- •Теория надёжности
- •Содержание
- •1. Введение 7
- •2. Основные понятия и определения теории надёжности 8
- •3. Показатели надёжности 18
- •4. Расчёт надёжности по внезапным отказам 44
- •5. Надёжность резервированных систем 55
- •6. Испытания на надёжность 76
- •7. Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации 118
- •Введение
- •Основные понятия и определения теории надёжности
- •Свойства, характеризующие надёжность
- •Состояния объекта и их характеристики
- •Временные параметры, характеризующие надёжность
- •Основные сведения о расчёте надёжности
- •Показатели надёжности
- •Общие сведения о показателях надёжности для различных видов объектов
- •Показатели безотказности
- •Набор показателей безотказности для различных видов объектов
- •Вероятность безотказной работы, вероятность отказа и частота отказов
- •Интенсивность отказов
- •Средняя наработка до отказа
- •Гамма - процентная наработка до отказа
- •Средняя наработка на отказ
- •Параметр потока отказов и осреднённый параметр потока отказов
- •Показатели долговечности
- •Показатели сохраняемости
- •Показатели ремонтопригодности
- •Комплексные показатели надёжности
- •Распределение Пуассона
- •Нормальное распределение времени безотказной работы при постепенных отказах и учёт влияния этих отказов при расчёте надёжности
- •Распределениевремени безотказной работы по закону Релея
- •Распределениевременибезотказной работыпо закону Вейбулла
- •Законыраспределениявремениремонта
- •Выбор номенклатуры показателей надёжности и задание требований по надёжности
- •Выбор номенклатурыпоказателейнадёжности
- •Заданиетребованийпо надёжности
- •Расчёт надёжности по внезапным отказам
- •Нормирование значений величин вероятности безотказной работы и интенсивности отказов (ориентировочный расчёт надёжности)
- •Окончательный расчёт надёжности невосстанавливаемых объектов с учётом режимов работы элементов
- •Окончательный расчёт надёжности восстанавливаемых объектов с учётом режимов работы элементов
- •Разработка требований к надёжности составных частей объекта, исходя из заданной надёжности на объект
- •Надёжность резервированных систем
- •Методы и средства повышения надёжности рэо
- •Виды резервирования
- •Методы расчёта надёжности резервированных систем
- •Расчёт общего резервирования спостоянновключенным резервом и с целой кратностью m при отсутствии последействия
- •Расчёт раздельногорезервированияс постоянно включенным резервом и с целой кратностью при отсутствии последействия
- •Расчёт общего резервирования с дробной кратностью и с постоянно включенным резервом при отсутствии последействия
- •Расчёт резервирования замещениемдляслучаев облегченного резерва, ненагруженного резерва и общего нагруженного резервирования с последействием
- •Расчёт скользящегоненагруженногорезервирования замещением
- •Испытания на надёжность
- •Виды и планы испытаний нанадёжностьпри проектировании, производстве и эксплуатации изделий
- •Контрольные выборочные испытания на надёжность по методу однократной выборки
- •Контрольные выборочные последовательные испытания на надёжность
- •Контрольные и определительные испытания на ремонтопригодность
- •Определительные испытания на долговечность, на сохраняемость, на безотказность и для оценки комплексных показателей
- •Определительные ускоренные испытания на надёжность с использованием математических и физических методов прогнозирования Общие сведения о прогнозировании
- •Математические методы прогнозирования
- •Физические методы прогнозирования
- •Определительные ускоренные испытания на надёжность с использованием прогнозирования
- •Граничные испытания для оценки запаса параметрической надёжности
- •Статистические характеристики надёжности устройств в условиях эксплуатации
- •Общие положения
- •Доверительные вероятности, доверительные интервалы и методы исключения грубых ошибок измерения при определении статистических характеристик надёжности
- •Общие сведения о доверительной вероятности, доверительных интервалах и методах исключения грубых ошибок измерения
- •Определение доверительного интервала и минимального числа измерений при нормальном распределении времени безотказной работы
- •Доверительные интервалы при экспоненциальном распределении и распределении Пуассона
- •Критерии согласия между теоретической кривой и статистическим распределением
- •Критерий согласия Колмогорова
- •Критерий согласия χ2 Пирсона
- •Литература
- •Приложение а.Справочные данные для расчёта надёжностиРэСв курсовых и дипломных проектах
Доверительные вероятности, доверительные интервалы и методы исключения грубых ошибок измерения при определении статистических характеристик надёжности
Общие сведения о доверительной вероятности, доверительных интервалах и методах исключения грубых ошибок измерения
Оценки, полученные по формулам (7.3), (7.5), (7.6) и (7.7), называются точечными. Для характеристики точности и надёжности оценки хстатпользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.
Пусть для параметра хполучена изnопытов несмещенная оценкахстат. Оценим вероятность, при которой допущенная при этом ошибка не превзойдет некоторой величиныε. Обозначим эту вероятность, называемую доверительной вероятностью,Ρ(ε):
Ρ(ε) =Ρ(|хстат-х| <ε). (7.8)
Доверительная вероятность- это есть вероятность того, что истинное значениех будет заключаться в пределах отхстат– ε дохстат+ε. Границыхстат– ихстат+ ε называютдоверительными границами, а интервалIε=хстат± ε-доверительным интервалом. Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность - его надёжность [4]. Если при испытанияхmзначений измеряемой случайной величиныхпопадут в интервал (х1,х2), то при большом числе опытов отношениеmк общему числу опытовN, называемоечастостью, будет стремиться к постоянному числу. Для различных интервалов эти числа, естественно, будут различны. Рассматривая случайные ошибки как случайные величины, можно утверждать, что вероятностьP[х(х1,х2)] попадания случайной величиныхв интервал (х1,х2), равна
P[х(х1,х2)] ≈m / N. (7.9)
Правило, позволяющее находить P[х(х1,х2)] для любых интервалов (х1,х2), и естьзакон распределения вероятностей случайной величиных. Если закон распределения является нормальным, то вероятность попадания случайной ошибкихв симметричный интервал (-х1,х2) при (х1> 0) оценивают выражением [1]
P[х(-х1,х2)] =P[|х| < х1] = 2Ф(х / σ) = 2Φ(t) = РД(t), (7.10)
где Ф(t) интеграл вероятности:
иФ(-t) = -Ф(t); (7.11)
2Ф(х / σ) = 2Φ(t) =РД(t) (приt = х / σ) - интегральная функция Лапласа. Её значения для различныхtпротабулированы и приведены втаблице 7.6;
Ф(х / σ) =Φ(t) - интеграл вероятностей или функция Лапласа;
σ- среднеквадратическая ошибка.
Вероятность того, что случайная ошибка хне выйдет за границы ±tσ, (t > 0), равна
Ρ[|х| >tσ] = 1 - 2Φ(t). (7.12)
При х 3σ(т.е. приt3) вероятность Ρ[|х| >tσ] становится настолько малой (Ρ[|х| > 3σ] =1 - 2Ф(3) = 0,0027), что выход случайной ошибки за трехсигмовый интервал считают практически невозможным. Это правило получило названиеправила трёх сигм. Оно находит широкое практическое применение для исключения грубых ошибок измерения (промахов), для которых |х| > 3σ, из статистического ряда. Если среднеквадратическая ошибкаσзаранее неизвестна, то с помощью формулы (7.5) вычисляют статистическую оценку среднеквадратичного отклоненияσстат, а затем исключают грубые ошибки измерения для которых
|х| > 3 σстат. (7.13)
Таблица 7.16 - Интегральная функция ЛапласаРД(t) = 2Φ(t) [1, 4, 30]иФ(-t) = -Ф(t)
t |
РД(t)
|
t
|
РД(t) |
t
|
РД(t) |
0.00
|
0.0000
|
0.75
|
0.5467
|
1.50
|
0.8864
|
0.05
|
0.0399
|
0.80
|
0.5763
|
1.55
|
0.8789
|
0.10
|
0.0797
|
0.85
|
0.6047
|
1.60
|
0.8904
|
0.15
|
0.1192
|
0.90
|
0.6319
|
1.65
|
0.9011
|
0.20
|
0.1585
|
0.95
|
0.6579
|
1.70
|
0.9109
|
0.25
|
0.1974
|
1.00
|
0.6827
|
1.75
|
0.9199
|
0.30
|
0.2357
|
1.05
|
0.7063
|
1.80
|
|0.9281
|
0.35
|
0.2737
|
1.10
|
0.7287
|
1.85
|
0.9357
|
0.40
|
0.3108
|
1.15
|
0.7419
|
1.90
|
0.9426
|
0.45
|
0.3473
|
1.20
|
0.7699
|
1.95
|
0.9488
|
0.50
|
0.3829
|
1.25
|
0.7887
|
2.00
|
0.9545
|
0.55
|
0.4177
|
1.30
|
0.8064
|
2.25
|
0.9756
|
0.60
|
0.4515
|
1.35
|
0.8230
|
2.50
|
0.9876
|
0.65
|
0.4843
|
1.40
|
0.8385
|
3.00
|
0.9973
|
0.70
|
0.5161
|
1.45
|
0.8529
|
4.00
|
0.9999
|
Согласно таблицы 7.6, если мы хотим исключить ошибки измерения величиных, вероятность появления которыхΡ[|х|>tσ] меньше 5% (РД(t) = 2Ф(t) = 0,95), то убирают значениях> 1,96σстат(t> 1,96). Если мы хотим исключить ошибки измерения величины х, вероятность появления которыхΡ[|х|>tσ] меньше 1% (РД(t) = 2Ф(t) = 0,99), то убирают значениях> 2,576σстат(t> 2,576). Если мы хотим исключить ошибки измерения величиных, вероятность появления которыхΡ[|х|>tσ] меньше 0,1% (РД(t) = 2Ф(t) = 0,999), то убирают значениях> 3,291 σстат(t > 3,291). Здесь сотые и тысячные доли величиныtуточнены по более подробным таблицам из [1]. При вычислении σстатс помощью формулы (7.5) следует не включать в вычисления подозрительное значениех, которое проверяется на предмет его возможного исключения из статистического ряда.
Для исключения грубых ошибок измерения существует также критерийИрвина, о котором не указывается, что он применим при определенном распределении. Метод или критерий Ирвина основан на оценке разности двух наибольших или наименьших членов выборки. Определяется величинаλ, равная [10]
λ= (х2-х1) /σстат(7.14 а)
или
λ= (хn-хn-1) /σстат, (7.14б)
в зависимости от того, с какой стороны выборки расположен резко выделяющийся член выборки. По приведенной таблице 7.7в зависимости от объема выборкиnпри уровне значимостиα= 0,95 находят критическое значениеλ= 0,95. Если рассчитаннаяλ≤λ(= 0,95), то оцениваемый результат является случайным и не подлежит исключению из выборки. Еслиλ > λ(= 0,95), то следует исключить из выборки оцениваемое резко выделяющееся наименьшее или наибольшее значение случайной величины (или оба вместе), так как оно представляет собой грубую ошибку. После исключения ошибки необходимо снова вычислить значения xстатиσстат. В [10] описаны и некоторые другие методы исключения грубых ошибок измерения.
Таблица 7.17 - Значения критерия Ирвина λ(= 0,95) для уровня значимостиα= 0,95 в зависимости от объёма выборкиn[10]
n
|
20
|
30
|
50
|
100
|
400
|
1000
|
λ( = 0,95)
|
1,3
|
1,2
|
1,1
|
1,0
|
0,9
|
0,8
|