§ 4. Непрерывный спектр наблюдаемых

l, ρ, n l′, ρ′, n′ =δ(l −l′)δ(ρ − ρ′)δnn′ .

(4.97)

Nl ∞

ρ2

ˆ

∑ ∫ dl ∫d ρ

(4.98)

l, ρ, r l, ρ, r =1 .

n=1 −∞

ρ1

векторами

l, ρ, n . В этом

случае

соотношение

ортонормированности для

собственных кет-

векторов записывается в виде

′

′

=δmm′δii′ ,

m,i m ,i

m,i l, ρ, n = 0 ,

l, ρ, n l′, ρ′, n′

=δ(l −l′)δ(ρ − ρ′)δnn′

,

(4.99)

а условие полноты

l2

ρ2

∞ Nn

Nl

ˆ

∑∑ n,i

n,i + ∫dl ∫d ρ∑ l, ρ, j

l, ρ, j

(4.100)

=1.

n=0 i=1

l1

ρ1

j=1

В заключение параграфа докажем простую теорему - критерий наличия непрерывного

спектра у наблюдаемой.

ˆ

ˆ

Теорема 4.4. Если для наблюдаемой L можно найти другую M , такую, что

ˆ

ˆ

(4.101)

L, M

= iC ,

ˆ

где С – вещественное число, то спектр наблюдаемой L - непрерывный.

Доказательство

от противного. Предположим

противное,

у

ˆ

- спектр

дискретный, т.е.

L

ˆ

n n

=1, n = 0,1, 2,... Построим диагональные матричные элементы на собственных

L n = ln n ,

векторах наблюдаемой от операторов левой и правой частей (4.101):

ˆ

ˆ

n = n iC n .

(4.102)

Слева получаем

n L, M

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

=

ˆ ˆ

−

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

n L, M

n = n (LM

−ML) n

n LM n

n ML n = ln

n M n −ln n M n = 0 , (4.103)

ˆ

ˆ+

*

n

= ln n ),

а справа iC, т.е. не ноль. Таким об-

(так как для эрмитова оператора n L =

n L = ln

ˆ

ˆ

а)

d

;

dx

б) i

d

;

dx

в) i

d

, ( 0 ≤ϕ ≤ 2π );

dϕ

г)

x −

d

;

dx

д)

x +

d

;

dx

е)

d 2

+

2 d

(Указание: ввести новую функцию u(x) = xψ (x) . Ответ: оператор общего

dx2

x dx

типа, ψβ

(x) = C sin(βx) , где β — вещественно; спектр действительный непрерывный).

x

ˆ

(x) .

ж) оператора трансляции Tε

Решение. в)

Оператор i

d

в пространстве функций ψ (ϕ), 0 ≤ϕ ≤ 2π - эрмитов:

dϕ

d

+

d

+

d

i

= −i

= i

, согласно (2.79) и (2.87), поэтому у него главные собственные значе-

dϕ

dϕ

dϕ

ния вещественны. Уравнение на собственные функции

i

d

ψ

l

(ϕ) = lψ

l

(ϕ)

dϕ

Решение этого уравнения

ψ

l

(ϕ) = Ce−ilϕ .

если

ψl (0) =ψl (2π) ,

что

возможно, только при целых l . Таким образом, спектр

оператора

l = 0, ±1, ±2,... , а соответствующие нормированные собственные функции ψ

l

(ϕ) =

1

e

−ilϕ

.

2π

ˆ

Решение. ж) Оператор трансляции Tε (x) унитарный, следовательно, его главные собствен-

ные значения по модулю равны единице. Для решения уравнения на собственные значения

ˆ

(x)ψl (x) = lψl (x)

Tε

ˆ

представим оператор

(x)

в дифференциальной форме (см. Упражнение 1.7):

Tε

ε

d

∞

ε

n

d

n

ˆ

= ∑

dx

Tε

(x) = e

n! dx

n

n=0

l l′ = Ck 2

∞

i(ϕ′−ϕ)

x

2 δ (ϕ −ϕ′)

∫

e

ε dx = 2πε

Ck

−∞

,

выбрав Ck =

1

.

2πε

Таким образом,

спектр оператора трансляций l = eiϕ , 0 ≤ϕ < 2π - комплексный, непрерывный,

ны ψl(ϕ),k (x)=

1

ei(ϕ+2πk )

x

, k = 0, ±1, ±2,...

ε

2πε

ˆ

ˆ 2

ˆ

2. Эрмитов оператор F удовлетворяет соотношению

F

= CF , где C — некоторое вещест-

−∞

Если l = 0, то для этого собственного значения

∞∫ f * (x)ψ0 (x) dx = 0 , или

∞∫ψl* (x)ψ0 (x) dx = 0 , т.е.

−∞

−∞

ˆn

n ˆ

L

= ∑li Pi , воспользовавшись спектральным разложением наблюдаемой).

i

5. Получить выражение для нормированных собственных кет-векторов

l, m

операторов

ˆ2

ˆ

L

и

L3 , рассмотренных в примере §3:

ˆ2

l, m

= l(l +1) l, m , l = 0,

1

2 ,1,

3

2 , 2,...

L

ˆ

l, m

= m l, m , m = -l, -l +1, …, l-1, l;

L3

через начальный кет-вектор l,l

(4.77) и «понижающий» оператор

ˆ

A (4.66).

6. Задан не эрмитов оператор

aˆ общего типа, такой, что aˆ, aˆ

+

ˆ

=1. (Такие операторы назы-

ˆ

ваются операторами Бозе). Найти спектр и собственные функции оператора

+

aˆ . Пояснить,

N = aˆ

почему указанные операторы называются:

ˆ

— оператор числа частиц, aˆ — оператор «уничто-

N

(Ответ: спектр оператора

ˆ

— целые положительные числа n:

ˆ

= n n . Нормированные

N

N n

собственные кет-векторы n

=

1

(aˆ+ )n

0 , где начальный кет-вектор 0

находится из условия

n!