.
Недостатком критерия Колмогорова является то, что он требует предварительного знания теоретического распределения, т.е. его можно применять, когда известны не только вид функции распределения F(t), но и ее параметры. Когда параметры теоретического распределения находятся по статистическим данным, то критерий дает заведомо завышенные значенияΔr, что может привести к неверным выводам.
По данным статистического ряда изтаблицы 7.3построим зависимости вероятностей отказаFстат(t) иF(t) от времени (рисунок 7.2) и проверим гипотезу об экспоненциальном распределении времени исправной работы устройства, используя критерий Колмогорова.
Из этого рисунка и таблицы 7.3видно, чтоΔF= 0,13. Проверяем соответствие закона по критерию согласия Колмогорова (7.35):
В соответствии с формулой (7.35) считаем, что закон распределения экспоненциальный.
Если статистическая интегральная функция распределения (вероятность отказа) Fстат(t) известна Fстат(t) иF(t), а теоретическая функция распределенияF(t) неизвестна, то согласие между теоретической кривой и статистическим распределением по критерию Колмогорова можно определить с помощью вероятностных сеток [8, 10, 14, 15]. Правила построения и применения вероятностных сеток изложены в СТ СЭВ 3542-82 [15].
В литературе, например в [8,15], имеются заранее приготовленные вероятностные сетки для различных законов распределения, называемые вероятностными бумагами. Если закон распределения соответствует закону, для которого построена вероятностная сетка, то интегральная функция теоретического закона распределения отображается на вероятностной бумаге в виде прямой, а если не соответствует, то в виде линии другой формы.
Для определения закона распределения по вероятностной бумаге необходимо сначала построить дискретный ряд распределения, если объем выборки n< 50, и интервальный ряд с количеством интерваловlприn> 50. Значение частот в интервалах обычно должно быть не менее пяти. В обоих случаях должны быть подсчитаны накопленные частостиРн, которые и представляют статистическую интегральную функцию распределенияFстат(t).
В теории надёжности на вероятностную бумагу наносят не накопленные эмпирические частости Рн=Fстат(t), тождественные вероятности отказа, а разности 1-Рн, тождественные вероятности безотказной работы. Полученные экспериментальные точки аппроксимируются прямой линией. Если опытные точки располагаются близко к прямой, то это свидетельствует в первом приближении о согласии опытных данных с тем законом распределения, для которого построена вероятностная бумага. Для более объективного построения прямой по опытным точкам рекомендуется использовать метод наименьших квадратов. При нанесении на вероятностную бумагу экспериментальных точек частости, соответствующие крайним значениям признака, обычно отбрасываются, так как количество данных для этих значений мало и получается большая погрешность [10].
После визуальной оценки по вероятностной бумаге согласия эмпирического распределения с выбранным теоретическим распределением необходимо проверить соответствие между ними по критерию Колмогорова (7.35). Если исследуется надёжность изделий с неизвестным законом, то перебирать несколько типов вероятностных бумаг, прежде чем будет найден подходящий закон, рекомендуется в таком порядке [8]: экспоненциальный, усеченный нормальный, логарифмически нормальный, Вейбулла, гамма.
Вид вероятностных бумаг для усеченного нормального и логарифмически нормального законов показан на рисунке 7.4, а пример использования вероятностной бумаги для экспоненциального закона для оценки согласия эмпирического распределения с выбранным теоретическим распределением показан нарисунке 7.3.
Пример 7.2[8].
В результате опыта получен следующий вариационный ряд времен исправной работы изделия в часах: 2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 18; 20; 21; 25; 28; 35; 37; 53; 56; 69; 77; 86; 98; 119. Требуется установить закон распределения времени безотказной работы.
Решение.
1. Используя исходные данные и вычислив , заполняемтаблицу 7.10.
Таблица 7.20 - Данные к примеру 7.2
tί |
nί |
Нί |
Рн = Нί / n |
1 - Рн |
2 |
1 |
1 |
0,04 |
0,96 |
3 |
2 |
3 |
0,11 |
0,89 |
5 |
1 |
4 |
0,14 |
0,86 |
6 |
1 |
5 |
0,18 |
0,82 |
7 |
1 |
6 |
0,21 |
0,79 |
8 |
2 |
8 |
0,29 |
0,71 |
9 |
2 |
10 |
0,36 |
0,64 |
13 |
1 |
11 |
0,39 |
0,61 |
15 |
1 |
12 |
0,43 |
0,57 |
16 |
1 |
13 |
0,47 |
0,53 |
17 |
1 |
14 |
0,50 |
0,50 |
18 |
1 |
15 |
0,54 |
0,46 |
20 |
1 |
16 |
0,57 |
0,43 |
21 |
1 |
17 |
0,61 |
0,39 |
25 |
1 |
18 |
0,64 |
0,36 |
28 |
1 |
19 |
0,68 |
0,32 |
35 |
1 |
20 |
0,72 |
0 28 |
37 |
1 |
21 |
0,75 |
0,25 |
53 |
1 |
22 |
0,79 |
0,21 |
56 |
1 |
23 |
0,82 |
0,18 |
69 |
1 |
24 |
0,86 |
0,14 |
77 |
1 |
25 |
0,89 |
0,11 |
86 |
1 |
26 |
0,93 |
0,07 |
98 |
1 |
27 |
0,96 |
0,04 |
119 |
1 |
28 |
1,00 |
0,00 |
2. Проверяем согласие экспериментального распределения с экспоненциальным распределением. Наносим экспериментальные данные на координатную сетку (рисунок 7.3).
3. Проводим через отметки прямую линию таким образом, чтобы отклонения точек от прямой были минимальными. Убеждаемся в возможности линейной интерполяции. Находим и снимаем наибольшее отклонение. В нашем случаеΔF = D= 0,09.
4. Проверяем соответствие закона по критерию согласия Колмогорова (7.35):
В соответствие с формулой (7.35) считаем, что закон распределения времени безотказной работы не противоречит экспоненциальному.