2. Решение типовой задачи

Для прямолинейного стержня (рис. 1.2) записать уравнения продольных сил по участкам. Построить эпюру продольных внутренних усилий N. Подобрать площадь поперечного сечения для каждого участка. Найти перемещение свободного конца стержня.

Рис. 1.2. Пример построение эпюры продольных сил для заданного стержня

Исходные данные для решения задачи: Р₁= 10 кН; Р₂= 30 кН; Р₃= 60 кН; L₁= 1 м; L₂= 0,8 м; L₃= 1,5 м; [σ] = 160· 10³кН/м²; Е = 2· 10⁸кН/м².

Решение.

Положение всех сечений стержня будем определять координатой х, отсчитываемой от левого свободного конца стержня. Рассмотрим участок L₁и проведем сечение на расстоянии х₁от левого края стержня.

Первый участок:_.

Запишем уравнение продольной силы N₁согласно формуле (1.1):

N₁= – Р₁. (1.7)

Определим площадь F₁стержня на первом участке в соответствии с условием прочности (1.3):

F₁ . (1.8)

После подстановки в выражения (1.7) и (1.8) исходных данных получим: N₁= – 10 кН;F₁ 0,625 (см²).

В том же порядке выполним расчет на втором и третьем участках.

Второй участок: .

N₂= – Р₁– Р₂; (1.9)F₂ . (1.10)

После подстановки в выражения (1.9) и (1.10) исходных данных получим: N₂= – 40 кН;F₂= 2,5 см².

Третий участок: .

N₃= – Р₁– Р₂+ Р₃; (1.11)F₃ . (1.12)

После подстановки в выражения (1.11) и (1.12) исходных данных получим: N₃= 20 кН;F₃= 1,25 см².

По результатам расчетов построим эпюру распределения продольной силы вдоль стержня (см. рис. 1.2).

Используя формулу (1.6), запишем уравнение для определения перемещения Lсвободного конца стержня под действием внешних сил:

. (1.13)

Подставляя в выражение (1.13) исходные данные, получим:

= 0,0658 (см).

2. Кручение

   1. Основные теоретические сведения

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях вала (бруса) возникают только крутящие моменты М_х.

Крутящий момент М_хв произвольном сечении вала равен алгебраической сумме внешних моментов М_i, лежащих по одну сторону от сечения:

М_х=М_i (односторонних). (2.1)

Для крутящего момента принято следующее правило знаков: если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны проведенного сечения и видит момент М_хнаправленным по часовой стрелке, то момент считается положительным, при противоположном направлении – отрицательным (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Демонстрация правила

знаков при кручении

Тогда для рассматриваемого примера выражение (2.1) примет вид:

М_х– М₃+ М₂– М₁= 0. (2.2)

Для расчета вала на прочность следует определить М_хдля всех участков вала и построить эпюру М_хпо его длине.

Если поперечное сечение вала круглое диаметром d и постоянное по всей длине, то условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

,(2.3)

где М_{х mах}– максимальный крутящий момент;

– допускаемое касательное напряжение материала вала;

– полярный момент сопротивления круглого сечения.

Если необходимо найти безопасный диаметр вала, то после подстановки в выражение (2.3) получим:

. (2.4)

При деформации кручения отдельные сечения вала поворачиваются относительно друг друга. Характеристикой деформации является угол закручивания(рис. 2.2), который представляет собой угол между двумя положениями радиусов в свободном сечении до и после нагружения стержня моментом М_х.

Рис. 2.2. Деформация вала при кручении

Угол закручивания определяется по формуле:

, (2.5)

где G = 8·10⁴МН/м²– модуль сдвига для стали (постоянная механическая характеристика материала, определяется экспериментально);

– полярный момент инерции круглого сечения.