Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кемеровский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

quant_matapp.pdf

Скачиваний:

225

Добавлен:

20.04.2015

Размер:

880.46 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

(1)

(x)

−xA

−e

xA ˆ ˆ

−xA

= e

xA ˆ ˆ

−xA

BAe

AB e

= A,

f (x) ;

(1)

(0)

A, B ;

(2)

(x)

(1)

;

= A, f

(x)

(2)

(0)

A, A,

B ...

Тогда разложение f(x) в ряд Тейлора даст

xAˆ

−xAˆ

(1)

(2)

ˆ ˆ

1 ˆ

ˆ ˆ

= f (0)+ f

(0)x +

(0)x

+ K = B

+ A, B x

+ 2 A, A, B x

+...

(2.43)

и при x = 1 получаем соотношение (2.41).

Теорема 2.3. Пусть A и B – некоммутирующие операторы, удовлетворяющие условиям

A, A, B

= B,

Тогда имеет место тождество Вейля

ˆ ˆ

B−

A,B

eA+B

= eAe

Доказательство: Рассмотрим функцию

f (x)= exAexB ,

f (1)

= eAeB ,

f (0)=

Продифференцируем ее по параметру x:

df (x)

ˆ xA

= Ae

Но по (2.43) с учетом (2.44)

Aˆ, Bˆ = 0

ˆ	ˆ		ˆ	)f (x)
ˆ	xA ˆ		−xA
= (A +e		Be

(2.44)

(2.45)

(2.46)

(2.47)

xA ˆ

−xA

= B + x A, B ,

(2.48)

т.е.

df (x)

= (A + B + x A, B )f

(x).

(2.49)

ˆ ˆ

Из условия теоремы (2.44) следует, что оператор

коммутирует с оператором

, поэто-

A + B

A, B

му уравнение (2.49) можно интегрировать обычным образом с начальным условием

f (0)=1 . При

этом решение этого уравнения имеет вид

	ˆ	ˆ		x2		ˆ	ˆ

						A,B		,
f (x)= ex(A+B)e 2
откуда при x = 1 получим			1
ˆ ˆ	ˆ				ˆ ˆ
			ˆ		A,B		,
eAeB = eA+Be2

и, следовательно, искомое соотношение (2.45).

(2.50)

(2.51)

§3. Представления операторов.

Рассмотрим подробнее работу с операторами в пространстве кет-векторов с фиксированным базисом. В этом случае кет-векторы задаются своими представителями. В случае непрерыв-

ного базиса, например x (1.34), x – представители кет-векторов – обычные функции x a = Ψa (x), значения которых образуют непрерывный столбец (см. §5 Главы 1). Хотя можно придумать сколь угодно много различных операторов, действующих в пространстве функций

(представителей L (x)

абстрактных операторов L ), справедливо следующее утверждение. Любой

(x) можно представить в виде интегрального оператора

линейный оператор L

∞

(2.52)

L (x)Ψa (x)= ∫ L (x, x ')Ψa (x ')dx '

с ядром

−∞

(2.53)

L (x, x ')= L (x)δ (x − x ')

Действительно, подействуем оператором

на тождество

L (x)

Ψa (x)= ∞∫ Ψa (x)δ (x − x ')dx '

(2.54)

−∞

его можно внести под знак интеграла. Тогда

и учтем, что в силу линейности оператора L (x)

∞

')dx '

(2.55)

L (x)Ψa (x)= L (x) ∫ Ψa (x ')δ (x − x ')dx '

= ∫ Ψa (x ')L (x)δ (x − x ')dx ' = ∫ Ψa

(x ')L (x, x

−∞

где ядро интегрального оператора определяется равенством (2.53).

Приведем ядра, рассмотренные выше в §1 конкретных операторов (2.4) - (2.9).

Операторы

Ядра

1(x, x ')=δ (x − x ')

Iˆ(x)

I (x, x ')=δ (x + x ')

∂ˆ x

∂x (x, x ')=

∂

δ (x − x ')

∂x

(2.56)

x (x, x ')

x ')

−

Tε (x)

Tε (x, x ')=δ (x +ε − x ')

Ω(x, x ')= e

−(x−x ')2

Ω(x)

a и b на-

Введем новое понятие. Матричным элементом оператора L по кет-векторам

и Lb :

зывается число a L b , равное скалярному произведению кет-векторов a

(2.57)

a L b = a Lb

Покажем, что ядро линейного оператора

(x)

можно представить в виде матричного эле-

мента оператора L следующего вида

L (x, x ')=

(2.58)

x L x '

Действительно, перепишем определение оператора

функции

Ψa(x)

на x-

L (x) (2.3), заменив

представление кет-вектора x a :

x a =

x La

(2.59)

L (x)

x L a

Положим здесь a = x ' и, учитывая условие ортонормировки непрерывного базиса (1.34), полу-

чаем
ˆ	ˆ	ˆ	(2.60)
L (x) x x ' = L (x)δ (x		− x ')= L (x, x ')= x L x '	(2.60)
		ˆ
Таким образом, любой линейный оператор L (x), действующий в пространстве функций (в
пространстве кет-векторов с базисом	x , т.е. в x-представлении) полностью задается своим ядром,
равным матричному элементу оператора на		базисных векторах x . Совокупность	значений

x L x ' для всех x образует бесконечную непрерывную матрицу, полностью определяющую

оператор ˆ в x-представлении.

Непрерывные матрицы являются простым обобщением понятия обычной матрицы, нужно только уточнить определение диагональной матрицы в случае непрерывно изменяющихся индек-

сов. По определению непрерывная матрица L (x, x ') диагональная, если она имеет форму

L (x, x ')= d (x)δ (x − x ')				(2.61)
где d(x) есть произвольная функция индекса x. Тогда единичная матрица имеет форму
	I (x, x′) =δ (x − x′)			(2.62)
Заметим, что непрерывная матрица	d	′	) не является диагональной.

	dx δ (x − x
Равенство (2.52), переписанное в виде
ˆ	∞	ˆ
	= ∫			(2.63)
L (x) x a		x L x ' x ' a dx ' = x La

−∞

показывает, что действие операторов на кет-векторы, заданные через представители в непрерывном базисе в виде бесконечных столбцов, сводится к произведению непрерывной квадратной мат-

рицы x L x ' на столбец x ' a (с заменой суммирования интегрированием в обычном определе-

нии произведения матриц). В результате такого произведения вновь получается столбец x La . Аналогичное утверждение справедливо и для любого непрерывного базиса (т.е. любого непрерыв-

ного представления).			ˆ
В случае дискретного базиса
	n (1.17), оператор L задается обычной бесконечной мат-
рицей	ˆ
		= n Ln '	(2.64)
	n L n '

а его действие – обычным произведением матрицы на столбец. Действительно, раскладывая кетвектор La по базису n (1.16), (1.18), получаем

∞		∞	ˆ
La = ∑ m La			ˆ	(2.65)
La = ∑ m La		m = ∑ m L a m		(2.65)
m=0		m=0
Подставляя сюда разложение кет-вектора	a	по этому же базису n		и учитывая линейность опе-
ˆ
ратора L , (2.65) перепишется в виде
∞		ˆ
La = ∑		ˆ	' a m	(2.66)
La = ∑	m L n ' n		' a m	(2.66)

m,n'=0

Тогда с учетом линейности скалярного произведения (1.9) и условии ортонормировки базиса

(1.17)

∞	ˆ	∞	ˆ	∞	ˆ
n La = ∑	ˆ	= ∑ δmn	ˆ		ˆ	(2.67)
n La = ∑	m L n ' n ' a n m	= ∑ δmn	m L n '	n ' a = ∑ m L n ' n ' a		(2.67)
m,n'=0		m,n'=0		n'=0
Покажем теперь, что матрицы операторов (операторы в заданном представлении) подчи-
няются правилам действия с матрицами:
1. При сложении матриц матричные элементы складываются:
( A + B)mn = Amn + Bmn						(2.68)
2. Умножение матриц подчиняется закону
( AB)mn = ∑Aml Bln						(2.69)

ˆ ˆ
Сумма операторов M + L в дискретном базисе задается матрицей
ˆ ˆ	=	ˆ	ˆ	ˆ	+
m (M + L) n	=	m (M n	+ L n )=	m M n	+

т.е. матрица суммы операторов сумме соответствующих матриц.

ˆ	(2.70)
m L n

			21
		ˆ ˆ				ˆ ˆ	=	ˆ
Аналогично произведение операторов LM задается матрицей					m LM n		=	m L Mn . Кет-вектор
Mn разложим по базису l . Тогда
Mn	= ∑ l Mn		l	ˆ	l			(2.71)
Mn	= ∑ l Mn		l	= ∑ l M n	l			(2.71)
		l		l
ˆ		ˆ		Ll				(2.72)
L Mn		= ∑ l M n		Ll				(2.72)
		l
ˆ ˆ	=	ˆ			ˆ	ˆ		(2.73)
m LM n	=	∑ l M n	m Ll = ∑ m L l			l M n		(2.73)
		l		l

т.е. матрица от произведения операторов равна произведению соответствующих матриц операторов.

Аналогично показываются соотношения для непрерывных матриц (представления операторов в непрерывном базисе):

ˆ ˆ	ˆ ˆ	∞	∞	ˆ	ˆ
ˆ ˆ	ˆ ˆ	= ∫	L (x, x '')M (x '', x ')dx '' = ∫	ˆ	ˆ	(2.74)
(LM )(x, x ')=	x LM x '	= ∫	L (x, x '')M (x '', x ')dx '' = ∫	x L x ''	x '' M x ' dx ''	(2.74)
		−∞	−∞

§4. Сопряженные операторы.

До сих пор мы рассматривали действие линейных операторов в пространстве кет-векторов. Но в Главе 1 пространство кет-векторов мы взаимно однозначно сопоставили с дуальным про-

странством бра-векторов. Поэтому из соответствия a → La в пространстве кет-векторов следует соответствие между бра-векторами в дуальном пространстве

		L								(2.75)
	a → La									(2.75)
										ˆ
Это соответствие осуществляет так называемый эрмитово сопряженный оператору L опе-
ˆ+
ратор, который мы будем обозначать L , а само сопоставление (2.75) записывать в виде
	ˆ+			= La						(2.76)
	a L			= La						(2.76)
из определений (2.14) и (2.15) алгебры операторов и эрмитова сопряжения (2.76) следует, что
ˆ	ˆ	+				ˆ+		ˆ	+	(2.77)
(L + M )				= L			+ M			(2.77)
ˆ	ˆ		+			ˆ	+	ˆ+		(2.78)
(L M )					= M			L		(2.78)
(на бра-вектор сначала действует оператор	ˆ +			,		потом			ˆ+
(на бра-вектор сначала действует оператор	M			,		потом			L ). Используя эти свойства, во многих
случаях можно легко получить сопряженные операторы к более сложным операторам.
Так как соответствие между кет- и бра-векторами антилинейное (1.4), то
	ˆ				+		* ˆ+			(2.79)
	(cL)					= c L				(2.79)

Аналогично, из-за того, что соответствие между кет- и бра-векторами в дуальных пространствах взаимно однозначное

a → La

(2.80)

ˆ+

a → La

Исходный оператор ˆ , действующий в пространстве кет-векторов, будет эрмитово сопря-

ˆ+

жен оператору L , действующему в пространстве бра-векторов, т.е.

ˆ+	+	ˆ	(2.81)
(L )		= L .	(2.81)

С другой стороны, если ˆ - сопряженный оператор, то он может действовать и на бра-

векторы

ˆ+

)

(2.82)

a L

= a (L

L a

ˆ+

может действовать и на кет-векторы

Аналогично и оператор L

ˆ+

= (

(2.83)

= L a

L a )

ˆ+

на кет-векторы (и соответственно на бра-векторы) бу-

Причем действия операторов L и

дет различно

ˆ+

(2.84)

L a ≠

L a

ˆ+

в общем случае.

т.е. L

≠ L

Покажем, как связаны меду собой эрмитово сопряженные операторы, для этого умножим

обе части равенства (2.76) на произвольный кет-вектор

b . Тогда

ˆ+

= b La

a L b = La b

b L a

т.е.

ˆ+

(2.85)

a L b = b L a

для любых кет-векторов

a и b .

Зачастую это равенство матричных элементов принимают в качестве определения эрмитово

ˆ+

дейст-

сопряженного оператора L . Действительно, оно помогает по заданному оператору L (x),

вующему в пространстве функций, найти эрмитово сопряженный оператор

ˆ+

L (x), действующий в

том же пространстве.

ˆ+

(x), представим в виде инте-

Как было показано в предыдущем параграфе,

оператор L

грального,

задается

своим

ядром

L (x, x ')=

Тогда

ядро

ˆ+

будет

x L x ' .

оператора L

ˆ+

L (x, x ')=

x L

x ' , а согласно (2.85)

L+ (x, x ')= L* (x, x ')

(2.86)

Следовательно, операция эрмитова сопряжения совпадает с эрмитовым сопряжением матриц и сводится к транспортированию (т.е. замене x ↔ x ' ) и комплексному сопряжению ядра опе-

ˆ				ˆ
ратора L (x). Соотношение (2.86) позволяет по ядру исходного оператора			L (x) найти ядро со-
		ˆ+		(x). Например, ядро
пряженного ему оператора, а, следовательно, и сам сопряженный оператор L
оператора дифференцирования ∂ˆ x , согласно (2.56), равно	d	δ(x − x '). Производя транспониров-

	dx

ние x ↔ x ' и учитывая определение производной от δ-функции (Приложение 5), получаем ядро сопряженного оператора ∂ˆ +x , которое равно − dxd δ(x − x ') . Таким образом, ядра ∂ˆ x (x, x ') и

∂ˆ +x (x, x ') различаются только знаком. Следовательно, отличаются только знаком и сами операто-

ры, т.e.

ˆ +	ˆ	(2.87)
∂x	= −∂x	(2.87)

Аналогично можно показать, что для рассмотренных выше операторов (2.4)-(2.9), сопряженные совпадают с исходными:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.20181.74 Mб19Programming.docx
#
23.03.2016627.71 Кб8Prokurorskiy_nadzor_-_ugolovny_profil.doc
#
01.05.2019523.26 Кб2PR_grajd_pravo.doc
#
23.04.2019634.37 Кб4Psihologia.doc
#
02.08.201923.96 Кб3Psih_pol_raz_Maskulinnost_i_fiminnost.docx
#
20.04.2015880.46 Кб225quant_matapp.pdf
#
10.11.2019586.75 Кб5rabochaya_programa.doc
#
12.11.2019340.48 Кб4Rabochaya_uchebnaya_programma3_prok_nadzor.doc
#
20.04.2015206.36 Кб6rabota_po_auditu.docx
#
10.11.2019382.46 Кб4rab_prog_Menegment.doc
#
20.04.2015349.18 Кб5Rab_pr_Korporativnoe_pr_2013.doc