3. Моменты инерции поперечных сечений стержней

   1. Основные теоретические сведения

При изучении центрального растяжения и сжатия было установлено, что прочность и жесткость стержней зависят от площади поперечного сечения стержней. Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения. Если представить, что сечение, состоит из множества элементарных площадокdF(рис. 3.1), то площадь всего сечения

. (3.1)

При изучении кручения, изгиба и сложного сопротивления необходимо применять более сложные геометрические характеристики сечений, чем площадь F. Такими характеристиками являются статический момент площади, а также осевой момент инерции сечения.

Статические моменты площади:

(3.2). (3.3)

Статические моменты площади при известном положении центра тяжести сечения (точка С (z_c, y_c)) относительно произвольных координатных осей zOy определяются по формулам:

(3.4), (3.5)

где z_c, y_c– координаты центра тяжести поперечного сечения.

Осевые моменты инерции поперечного сечения:

(3.6). (3.7)

При вычислении геометрических характеристик сечений, имеющих сложные очертания, площадь сечения разбивают на простые элементы. Затем выполняется алгебраическое суммирование соответствующих характеристик простых сечений. Например, моменты инерции сложного сечения равны алгебраической сумме моментов инерции простых сечений (рис. 3.2):

(3.8), (3.9)

где – моменты инерции простых сечений, составляющих сложное.

Осевые моменты инерции простейших сечений (прямоугольного, круглого и др.) вычисляются по определенным формулам.

Рассмотрим прямоугольное и круглое сечения (рис. 3.3). Для прямоугольного сечения (рис. 3.3, а)

; (3.10). (3.11)

Для круглого сечения (рис. 3.3, б)

. (3.12)

Д

h

ля прокатных сечений (двутавра, швеллера, уголка и др.) геометрические характеристики выбираются из специально составленных таблиц (сортамента прокатных профилей), в них прокатные профили упорядочены по номерам, которые связаны с наибольшим геометрическим размером сечения. Например, высота двутавра № 20 составляет 20 см. Рис. 3.3 Простейшие поперечные сечения

стержня: а – прямоугольное; б – круглое

Вычисление геометрических характеристик начинается с определения центра тяжести сечения.

Координаты центра тяжести вычисляются по формулам:

(3.13), (3.14)

где – статический момент площади сложного сечения относительно оси z (статический момент площади сложного сечения относительно оси у определяется аналогично);

– площадь поперечного сечения сложного сечения;

– статический момент площади i-го сечения относительно оси z;

F_i– площадь i-го сечения;

z_сi, y_сi– расстояние от центра тяжести i-го сечения до соответствующей начальной оси.

После определения координат z_c, y_cдальнейшие расчеты выполняются в центральных осях, т. е. в осях, проходящих через центр тяжести сечения.

При вычислении геометри-ческих характеристик относительно произвольных осей z₁О₁y₁(рис. 3.4), параллельных осям zОy, воспользуемся формулами, связывающими координаты z₁, y₁с координатами z, y:

(3.15)(3.16)

где а, b – расстояние между параллельными осями z и z₁, y и y₁.

С учетом формул (3.15) и (3.16) определим моменты инерции:

; (3.17)

. (3.18)

В случае, когда оси z и y проходят через центр тяжести поперечного сечения, S_y= 0,S_z= 0, тогда

(3.19)(3.20)

При вычислении осевых моментов инерции в параллельных осях для сложного составного сечения

; (3.21), (3.22)

где ,– осевые моменты инерции в осях zy (центральных осях i-го се-чения).

Через центр тяжести сечения можно провести бесконечное число повернутых относительно друг друга прямоугольных систем координат. Относительно одной системы координат моменты инерции обладают свойством экстремальности (один момент инерции – наибольший по значению, другой – наименьший). Такую систему координат называют главной. Ось симметрии поперечного сечения всегда главная.