1.5.4. Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать реальную, то уравнение Бернулли (16) существенным образом изменится: полная удельная энергия жидкости по направлению потока (вниз по течению) убывает. Причина этому – неизбежные затраты на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости. Уравнение запишется:

(17)

где h_f – величина полных потерь напора, это полная энергия, теряемая в среднем единицей веса на пути от 1-го до 2-го сечения за счет работы внутренних и внешних сил трения.

Рис. 15. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для целого потока реальной жидкости:

0-0 – плоскость сравнения; Р-Р – пьезометрическая линия; Е-Е – напорная линия; Н – полный напор; I- пьезометрический уклон; i - гидравлический уклон; А-А – линия полного напора (полной энергии)

Падение полного напора по длине называется гидравлическим уклоном, т.е.

, (18)

другими словами, гидравлический уклон– это элементарное снижение напорной линии, отнесенное к соответствующей элементарной длине

. (19)

Пример. Определить расход воды, проходящий через трубопровод переменного сечения. Потерями напора пренебречь, коэффициент Кориолиса принять равным=1; диаметры трубd₁=200 мм,d₂=100 мм; перепад уровней в пьезометрахh=1 м.

Решение. Составим уравнение Бернулли для двух сечений 1-1 и 2-2, которые выбираем по 1-му и 2-му пьезометрам, так как в этих сечениях нам известно давление.

Плоскость сравнения 0-0 выбираем по оси трубы:

;

Рис. 16

где z₁ = z₂ = 0, так как трубопровод горизонтальный и ось его совпадает с плоскостью сравнения,h_f– пренебрегаем по условию.

Тогда из уравнения Бернулли будет:

.

Давлениеинам не известно, но разность этих давлений мы знаем –h =1м.

Следовательно: .

Получили уравнение, в котором два неизвестных.

Воспользуемся уравнением неразрывности:

.

Откуда можно выразить скорость во втором сечении υ₂

(*).

Подставляем (*) в выражение

.

Учитывая, что , можно записать:

.

Откуда определяем скорость:

.

Из уравнения расхода получим:

.

Подставляя численные значения в полученное выражение, определим расход

0,0366 м³/с = 36,6 л/с.

1.6. Потери напора при установившемся движении жидкости

Потери напора на преодоление гидравлических сопротивлений h_f(последнее слагаемое в уравнении Бернулли (17)) обычно делят на две группы:

1) потери энергии (напора) по длине потока (линейные) h_l– потери, затрачиваемые на преодоление сопротивления трения;

2) местные потери энергии (напора) h_j – потери, вызываемые резким изменением конфигурации границ потока.

Полные потери на данном участке равны сумме всех потерь:

h_f=Σh_l+Σh_j, м. (20)

Потери напора (как по длине, так и местные), а также распределение скоростей по сечению потока существенно различны для ламинарного и турбулентного режима течения жидкости.

Потери напора по длинекак при ламинарном, так и при турбулентном режиме в трубах круглого сечения определяются по формуле Дарси-Вейсбаха:

, м, (21)

а в открытых руслах (а также в трубах любой формы сечения) по формуле:

, м. (22)

где λ– коэффициент сопротивления по длине;l – длина участка трубы или канала; d– диаметр трубы; υ–средняя скорость течения; C – коэффициент Шези в формуле Шези (147); R – гидравлический радиус;g– ускорение свободного падения.

Коэффициент сопротивления по длине λ, его еще называют коэффициентом гидравлического трения – коэффициентом Дарси (величина безразмерная) можно определить:

1) при грубых расчетах можно принять λ = 0,03÷0,04;

2) по графику Мурина в зависимости от относительной шероховатости стенок трубы , имеющейся в гидравлических справочниках, и режима движенияRe;

3) по формулам, их существует больше двухсот. Наиболее универсальные следующие:

• при ламинарном движении по формуле Пуазейля:

; (23)

• при турбулентном режиме для трубопроводов различного назначения по формуле А.Д. Альтшуля:

; (24)

• для области гидравлически гладких труб по формуле Блазиуса:

; (25)

• для области квадратичного сопротивления по формуле Шифринсона:

(26)

или по формуле Маннинга:

, (27)

где n – шероховатость, можно принять для водопроводных трубn =0,012; для канализационных трубn=0,013 [6].

Коэффициент Шези Симеет связь с коэффициентом Дарси:

; (28)

,. (29)

Потери в местных сопротивлениях. Местными называются сопротивления, вызывающие резкую деформацию потока.

При обтекании турбулентным потоком какой-либо преграды происходит отрыв транзитной струи от стенки русла. При этом образуются области А(рис. 17), заполненные множеством водоворотов на участкеl_B, которые характеризуются возвратным течением. В сечении 2'-2' имеет место сильно деформированная эпюра осредненных скоростей.

Рис. 17. Внезапное расширение потока

Потери в местных сопротивлениях определяются по формуле Вейсбаха:

, м, (30)

где – коэффициент местного сопротивления, зависит от геометрии местного сопротивления и числа Рейнольдса потока;υ –средняя скорость в сечении, расположенном ниже по течению за данным сопротивлением.

Обычно коэффициент местного сопротивления определяют экспериментальным путем и выражают в виде эмпирических формул, графиков или в табличной форме. Лишь для некоторых местных сопротивлений получены теоретические зависимости.

Приведем несколько часто встречающихся случаев:

1. Внезапное расширение потока (потери на удар). На основании теоремы импульса сил была выведена формула Борда:

; (31)

; (32)

. (33)

2. Внезапное сужение потока. При внезапном сужении (рис. 18) происходит сжатие струи (ее площадь сечения уменьшается до ). Площадь живого сечения струи в сжатом сечении определится:

; (34)

. (35)

Здесь ε называют коэффициентом сжатия струи.

Используя зависимости (31), (35), получим величину потерь напора при внезапном сужении:

м, (36)

где коэффициент сопротивления внезапного сужения потока равен:

. (37)

Рис. 18. Внезапное сужение потока

3. При приближенных расчетах можно принимать как средние следующие значения коэффициентов местных сопротивлений[2, 3, 6, 7]:

Необходимо иметь в виду, что метод нахождения потерь (суммирование потерь) имеет ограниченную область применения. Он дает правильные результаты в том случае, когда прекращается возмущающее влияние сопротивлений и поток жидкости стабилизируется. Необходимое расстояние стабилизации можно определить следующим выражением .

Т а б л и ц а 1