§5. Квазипроекторы. Квазиспектральное разложение операторов.

∞

a = ∑ k ' k ' a .

(3.60)

k′=0

ˆ

В силу линейности, оператор L проносится под знак суммы и действует на базисные кет-векторы

ˆ

∞

ˆ

(3.61)

L a

= ∑ k ' a L k ' .

ˆ

∞

ˆ

k ' a =

∞

ˆ

ˆ

a

,

(3.63)

L a = ∑ k k L k '

∑ k L k '

Pkk '

k ,k '=0

k ,k '=0

откуда в силу произвольности a

имеем искомое соотношение (3.59).

ˆ

ˆ

принимает вид

Соотношение (3.59), переписанное для ядер операторов L и

Pkk '

L (x, x ')

∞

ˆ

Ψk (x)Ψk ' (x ')

(3.64)

= ∑ k L k '

ˆ

∞

∞

ˆ

= ∫ dp ∫

p

p ' .

(3.65)

L

dp ' p L p '

−∞

−∞

Упражнения 3

1.

ˆ

– эрмитов, то оператор

ˆ ˆ ˆ ˆ

Показать, что если оператор C

C ' = ACA также будет эрмитовым.

2.

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Показать, что произвольный оператор F можно представить в виде F = A +iB , где A и B

– эрмитовы операторы.

ˆ

1

ˆ

ˆ

+

ˆ

1

ˆ

ˆ +

(Ответ: A =

2 (F

+ F

)

, B =

2i

(F

− F

)).

3.

ˆ

ˆ 2

является эрмитовым?

Оператор F – не эрмитов оператор. В каком случае F

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Решение: представим F в виде

F =

A +iB , где A и

B – эрмитовы операторы (упражне-

ние 3.2). Тогда

ˆ

2

=

ˆ

2

ˆ 2

+i

ˆ

ˆ

. Следовательно, если эрмитова и антиэрмитлва части

F

A

− B

A, B

+

ˆ

ˆ

2

– эрмитов.

оператора F антикоммутируют, то

F

4.

ˆ

Ядро оператора L является функцией вида:

а) L (x, x ')= f (x + x ');

б) L (x, x ')= f (x − x ');

в) L (x, x ')= f (x)g (x′).

Какие ограничения на функции f (x)

ˆ

и g (x) вытекают из эрмитовости оператора L .

ˆ

*

Решение: в) Если L – эрмитов оператор, то L (x, x ')= L (x ', x) или

f (x)g (x′)= f * (x ')g* (x). Это возможно, если

f (x)= cg* (x), где с – вещественное число.

5.

Унитарный оператор

ˆ

ˆ

2

ˆ

. Найти явный вид этого опера-

U

удовлетворяет уравнению U

=U

тора.

6.

ˆ

– унитарный. В каком случае оператор

ˆ

ˆ

, где с – некоторое число, так-

Оператор U

U ' = cU

же является унитарным? (Ответ: c = eiα ).

7.

Может ли унитарный оператор одновременно являться и эрмитовым?

8.

Если операторы

ˆ

ˆ −1

коммутируют, то их произведение можно записать в виде дроби

A и B

ˆ

ˆ

ˆ

A

ˆ

ˆ

ˆ

A +iB

ˆ

. Показать, что если

A

и

B –

эрмитовы операторы,

то оператор U =

ˆ

ˆ

является

B

ˆ

iF

ˆ

A −iB

унитарным. Представить в указанном виде оператор U = e

ˆ

, где F – эрмитов.

ˆ

−1

)

+

ˆ

+

)

−1

(упражнение 2.2), то

Решение: т.к. (A

= (A

ˆ +

{

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

−1

}

+

{

ˆ

ˆ

+

}

−1

ˆ

ˆ

+

.

U

= (A +iB)(A −iB)

= (A +iB)

(A

+iB)

ˆ

ˆ

Учитывая, что A

и B – эрмитовы, а также свойство (2.79) эрмитова сопряжения, далее по-

лучаем

ˆ

ˆ

−1

ˆ +

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

A

−iB

ˆ −1

U

= (A +iB) (A −iB)=

ˆ

ˆ

=U

,

ˆ

A

+iB

т.е.

– действительно унитарный.

U

ˆ

iF

Представим в виде дроби оператор

U = e

ˆ

:

ˆ

б) трансляции Tε (x).

ˆ

ˆ+

ˆ

ˆ

Решение: б) xˆ ' =Tε xˆ

Tε

=Tε xˆ

T−ε . Подействуем оператором xˆ ' на произвольную функ-

цию Ψ(x):

ˆ

ˆ

ˆ

xˆ ' Ψ(x)=Tε (x)xTˆ −ε (x)Ψ

(x)=Tε (x)(xΨ(x −ε ))= (x +ε)Ψ(x),

таким образом,

′

x - оператор умножения на число x +ε .

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

Ψ(x)

Аналогично, ∂′x

Ψ(x) =Tε (x)∂xT−ε (x)Ψ(x) =Tε (x)Ψ′(x −ε )= Ψ′(x)= ∂x

ˆ '

ˆ

т.е. ∂x

= ∂x .