Математические методы прогнозирования

Методы прогнозирования надёжности ЭС разделяют на математические и физи­ческие. Математические методы прогнозирования, являющие­ся наиболее распространенными, подразделяют на детерминированные и вероятно­стные (стохастические), а также методы, основанные на применении математического аппарата теории распозна­вания образов.Детерминированный метод прогнозированияприменяют при из­вестном характере изменения значений прогнозируемого параметра во времени. Тогда, представив состояние изделия в виде многомер­ной функции, можно описать его поведение в любой момент времени.Вероятностный метод прогнозированияпредполагает определе­ние доверительного интервала значений прогнозируемого параметра в заданном временном интервале, в котором с заданной вероятно­стью параметр не выйдет за допустимые пределы изменения. Сутьметодов прогнозирования на основе распознавания образовсостоит в следующем. В простран­стве имеется множество ярко выраженных областей, характеризую­щих состояние ЭС во времени. Зная значение параметра изделия в момент времениt₀, можно принять решение о принадлежности его к той или иной области, т.е. распознать образ исследуемого из­делия. Все эти методы позволяют прогнозировать состояние ЭС в будущем, контролируя его в настоящий период времени, на основе найденных экстраполяционных связей [20].

Методы прогнозирования на основе распознавания образов, подробно рассмотренные в [1], имеют несколько разновидностей: метод распознавания Байеса, метод последовательного анализа, метод минимального риска, метод наибольшего правдоподобия. Их изложение достаточно большое по объёму. Поэтому мы рассмотрим лишь два последних метода, описание которых заимствовано из [1].

Вначале рассмотрим метод минимального риска. Условимся характеризовать исправ­ное состояние РЭС диагнозомD₁, неисправное состояние - диаг­нозомD₂. При распознавании состояния РЭС при постановке ди­агноза могут быть допущены два рода ошибок. Ошибками пер­вого рода называют такие, когда ставится диагнозD₂вместоD₁, т.е. исправную РЭС относят к неисправной. Эти ошибки часто называютложнойтревогойилирискомпоставщика. Ошибками второго рода называют такие, когда для неисправ­ной РЭС с состояниемD₂ставят диагнозD₁, т. е. считают ее годной. Эти ошибки называютпропуском целиилириском заказчика. Естественно, что такого рода ошибки являются более опасными. Поэтому ошибки первого и второго рода имеют раз­личные цены (веса). Будем полагать, что процесс распознавания состояния РЭС осуществ­ляется при наличии одного диагностического признака, проводить дифференциальную диагностику и считать, что априорные вероят­ности диагнозовP(D₁) иP(D₂) известны из предварительных (собранных до прогноза) статистических данных.

В методе минимального рискарешающее правило при­нятия решения выбирается исходя из условия минимума риска. Обозначим диагностируемый параметр черезх. Тогда задачу распознавания можно сформулировать так: необходимо выбрать граничное (оптимальное) значение параметрах, равноех₀, такое, чтобы прих<х₀диагностируемая РЭС находилась в исправном состоянии, а прих>х₀выходила из строя и снималась с даль­нейшей эксплуатации. Очевидно, что решающее правило для пос­тановки диагноза будет при этом следующим:

при х<х₀ x  D₁, прих>х₀xD₂. (6.22)

Обозначим возможные решения, которые в принципе могут быть приняты в соответствии с решающим правилом (6.22), че­рез Η_ij(i, j= 1, 2). Будем при этом считать, чтоiозначает по­ставленный диагноз, аj- действительное состояние системы. Правильными решениями будутН₁₁иН₂₂(т.е. когда поставленный диагноз совпадает с действительным). РешениеН₁₂означает пропуск цели, аН₂₁- ложную тревогу.

Вычислим вероятности принятия неправильных решений Р(Н₁₂) иΡ(Н₂₁). Очевидно, что они будут равными произведению вероятностей двух событий: наличия неисправного состояния и значениях<х₀и наличия исправного состояния и значениях>х₀соответственно:

(6.23)

(6.24)

где P₁=P(D₁) иP₂=P(D₂) - вероятности априор­ных диагнозов;Р(х<х₀/D₂) иР(х>х₀/D₁) - вероятности исправно­го и неисправного состояний в соответствии с решающим прави­лом (6.22). Будем считать, что цена (вес) принятия неправильного реше­ния Р(Н₁₂) - пропуска цели - равнаС₁₂, а цена решенияΡ(Н₂₁) - ложной тревоги -С₂₁. Тогда средний риск принятия решенияRбудет равен сумме вероятностей возможных ошибок с учетом их весов, т.е.

R=С₁₂ Р(Н₁₂) +С₂₁  Ρ(Н₂₁) (6.25)

(обычно С₁₂>>С₂₁). Обозначим цены правильных решенийН₁₁иН₂₂черезС₁₁иС₂₂соответственно. Чтобы отличить от стоимости потерь, их обычно считают отрицательными. С учетом сказанного выражение среднего риска может быть уточнено:

(6.26)

Иногда цены правильных решений С₁₁иС₂₂полагают равными нулю, т.е. не учитывают как, например, в (6.25). Рассмотрим математическое содержание метода минимального риска. Из условия получения минимума среднего рискаR_minопределим граничное значениех₀диагностируемого параметрахв решающем правиле (6.22). Необходимое и достаточное условие достиженияR_minв точкех = х₀выражается неравенством

(6.27)

Для получения выражения (6.27) в явном виде определим сна­чала условие существования экстремума функции (6.26), т.е. решим уравнение вида

(6.28)

С учетом (6.26) оно запишется

(6.29)

или

(6.30)

Пусть плотности распределения f(х / D₁) иf(х / D₂) подчинены нормальному закону и имеют по одному максимуму (рисунок 6.5). Искомое оптимальное значениех₀, доставляющее минимум функ­ции рискаR, будет располагаться нарисунке 6.5между центрамих₁их₂распределенийf(х / D₁) иf(х / D₂), т.е.

х_1СР<х₀<х_2СР. (6.31)

Сучетом положенияx₀теперь можно утверждать, что условие (6.27) приводит к необходимости выполнения следующего неравенства относительно производных плотностей распределения:

(6.32)

Заметим, что (6.32) всегда выполняется, так как в правой час­ти неравенства стоит положительная величина, а слева отрица­тельная. Это объясняется тем, что С₁₂>С₂₂, aС₂₁>С₁₁и прих>х₁производнаяf'(х₀/D₁) < 0, а производная f'(х₀/D₂) > 0 вплоть дох₀<х_2СР(см.рисунок 6.5).

Запишем решающее правило метода минимального риска с использованием отношения правдоподобия (6.30) и условия (6.22):

x D₁, если f(х/D₁) /f(х/D₂) >P₂(С₁₂-С₂₂) / [P₁(С₂₁-С₁₁)];х<х₀; (6.33)

x D₂, если f(х/D₁) /f(х/D₂) <P₂(С₁₂-С₂₂) / [P₁(С₂₁-С₁₁)];х>х₀; (6.34)

Пороговым значением отношения правдоподобия счи­тают величину

λ=P₂(С₁₂-С₂₂) / [P₁(С₂₁-С₁₁)]. (6.35)

Если цены принятия правильных решений С₁₁иС₂₂не учитывают, т.е. считают их равными нулю, то выражение (6.35) принимает вид

λ=P₂С₁₂/ (P₁С₂₁). (6.36)

Используем метод минимального риска при решении диагностической за­дачи.

Пример 6.7[1].

В преобразователе частоты при нормальной работе в состоянии D₁среднее значение частотыF_СР= 400 Гц, а ее среднеквадратическое отклонениеσ= 15 Гц. При неисправномD₂состоянии пре­образователяF₂= 430 Гц, аσ₂= 50 Гц. Из статистических данных известно также, что у 5% таких преобразователей при эксплуатации наблюдаются отказы. Требуется определить предельную частотуF₀преобразователя, при которой еще можно продолжать его эксплуатацию, имея в виду, что отношение стоимости пропуска целиС₁₂к стоимости ложной тревогиC₂₁равно 50.

Решение.

Будем считать, что распределение частоты у исправного и неисправного преобразователей подчиняется нормальному закону, а С₁₁=С₂₂= 0. Тогда из условия (6.30) получим

где Р₂= 0,05 иP₁= 1-Р₂= 0,95 - вероятности пребывания преобразователя частоты соответственно в неисправном и исправном состояниях. Плотности распределения при нормальном законе

;

Подставим полученные значения в предыдущее равенство и, логарифмируя его, получим

-(F- 400)²/ (215²) + (F- 430)²/ (250²) = ln(2,63215 / 50) = - 0,2362.

Это уравнение можно упростить:

F²- 0,79410³F+ 15,7410⁴= 0.

Положительный корень этого уравне­ния F₀= 411,46. Следовательно, мож­но рассчитывать на то, что до часто­ты 411,46 Гц преобразователь будет работать нормально. Очевидно, что отклонение частоты преобразователя от его среднего значения не должно превышать 411,46 – 400 = 11,46 Гц при его нормальной работе. Полученное решение может быть проиллюстрировано графиче­ски нарисунке 6.3, если принятьх₁= 400 Гц,х₂= 430 Гц, ах₀= 411,46 Гц.

Метод наибольшего правдоподобия, как и метод минимального рис­ка, для записи своего решающего правила использует отношение правдоподобия

xD₁, еслиf(х/D₁) /f(х/D₂) > 1; (6.37)

xD₂,если f(х/D1) /f(х/D₂) < 1, (6.38)

где x- диагностируемый параметр.

Граничное значение х = х₀находят из следую­щего условия:

f(х/D₁) =f(х/D₂). (6.39)

Сравнивая (6.39), (6.35) и (6.30), видим, что они совпадают, если

λ=P₂(С₁₂-С₂₂) / [P₁(С₂₁-С₁₁)] = 1. (6.40)

Из этого следует, что метод наибольшего правдоподо­бия является частным случаем метода минимального риска. При С₁₁=С₂₂= 0 (6.40) приобретает вид

P₂С₁₂/ (P₁С₂₁) = 1. (6.41)

Отметим в заключение, что всегда надо иметь в виду, что P₁>>Ρ₂иС₁₂>>С₂₁. Метод наибольшего правдоподобия проиллюстрируем примером 6.8.

Пример 6.8[1].

Условия задачи совпадают с примером 6.7. Необходимо решить ее методом наибольшего правдоподобия.

Решение.

Значение граничной частоты F₀преобразователя определим из ус­ловия (6.39). Используя данные примера 6.7, получим

После логарифмирования это равенство приводится к виду:

F²- 0,79410³F+ 15,7510⁴= 0.

Положительный корень полученного уравнения F₀= 407,44. Следовательно, граничное значение частотыF₀, при котором будут еще сохране­ны нормальные условия функционирования преобразователя, будетF₀= 407,44 Гц. Сравнивая результаты решений в примерах 6.7 и 6.8, убеждаемся в их близости. Незначительные их расхождения обусловлены приближенностью ис­пользованных методов прогнозирования.

Точность предсказа­ний, которую они гарантируют, примерно одного порядка, но для их использования требуется различный объем статистической ин­формации. Наибольший он в методе Байеса, наименьший - в ме­тоде последовательного анализа. В инженерной практике все же несколько боль­шее распространение получили методы последовательного анали­за и минимального риска.