2. Решение типовой задачи по расчету консольной балки

Консольной называется балка, у которой один конец имеет жесткую заделку, а второй совершенно свободен (рис. 4.2).

Для консольной балки написать выражения Q_yи M_zпо участкам, построить эпюры, найти максимальное (по абсолютной величине) значение M_{z max}, подобрать деревянную балку круглого поперечного сечения и определить вертикальное перемещение свободного конца балки.

Исходные данные для решения задачи: q = 10 кН/м; М = 6 кН·м; Р = 8 кН; = 8·10³кН/м²; Е = 0,1·10⁸кН/м²; a = 4 м; с = 2 м.

Решение.

Для определения опорных реакций R_Aи M_Acоставляем уравнения равновесия:

; (4.4)

. (4.5)

Подставляем в уравнения (4.4) и (4.5) исходные данные и получаем: (кН·м);(кН).

Для проверки составим уравнение равновесия – сумму моментов относительно точки В:

. (4.6)

Рис. 4.2. ЭпюрыQ_y, M_z и для консольной балки

После подстановки данных в уравнение (4.6) получим: . Обращение в тождество записанного условия говорит о том, что реакции найдены верно.

Балку разбиваем на участки. В пределах каждого участка проводим в произвольном месте сечения, в данном случае с координатами х₁и х₂)

Следуя правилам, приведенным выше, записываем уравнения Q_yи M_zпо участкам.

Первый участок: .

; (4.7). (4.8)

При х₁= 0кН;кН·м.

При х₁= 4(кН);(кН·м).

Изгибающий момент на первом участке изменяется по закону квадратной параболы, и для построения эпюры M_zследует определить значения изгибающего момента не менее чем в трех сечениях. Кроме значений M_zпо концам участка вычисляют еще M_zв сечении, где изгибающий момент достигает экстремального значения согласно дифференциальной зависимости Журавского:

. (4.9)

Отсюда получаем:

им. При х₁= 3,2 мкН·м.

При отсутствии на рассматриваемом участке экстремального значения изгибающего момента в качестве третьей точки выбирается середина участка (х₁= 2). Значение изгибающего момента в этом сечении потребуется и при определении перемещения.

Второй участок:.

; (4.10). (4.11)

Получаем:

кН. При х₂= 0. При х₂= 2(кН·м).

Штриховой линей на рис. 14.2 показана деформация участка под действием силы Р. При такой деформации растянуты нижние волокна, что и объясняет знак изгибающего момента.

Отложив найденные ординаты Q_y(положительные – вверх от оси балки, отрицательные – вниз) и M_z(положительные – вниз, отрицательные – вверх, что соответствует построению эпюры M_zсо стороны растянутых волокон), строим эпюры Q_yи M_z(см. рис. 4.2). Напомним о том, что только эпюра M_zна первом участке криволинейна, на остальных участках ординаты эпюр Q_yи M_zсоединяем прямыми линиями, что соответствует уравнениям внутренних усилий, записанных для этих участков. Согласно эпюре M_{z max}= 26 кН·м (по абсолютной величине).

Из условия прочности (4.1) находим требуемый момент сопротивления:

. (4.12)

Момент сопротивления для круглого сечения:

. (4.13)

Приравнивая правые части формул (4.12) и (4.13), находим диаметр сечения балки:

;(м) = 32 (см). (4.14)

Обратим внимание на характерные особенности эпюр Q_yи M_z. В месте приложения к балке сосредоточенной силы на эпюре Q_yимеется скачок, равный силе 8 кН. Второй скачок на этой эпюре, равный 32 кН, соответствует реакции R_Aв заделке. В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент на эпюре M_z, имеется скачок 6 кН·м, равный этому моменту. Второй скачок на эпюре M_z, равный 26 кН·м, соответствует реактивному моменту M_Aв заделке.

Для определения вертикального перемещения свободного конца балки (сечение С) выбираем вспомогательное единичное состояние (см. рис. 4.2), приложив единичную сосредоточенную силу в сечении С, и строим эпюру .

Рассматриваемый участок:.

=. При х = 0= 0. При х = 6= – 6.

Определив предварительно момент инерции J_zи перемножив эпюры M_zипо формуле (4.3), находим вертикальное перемещение сечения С.

Момент инерции для круглого поперечного сечения определяем по формуле (3.12):.

Тогда согласно уравнению (4.3)

.

Знак минус (–) в ответе означает, что перемещение не совпадает с тем направлением, которое указано на вспомогательном единичном состоянии.