2. Решение типовой задачи

Задано поперечное сечение, состоящее из прокатных профилей: двух швеллеров № 20 и двух равнобоких уголков 70 × 70 × 6 (рис. 3.5). Сечение симметрично относительно оси у. Определить координаты центра тяжести составного сечения, построить главные оси. Вычислить осевые моменты инерции составного сечения.

Решение.

Пользуясь сортаментом прокатных профилей представленным в учебниках [1, 2], выписываем все геометрические размеры и основные характеристики швеллера (рис. 3.6, а) и равнобокого уголка (рис. 3.6, б).

Рис. 3.5. Поперечное сечение стержня

а б

Рис. 3.6. Прокатные профили сложного сечения: а – швеллер; б – уголок

Швеллер № 20 (ГОСТ 8240-72): J_z= 1520 см⁴; J_y= 113 см⁴; F_ш= 23,4 см²; z_ош= 2,07 см; h_ш= 20 см; b_ш= 7,6 см.

Равнобокий уголок 70 × 70 × 6 (ГОСТ 8509-86): b_у= 7 см; F_y= 8,15 см²; J_z= J_y= 37,6 см⁴; z_оy= 1,94 см.

Каждое поперечное сечение (см. рис. 3.5) обозначим номером и проведем собственные центральные оси. Поскольку составное сечение симметрично, можно указать одну главную центральную ось V. Вторая главная центральная ось U перпендикулярна оси V и проходит через общий центр тяжести сечения.

Найдем положение центра тяжести.

Решение выполняем в произвольной системе координат Z₂OV:

(3.23)

где y_c– координата общего центра тяжести;

y_ci– координаты центров тяжести отдельных сечений.

После подстановки данных в выражение (3.23) получим:

(см).

Координаты центров тяжести отдельных сечений определим из чертежа: ;;(см).

Отложив на рис. 3.5 координату у_с= 2,08 см, проводим вторую главную центральную ось U.

Найдем значения моментов инерции относительно главных осей:

; (3.24)

. (3.25)

После подстановки данных в выражения (3.24) и (3.23) получим:

(см⁴);

(см⁴).

Предварительно из чертежа (см. рис. 3.5) были найдены:

; (3.26)(3.27), (3.28)

что соответствует значениям: (см);(см);(см);(см).

4. Расчет на прочность и жесткость балок при изгибе

   1. Основные теоретические сведения

Изгибом называется деформация стержня, сопровождающаяся изменением кривизны его оси. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

В поперечных сечениях балки возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q_yи изгибающий момент M_z.

Поперечная сила Q_yравна алгебраической сумме всех действующих по одну сторону от сечения внешних сил, направленных поперек рассматриваемого стержня. Сила, действующая относительно сечения по часовой стрелке, берется со знаком плюс (+), против часовой стрелки – со знаком минус (–).

Изгибающий момент M_zравен алгебраическойсумме моментов односторонних внешних сил, относительно центра тяжести сечения. Изгибающий момент положительный, если дляучасткабалки растянуты нижние волокна, и отрицательный, если растянуты верхние волокна.

Для расчета балки на прочность принято строить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

Подбор безопасного поперечного сечения выполняется исходя из условия прочности:

, (4.1)

где – наибольшее по абсолютной величине значение изгибающего момента, взятого из построенной эпюры;

– допускаемое нормальное напряжение материала;

– осевой момент сопротивления.

Для определения перемещения стрежня при его деформации пользуются универсальным методом Мора, согласно которому рассматриваются два состояния системы: заданное и вспомогательное. Для заданного состояния записываются уравнения M_ziдля всех участков.

Вспомогательным называется состояние, получаемое из заданного, если отбросить все внешние нагрузки и приложить вспомогательную единичную силу в том сечении, перемещение которого предполагается определить. Для вспомогательного состояния также записываются уравнения изгибающего момента Искомое перемещение определяется по формуле:

, (4.2)

где m – количество участков;

– жесткость стержней.

Если имеются построенные эпюры и,то перемещение можно вычислить по формуле Симпсона:

(4.3)

где – ординаты изгибающих моментов по концам и посредине каждого участка эпюры M_zi;

– ординаты изгибающих моментов по концам и посредине каждого участка эпюры(рис. 4.1).

Вформуле (4.3) произведение ординат моментов принимать положительным, если ординаты отложены в одну сторону от оси стержня, и отрицательным, если они отложены в разные стороны.

Рис. 4.1. Демонстрация вычисления

перемещений по способу Симпсона