2010 Литвинский Шевченко Учебное пособие

III. Аксиома сравнимости (рефлективности): любой набор благ не может быть хуже относительно самого себя. Данная аксиома добавляет предыдущие и гарантирует принадлежность каждого набора благ одной и только одной кривой безразличия, которая содержит этот набор. Другими словами, потребитель безразличен в своем выборе между наборами благ X и X.

IV. Аксиома ненасыщения (монотонности предпочтений

«чем больше, тем лучше»): если набор X содержит хотя бы не меньше каждого товара, а одного из них больше, чем У, то набор X предпочтительнее набора Y (X>Y). Или, при прочих равных ус­ ловиях, потребитель обычно предпочитает большее количество данного блага меньшему его количеству (если X>Y9 то X предпоч­ тительнее Y). Данная аксиома утверждает, что потребитель в ос­ новном стремится увеличить потребление экономических благ (ему всегда хочется иметь больше, по крайней мере, одного товара).

V. Аксиома независимости потребителя. Удовлетворение по­ требителя зависит только от количества потребляемых им благ и не зависит от количества благ, потребляемых другими. Данная аксио­ ма еще раз подтверждает рациональность поведения потребителя.

VI. Аксиома непрерывности. Если X>Y, то наборы, которые находятся в непосредственной близости к Х9 тоже должны быть предпочтительнее Y. Эта аксиома обеспечивает существование непрерывной функции полезности, так как она позволяет иссле­ довать реакцию потребителей на относительно малые изменения дохода (I) и цен данных благ (Рх\ Ру)-

VII. Аксиома выпуклости к началу координат {закон уменьшения предельной склонности к замещению). Данная ак­ сиома (закон) утверждает, что при прочих равных условиях при увеличении потребления блага X относительно другого блага Y каждая дополнительная единица X заменяется все меньшим ко­ личеством блага 7 Поэтому кривая безразличия для двух благ X и Y имеет выпуклую к началу координат форму. Данную кривую безразличия можно описать с помощью математического понятия «выпуклый набор точек». Любые две точки на одной кривой без­ различия можно соединить прямой линией, полностью вклю­

70

чающей данный набор, который будет более предпочтителен по отношению к первому.

Исходя из существования аксиом порядкового подхода, мож­ но представить карту кривых безразличия (рис. 2.2).

Кривая безразличия (С/0, С/ь С/з)—это линия, объеди­ няющая ряд наборов благ, обладающих одинаковой полезностью для потребителя. Многие авторы именуют кривую безразличия как равнополезный контур.

Карта кривых безразличия - это совокупность кривых без­ различия (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Карта кривых безразличия и предельная склонность к замещению

Принимая во внимание аксиомы порядкового подхода, мож­ но сформулировать основные свойства, которыми обладают кри­ вые безразличия:

1) любой набор товаров, принадлежащий кривой безразли­ чия, лежащей дальше от начала координат, представляет собой попсе предпочтительные наборы товаров (E>D>C>A);

2) для любой пары благ кривые безразличия выпуклы к нача­ лу координат (отрезок АВ кривой безразличия U0 длиннее отрезка прямой линии, соединяющий точки А и В);

1 ) кривые безразличия имеют отрицательный наклон: уго никнона касательной, проведенной к любой точке кривой безраз-

71

линия, имеет значение от 90°до 180°, следовательно, тангенс дан­ ного угла имеет отрицательный знак (тангенс тупого угла - отри­ цательное значение);

4)кривые безразличия не могут пересекаться (каждый набор товаров, принадлежит только одной кривой безразличия);

5)кривые безразличия могут быть проведены через любую точку пространства (любая тока в данной системе координат представляет некий набор товаров, а любому набору всегда най­ дется некий другой набор, одинаково полезный по отношению к первому);

6)для любой пары экономических благ кривые безразличия

выпуклы к началу координат.

Следует отметить, что, в случае моделирования потребления антиблаг (чем меньше потребление, тем больше пользы) кривые безразличия, в данной системе координат, выпуклы от начала ко­ ординат (кривая безразличия £/3, рис. 2.3).

Для определения пропорции замены одного блага другим ис­ пользуется понятие предельной нормы замещения.

Предельная норма замещения благом X блага Y (MRSxy) -

это количество блага Y (указанное на оси ординат 0Y), на которое потребитель готов сократить его потребление в обмен на увели­ чение количества блага X (указанного на оси абсцисс) при усло­ вии, что уровень полезности данных наборов останется неизмен­ ным. Следовательно, предельная норма замещения (M R Sxy) равна тангенсу угла наклона кривой безразличия и является величиной отрицательной.

Математически величины предельной нормы замещения выразить как:

Поскольку величина -AY/AX по определению отрицательна (либо числитель, либо знаменатель всегда отрицательны), допол­ нительно ставится «минус» перед значением предельной нормы замещения, что делает всю величину положительной.

По формуле (2.4) очевидно, что величина M RSxy уменьшается по мере движения от точки А к точке В (рис. 2.2). M R Sxy убывает

72

мо мере замещения благом X блага Y, т.е. потребитель соглашает­ ся отдавать все меньшее количество замещаемого блага Y за одно и то же количество замещающего блага X (аналог убывающей предельной полезности).

Предельная норма замещения может принимать следующие значения:

-MRSXу = 0 - товары, которые по своим свойствам не могут заменить друг друга, а жестко дополняют друг друга, например, правый и левый ботинки (рис. 2.3) (кривая безразличияt/j - две перпендикулярные линии);

-M R Sxy = const - жестко взаимозаменяемые товары (линия безразличия U2 - товары всегда взаимозаменяемы только в одной

пропорции);

- M RSxy ~ 1 - абсолютно идентичные товары (угол наклона кривой безразличия равен 135° (tg 135° = -1), разные товары по своим свойствам приравнены к одному).

Рис. 2.3. Типы кривых безразличия

Недостатком модели, использующей кривые безразличия, яв­ ляется то, что она рассматривает ситуацию, когда потребитель покупает только два товара (X и Y). Для устранения этого недос­ татка используется понятие «композитное благо», которое обес­ печивает условное воплощение всех прочих благ (7)? которые хо­ тел бы потребить данный потребитель кроме первого блага (.Y).

73

Таким образом, потребитель выбирает между конкретным товаром X и набором всех остальных товаров - композитным благом У.

Очевидно, что непрерывная кривая безразличия имеет свою

где U - общая полезность; Qx, Q y- количество благ X и 7, по­ требленных за определенный период.

Кардиналистская и ординалистская теории построены на ос­ нове различных предположений о поведении покупателей, одна­ ко в них есть много общего.

Кривые безразличия в порядковой (ординалистской) теории

кон уменьшающейся предельной нормы замещения (MRSXy) име­ ет аналогичный смысл утверждению о понижающейся предель­ ной полезности (MU). Только в количественном подходе - полез­ ность товара оценивается в ютилах, а в порядковом - увеличение полезности каждой последующей единицы одного товара оцени­ вается уменьшением потребляемого объема другого товара.

Предельная норма замещения (MRSyy) измеряет полезность в относительных величинах, а предельная полезность (MU) - в аб­ солютных. Однако между MRSw и MU существует очень важная взаимосвязь. Наклон кривой безразличия (величина MRSXY) также можно рассматривать как отношение предельных полезностей данных благ. Поэтому предельную норму замещения можно рас­ считывать по формуле:

Для доказательства этого равенства предположим, что коли­ чество товара X в определенном наборе увеличилось на незначи­

1Математически функцию кривой безразличия можно выразить в следую­ щем виде U=A • Х а • - это степенная функция полезности, где А, а и р - пара­ метры, определяемые статистически.

Показатели степени а и р в данной функции полезности показывают какую часть своего дохода потребитель тратит на товар X или Y. Следует отметить, что при увеличении на 1% затрат на благо Y полезность увеличится на а%, а увели­ чение на 1% затрат на благо X - полезность увеличится на р%.

74

тельную величину AQx. В результате, общая полезность (TU) все­ го набора увеличится на MUXAQX• Для того, чтобы общая полез­ ность всего набора оставалась неизменной (TU= const), необхо­ димо уменьшить количество товара Y на определенное количест­ во единиц. Для этого необходимо величину MUXAQXразделить на

MUy. Получим a q y = с учетом того, что Qx и Qy меняют­

ся в противоположных направлениях, применяем знак «минус» перед дробью. С учетом этого равенство можно преобразовать к

2.3. МАКСИМИЗАЦИЯ БЛАГОСОСТОЯНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ

В связи с тем, что потребитель потребляет разные наборы то­ варов в условиях ограниченности ресурсов, прежде всего денег (дохода 7), то его способность удовлетворять свои предпочтения определяется при помощи бюджетного ограничения.

Бюджет потребителя определяется его доходом (7). В связи с гем, что потребитель расходует свои деньги на два товара X и Y по соответствующим ценам Рх и PY, то его доход должен быть всегда больше тех сумм, которые он тратит на покупку данных товаров. Математически бюджетное ограничение представляется в виде:

Графически бюджетное ограничение представляется в виде бюджетного множества - треугольник АОВ (рис. 2.4).

Если потребитель тратит весь свой доход (7) на приобретение товаров X и У, то знак «>» в формуле (2.7) меняется на знак «=», а уравнение бюджетного ограничения трансформируется в уравне­

(прямая АВ на рис. 2.4), - линия, ограничивающая множество доступных для потребителя товарных наборов, доступных при заданных ценах (Рх, PY) и доходе (7).

75

Множество точек, ограниченных бюджетной линией и осями координат (треугольник А0В\ называются бюджетным множест­ вом. Любая точка, принадлежащая бюджетному множеству (ниже и левее бюджетной линии), есть доступный для потребителя набор товаров, а вне данного множества (выше и правее) - недоступны.

Преобразовав уравнение бюджетной линии, его можно выра­ зить через благо X и Y:

(2.9)

(2 . 10)

Если потребитель тратит весь свой доход (/) на покупку толь­ ко одного товара X , то он сможет приобрести его в количестве

тель тратит весь свой доход (Г) на покупку только блага У, то он

равна 0. С помощью данных уравнений (2.9, 2.10) можно получить точки пересечения бюджетной линии с осями координат. Для по­ лучения точки пересечения с осью абсцисс необходимо прирав­ нять Y к нулю (У=0). Тогда из уравнения (2.10) получается, что

Х =-^~. Для получения точки пересечения бюджетной линии с

76

осыо ординат необходимо в уравнении (2.9) приравнять X к нулю

(Л 0), тогда получим, что Y =~~-

ч

Нетрудно догадаться, что наклон бюджетной линии есть не что иное, как коэффициент при переменной X в уравнении (2.9), и

равен { -рур 'у Отрицательный знак свидетельствует об обратной

зависимости между X и У, т.е. отрицательный угол наклона бюджетной линии. Таким образом, коэффициент наклона бюд­ жетной линии есть не что иное, как пропорция, в которой «ры­ нок», а не сам потребитель, готов заменить одно благо на другое.

Очевидно, что если изменится доход потребителя (числитель дроби Ур ), то бюджетная линия параллельно сместится, не меняя

своего наклона (увеличение дохода - сдвиг линии вправо вверх, уменьшение - влево вниз). При изменении цен на один товар линия бюджетного ограничения меняет наклон (меняется либо числитель,

иибо знаменатель [^Рх/ Р соответственно, меняется и вся дробь).

Если наложить друг на друга карту кривых безразличия (рис.

.\2) и линию бюджетного ограничения (АВ) (рис. 2.4), то получим основу для нахождения оптимального для потребителя набора юваров Х и Y, которые принесут ему максимум полезности с учеюм его дохода (I) (точка Е, рис. 2.5).

Согласно аксиоме ненасыщения, потребитель желает выбрать набор товаров на кривой безразличия, максимально удаленной от начала координат (например, U2 на рис 2.5). Однако в силу бюд­ жетного ограничения (линия АВ) он может выбрать наборы благ, которые находятся внутри бюджетного множества (треугольник Л()Н\ т.е. наборы С, Е, Д причем потребителю необходимо по- I ратить весь свой доход (/). Из этих наборов потребитель не вы­ порет набор С, где бюджетная линия пересекает кривую безраз­ личия С/о, так же как и набор Д так как эти наборы находятся на кривой безразличия, расположенной ближе к началу координат. 11отребитель выберет набор Е, где бюджетная линия является ка­ сательной к кривой безразличия Д , расположенной дальше от начала координат, нежели кривая безразличия U2.

77

Рис. 2.5. Карта кривых безразличия и бюджетная линия

Оптимальному набору товаров, приносящих максимальное удовлетворение за имеющиеся деньги, соответствует точка Е К/,), которая лежит на линии бюджетного ограничения и одновре­ менно касается наивысшей из возможных кривых безразличия (£/]).

Таким образом, в точке Е угол наклона кривой безразличия U\ ра­ вен углу наклона бюджетной линии (АВ). Угол наклона бюджетной ли­

нии равен ру£ j , а угол наклона кривой безразличия равен (-MRSxyY

Математически условие оптимума потребителя может быть выражено в виде:1

Ру

Условие оптимума потребителя не выполняется, когда кри­ вые безразличия представляют собой ломаные линии, ибо невоз­ можно провести касательную к ломанной линии.

Кривая цена - потребление (РСС)

На рис. 2.6, а изображены точки оптимального потребления для трех бюджетных линий. В данной модели постоянными ве­

1Условие оптимума потребителя сводится к решению системы уравнений:

78

личинами являются доход потребителя и цена товара (/= const, Ру = const), а изменяется только цена товара Х(Рх).

При уменьшении Рх потребитель сможет купить большее его количество за те же деньги, значит изменяется угол наклона бюджетной линии. Точка оптимального потребления (точка каса­ ния бюджетной линии и кривой безразличия) при уменьшении Рх смещается из А в С через точку В. Линия, полученная в результа­ те соединения точек А, В и С, получила название «линия цена -

потребление» (РСС) (рис 2.6, а).

Линия цена - потребление (РСС) - это линия, представляю­ щая множество всех оптимальных уровней индивидуального по­ требления комбинаций товаров X и Y при изменении цены одного товара, постоянном доходе и неизменных ценах на другой товар.

79