3. Решение типовой задачи по расчету двухопорной балки

Для двухопорной балки (рис. 4.3) написать выражения Q_yи M_zв общем виде по участкам, построить эпюры Q_yи M_z, найти M_{z max}(по абсолютной величине) и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при= 160·10³кН/м².

Исходные данные для решения задачи: q = 20 кН/м; М = 160 кН·м; Р = 8 кН; Р = 20 кН; a = 2 м; b = 8 м; с = 2 м.

Решение.

Для определения реакций R_Аи R_Всоставим два уравнения равновесия так, чтобы эти реакции можно было найти независимо друг от друга:

; (4.15)

. (4.16)

После вычислений получим: R_А = 72 кН; R_В = 148 кН.

Рис. 4.3. ЭпюрыQ_y и M_z для двухопорной балки

Для проверки правильности вычисленных реакций R_Аи R_Всоставим следующее уравнение равновесия:

. (4.17)

После подстановки значений получим: .

Следовательно, реакции найдены верно.

Балку разбиваем на три участка. В пределах каждого участка проводим произвольное сечение (с координатами х₁, х₂, х₃). Обращаем внимание на то, что третий участок проще рассматривать с правой стороны, выбирая начало координат в правой крайней точке участка.

Запишем уравнение Q_yи M_zпо участкам.

Первый участок:.

; (4.18). (4.19)

Получаем:

кН. При х₁= 0. При х₁= 2,(кН·м).

Обе эпюры на первом участке линейны (см. рис. 4.3).

Второй участок:.

; (4.20)

. (4.21)

Эпюра линейна. Для ее построения находим значенияв начале и конце участка.

При х₂= 2кН. При х₂= 10(кН).

Эпюра M_zменяется по квадратной параболе, следовательно, для ее построения необходимо определить M_zне менее чем в трех сечениях. Вычислим значения изгибающего момента в начале и в конце участка.

При х₂= 2,(кН·м);

При х₂= 10,(кН·м).

Третье значение M_zвозьмем в том сечении, где изгибающий момент принимает экстремальное значение. Согласно дифференциальной зависимости Журавского в этом сечении

, (4.22)

тогда ;,(м) и изгибающий момент в этом сечении (кН·м).

Третий участок:.

; (4.23). (4.24)

Эпюра линейна: при х₃= 0кН; при х₃= 2(кН).

Эпюра M_z3– квадратная парабола: при х₃= 0; при х₃= 2(кН·м).

Третью ординату M_z3возьмем посредине участка: при х₃= 1,кН·м.

Согласно эпюре (см. рис. 4.3) M_{z max}= 144 кН·м.

Их условия прочности (4.1)находим требуемый момент сопротивления: ; (см³).

По сортаменту прокатных профилей (ГОСТ 8239-72) выбираем двутавр № 40, у которого =953 см³.

Библиографический список

1. Смирнов А. Ф. Сопротивление материалов / А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, Н. И. Монахов. М.: Высшая школа, 2000. 320 с.

2. Степин П. А. Сопротивление материалов / П. А. Степин.М.: Высшая школа, 2001. 380 с.

3. Сопротивление материалов / В. К. Окишев, С. П. Андросюк, и др. / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2007. ч. 1. 24 с.

35