67

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1.

Полиномы Чебышева-Эрмита.

Определение: Hn (x) = (−1)

n

x2

d n

−x2

(n = 0,1, 2,..., ∞) .

e

e

n

dx

2

d

d

−2x

+

2n Hn

(x)

= 0 .

2

dx

dx

Производящая функция:

∞

s

n

e−s2

+2sx = ∑

Hn (x) .

n!

n=0

d

Hn = 2nHn−1

dx

d

2x −

Hn = Hn−1

dx

69

Определения:

Приложение 3.

Полиномы и функции Лежандра.

Полином Лежандра

P (u) =

1

d l

(u2 −1)l (l = 0,1, 2,..., ∞) есть полином степени l, чётности

2l l! dul

l

(–1)l, обладающий l нулями в интервале (–1, +1).

Функция Лежандра (присоединённый полином Лежандра)

Pm

(u)

= (1−u2 )m2

d m

P (u) =

1

(1−u2 )m2

d l+m

(u2 −1)l (−1 ≤ u ≤1;l = 0,1, 2,..., ∞; m = 0,1, 2,...,l)

2l l!

l

dum

l

dul +m

m

есть произведение (1−u2 ) 2

на полином степени l – m нулями в интервале (–1, +1).

Дифференциальное уравнение:

(1

−u

2

)

d 2

−2u

d

+l(l +1) −

m2

P

m

= 0 .

2

2

du

du

1−u

l

Производящие функции:

1

∞

=

∑tl Pl (u) (

t

<1)

1−2tu +t2

l =0

m

t

m

∞

(2m −1)!!(1−u2 ) 2

=

∑tl Pl m (u) .

(1−2tu +t2 )m+

1

2

l =m

Соотношение ортонормированности:

∫1

Pkm (u)Pl m (u)du =

2

(l +m)!

δkl .

2l +

1

−1

(l −m)!

Рекуррентные соотношения:

(2l +1) u Pm

(u) = (l +1−m)Pm

(u) +(l + m)Pm (u)

l

l +1

l −1

(1−u2 )

d

Pl m (u) = −l u Pl m (u) +(l + m)Pl −m1 (u) = (l +1)u Pl m (u) −(l +1−m)Pl +m1 (u)

du

Явные выражения первых полиномов:

P

(1) =1

, P (−1) = (−1)l .

l

l

Pm

(1)

= Pm

(−1) = 0 (m ≠ 0) ,

l

l

p

(2 p +2m)!

, l −m = 2 p

(−1)

Pl m (0) =

2l

p!( p + m)!

l −m = 2 p +1

0,

P0 =1

P1 = u

P = 1

(3u2 −1)

2

2

P = 1

(5u3 −3u)

3

2

P = 1

(35u4 −30u2 +3)

4

8

ˆ

∂

ˆ2

L3 = −i

∂ϕ

и

L

= − θ,ϕ

,

=

1

∂

sinθ

∂

+

1

∂

2

— угловая часть оператора Лапласа ∆:

θ,ϕ

sinθ

∂θ

∂θ

sin2 θ ∂ϕ2

ˆ2

m

= l

(l

+1)Yl

m

L Yl

ˆ

m

= mYl

m

L3Yl

(l = 0,1, 2,..., ∞; m = 0, ±1,..., ±l)

Соотношения ортонормированности и замкнутости:

∫Yl m*Yl′m′dΩ ≡

2∫π dϕ π∫sinθ dθ Yl m* (θ,ϕ)Yl′m′(θ,ϕ) =δmm′δll′

∑∑Yl m*

0

0

(θ,ϕ)Yl m (θ′,ϕ′) = δ(θ −θ′)δ(ϕ −ϕ′) =δ(Ω−Ω′)

∞

l

l =0 m=−l

sinθ

Рекуррентные соотношения:

cosθ Y m

=

(l +1+ m)(l +1−m)

Y m

+

(l + m)(l −m)

Y m

(2l +1)(2l +3)

(2l +1)(2l −1)

l

l +1

l −1

Y 0

=

2l +1

P (cosθ)

l

4π

l

Y l

= (−1)l

(2l +1)(2l)!

sinl θ eilϕ

l

4π22l (l!)2

um (r ) ≡ rlY m (θ,ϕ) (m = 0, ±1,..., ±l)

l

l

Y 0

=

1

0

4π

Y 0

=

3

cosθ

1

4π

Y ±1

= −

3

sinθ e±iϕ

1

8π

Y20

=

5

(8cos2 θ −1)

16π

Y ±1

= −

15 sinθ cosθ e±iϕ

2

8π

Y ±2

=

15

sin2 θ e±i2ϕ

2

32π

Y30

=

7

(5cos3 −3cosθ )

16π

±1

21

sinθ (5cos

2

−1)e

±iϕ

Y3

= −

θ

64π

Y ±2

= −

105

sin2 θ cosθ e±i 2ϕ

3

32π