1.5.2. Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли

Геометрический и энергетический смысл легко устанавливаются в результате анализа размерностей. Геометрический смыслзаключается в том, что все члены уравнения имеют размерность длины и выражают собой высоты, которые легко показать на чертеже, рис. 12:

Рис. 12. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости:

0-0 – плоскость сравнения; Р-Р – пьезометрическая линия; Е-Е – напорная линия; Н – полный напор; I – пьезометрический уклон

Линия Р-Р, проходящая по уровням жидкости в пьезометрах, называется пьезометрической линией.

Линия Е-Е, проходящая по уровням воды в трубках Пито, называется напорной линией.

Cумма трех высот: высоты положенияz, пьезометрической высотыи высоты скоростного напора– величина постоянная и равна полному напоруН:

, м. (11)

Пьезометрическим уклоном Iназывается изменение пьезометрического напора(т.е. падение пьезометрической линии), отнесенное к единице длиныdl

. (12)

Уклон положителен, если линия Р-Рпонижается по течению струйки.

В энергетическом смыслекаждое слагаемое уравнения выражает собой удельную энергию, т.е. энергию на единицу веса жидкости:

• из гидростатики известно, первые два слагаемых уравнения Бернулли представляют собой потенциальный напор, т.е. удельную потенциальную энергию (УПЭ), принадлежащую единице веса жидкости ;

• третье слагаемое представляет собой скоростной напор, т.е. удельную кинетическую энергию (УКЭ), принадлежащую единице веса жидкости

Полный напор Нпредставляет собой сумму двух напоров: потенциального и скоростного (можно также сказать, что полный напор равен сумме трех: геометрическогоz, напора давленияи скоростного напора).

Таким образом, величину Нследует рассматривать как удельную полную энергию движущейся жидкости. Согласно уравнению Бернулли, удельная полная механическая энергия, несомая жидкостью, является постоянной вдоль элементарной струйки, если жидкость идеальная. Таким образом, действует закон сохранения энергии.

1.5.3. Уравнение Бернулли для потока идеальной (невязкой) жидкости

При решении практических задач, связанных с движением жидкости, приходится иметь дело с потоками конечных размеров. Поток в этом случае рассматривают как совокупность множества элементарных струек. При переходе от элементарной струйки к целому потоку воспользуемся двумя вспомогательными положениями:

1) При параллельно-струйном и плавно изменяющемся движении жидкости распределение давления в данном плоском живом сечении потока следует гидростатическому закону, т.е. давление распределяется так же, как и в покоящейся жидкости, это значит, что для различных точек данного живого сечения величины zи имеют разное значение, однако сумма их постоянна:

. (13)

Рис. 13. Распределение давления в плоских живых сечениях

а) действительный потокб) расчетный (условный) поток

Рис. 14. К вопросу о коэффициентах Буссинеска α₀ и Кориолиса α:

u – местная скорость; υ – средняя скорость; ω – площадь живого сечения; h – глубина потока

2) Рассмотрим влияние неравномерности распределения скоростей по плоскому живому сечению на величину количества движения (КД) и величину кинетической энергии (КЭ) некоторой массы жидкости.

На рис. 14 изображены две разные схемы продольного разреза потока безнапорного движения (открытое русло). В действительном потоке (схема а) эпюра скоростей по живому сечению характеризуется неравномерным распределением: самые высокие скорости наблюдаются вблизи поверхности, у дна они приближаются к нулю (по теории Прандтля). В расчетах принимаются осредненные скорости, для этого эпюру действительного потока аппроксимируют и считают, что скорости по всему живому сечению одинаковы (схемаб):

, м/с. (14)

Переход от действительного потока к расчетному приводит к некоторой погрешности. Количественно эту погрешность позволяют учесть следующие сопоставления величин КД и КЭ:

1) Отношение действительной величины количества движения массы жидкости КД (М)_д, проходящей за некоторое время через рассматриваемое живое сечение, к условной («средней») величине количества движения КД (М)_ср, равно некоторому безразмерному поправочному коэффициентуα₀, называемому коэффициентом Буссинеска.

– корректив количества движения.

2) Отношение действительной величины кинетической энергии массы жидкости КЭ (М)_д, проходящей за некоторое время через рассматриваемое живое сечение, к условной («средней») величине кинетической энергии КЭ (М)_ср, равно некоторому безразмерному поправочному коэффициентуα, называемому коэффициентом Кориолиса.

– корректив кинетической энергии.

При равномерном движении жидкости эти коэффициенты часто оказываются равными. При неравномерном движении значения могут значительно отличаться от единицы. Вместе с тем очень часто в практике встречаются такие случаи движения жидкости, когда величины все же достаточно близки к единице и их при расчетах не учитывают.

Для окончательных выводов по уравнению Бернулли для целого потока идеальной жидкости напомним:

• идеальная жидкость – это воображаемая жидкость, в которой отсутствует вязкость, т.е. нет сил трения, и она абсолютно несжимаема;

• целый поток – это поток, имеющий поперечные сечения конечных размеров;

• по-прежнему рассматривается только параллельно-струйное и плавно изменяющееся движение, т.е. случай, когда расчетные живые сечения плоские, причем будем пользоваться понятием средней скорости.

Полный напор для целого потока идеальной жидкости запишется:

, м, (15)

где α – корректив кинетической энергии, коэффициент Кориолиса.

Уравнение Бернулли для целого потока идеальной жидкости запишется:

(16)