Аналит. геометрия. Мазова Р.Е

1)M1 (– 2, – 4, 3); 2x – y + 2z + 3 = 0;

2)M2 (2, – 1, – 1); 16x – 12y + 15z – 4 = 0;

3)M3 (1, 2, – 3); 5x – 3y + z + 4 = 0;

4)M4 (3, – 6, 7); 4x – 3z – 1 = 0;

5)M5 (9, 2, – 2); 12y – 5z + 5 = 0.

29.Вычислить расстояние d от точки P(– 1, 1, –2) до плоскости, проходящей через три точки: M1(1, – 1, 1), M2 (– 2, 1, 3) и M3 (4, – 5, – 2).

30.Определить, лежат ли точка Q(2, – 1, 1) и начало координат по одну или по разные стороны относительно каждой из следующих плоскостей:

1)5x – 3y + z – 18 = 0; 4) 2x + 7y + 3z + 1 = 0;

2) x + 5y + 12z – 1 = 0; 5) 2x – y + z + 11 = 0;

3)2x + 3y – 6z + 2 = 0; 6) 3x – 2y + 2z – 7 = 0.

31.Доказать, что плоскость 3x – 4y – 2z + 5 = 0 пересекает отрезок, ограни-

ченный точками M1(3, – 2, 1) и M2 (– 2, 5, 2).

32.В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между двумя параллельными плоскостями:

1) x – 2y – 2z – 12 = 0, x – 2y – 2z – 6 = 0;

2) 2x – 3y + 6z – 14 = 0, 4x – 6y + 12z + 21 = 0; 3) 2x – y + 2z + 9 = 0, 4x – 2y + 4z – 21 = 0;

6) 6x – 18y – 9z – 28 = 0, 4x – 12y – 6z – 7 = 0.

33.На оси 0y найти точку, отстоящую от плоскости x + 2y – 2z – 2 = 0 на расстоянии d = 4 .

34.На оси 0z найти точку, равноудаленную от точки M(1, – 2, 0) и от плос-

кости 3x – 2y + 6z – 9 = 0.

35.На оси 0x найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:

12x – 16y + 15z + 1 = 0, 2x + 2y – z – 1 = 0.

36. Через ось 0z провести плоскость, составляющую с плоскостью

2x + y – 5 z = 0 угол 60°.

37.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (0; 0; α) иперпендикулярной к плоскостям x – y – z = 0 и 2y = x.

38.Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 4x – y + 3z – 6 = 0, x + 5y – z + 10 = 0 и перпендикулярной к плоскости 2x – y + 5z – 5 = 0.

51

3.2. Прямая в пространстве

Положение прямой в пространстве можно определить, задав некоторую

тогда из векторного уравнения получаем параметрическое уравнение прямой x =a +mt, y =b +nt, z =c + pt.

Исключим параметр t и получим каноническое уравнение прямой

зованные прямой с осями координат ох, оу и оz, то направляющие косинусы будут определяться по формулам:

52

Условием перпендикулярности прямых является равенство нулю ска-

Условием параллельности прямых является условие коллинеарности векторов s1 и s2 , т.е.

Прямую можно задать, как линию пересечения двух плоскостей:

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0,A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Для удобства решения задачи это выражение можно привести к канонической форме записи.

3.2.1. Примеры решения задач

Пример 1. Привести к каноническому виду уравнения прямой, заданной, как пересечение двух плоскостей:

Решение:

Определим координаты какой-либо точки на прямой. Для этого положим в обоих уравнениях z = 0. Тогда уравнения примут вид

Отсюда определим x = 2, y = –1.

Таким образом, M0 ( 2, –1, 0 ) – точка, лежащая на данной прямой. Найдем направляющий вектор прямой P . Здесь N1 {1, –2, 3},

N2 {3, 2, –5} и

53

Иногда используют другой чисто формальный прием приведения общих уравнений к каноническому виду. Для этого выражают одну из координат из

Решение:

Воспользуемся каноническим уравнением прямой. Полагая в равенст-

Пример 3. Написать уравнение прямой параллельной оси oz, проходящей через точку М0(1,2,-3).

Решение:

Так как прямая параллельна оси oz , то за вектор s можно принять орт k . При этом m =n =0, p =1. Уравнение прямой будет иметь вид

54

Решение:

1.Таккака, висравнынулю, топрямаяпроходитчерезначалокоординат;

2.Так как p=0, то прямая перпендикулярна оси oz;

3.Так как m =n =1, то прямая образует с осями ox и oy равные углы.

Следовательно, искомая прямая – это биссектриса угла, образованного осями ox и oy, проходящая в I и IV четвертях плоскости xoy.

Пример 5. Составить уравнения прямой, проходящей через точку

пересекаются. Найти точку их пересечения.

Решение:

Точка M1 ( 1, –2, 0 ) лежит на первой прямой, а M2 ( –1, –11, –6 ) – на

55

Пример 7. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

Решение:

Запишем уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярно прямой. При этом направляющий вектор прямой Sr = Nr = {2, 3, 1}. Тогда уравнение плоскости, проходящей через начало коор-

Составим уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку M0. Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем

Это и есть уравнение перпендикуляра, опущенного из начала координат на заданную прямую.

Первый способ решения

Запишем уравнение первой из заданных прямых с помощью уравнения двух плоскостей, проецирующих ее на плоскости хоу и уоz.

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, имеет вид

56

x +2 y −1+λ(3y +z −5) =0 x +( 2 +3λ) y +λ z −(1+5λ) =0.

Используя условие параллельности прямой и плоскости, определим λ так чтобы соответствующая плоскость была параллельна второй из заданных прямых:

−1 1+2 (2 +3λ) −3λ=0 3λ+3=0 λ=−1.

Таким образом, искомая плоскость запишется в виде x − y − z +4 =0.

Второй способ решения

Используя векторное произведение направляющих векторов заданных прямых, находим нормальный вектор искомой плоскости

N = −3i +3 j +3k .

Так как точка А(-1,1,7), через которую проходит прямая L1, принадлежит искомой плоскости (по условию задачи), то можно записать уравнение плоскости, проходящей через т. А, перпендикулярной вектору N

x − y −z +9 =0.

3.2.2.Задачи для самостоятельного решения

1.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M1(2, 0, – 3) параллельно: 1) вектору a = {2; – 3; 5}; 2) прямой

x 5−1 = y +2 2 = z−+11 ; 3) оси 0x; 4) оси 0y; 5) оси 0z.

2.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

1)(1, – 2, 1), (3, 1, – 1);

2)(3, – 1, 0), (1, 0, – 3);

3)(0, – 2, 3), (3, – 2, 1);

4)(1, 2, – 4), (– 1, 2, – 4).

3.Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку

4.Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

1)(3, – 1, 2), (2, 1, 1);

2)(1, 1, – 2), (3, – 1, 0);

3)(0, 0, 1), (0, 1, – 2).

5.Через точки M1(– 6, 6, 5) и M2(12, – 6, 1) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

57

6.Даны вершины треугольника A(3, 6, – 7), B(– 5, 2, 3) и C(4, – 7, – 2). Со-

ставить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины C.

7.Даны вершины треугольника A(3, – 1, – 1), B(1, 2, – 7) и C( – 5, 14, –3).

Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине C.

8.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M1(2, 3, – 5) параллельно прямой

3x − y + 2z −7 =0,

x +3y − 2z +3 =0.

9.Составить канонические уравнения следующих прямых:

x − 2y + 3z − 4 = 0,

1)3x + 2y −5z − 4 = 0;5x + y + z = 0,

2)2x + 3y − 2z + 5 = 0;

x − 2y +3z +1 =0,

3)2x + y − 4z −8 = 0.

10.Составить параметрические уравнения следующих прямых:

2x + 3y − z − 4 = 0, 1) 3x −5y + 2z +1 = 0;

x + 2y − z − 6 = 0, 2) 2x − y + z +1 = 0.

11. Доказать параллельность прямых:

12. Доказать перпендикулярность прямых:

58

20.Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями x = 3t – 7, y = –2t + 4, z = 3t + 4 и x = t + 1, y = 2t – 8, z = – t – 12.

21.Найти следы прямых x = z + 5, y = 4 – 2z и x 1−3 = y 2− 2 = z 1−3 на плос-

костях x0y и x0z и построить прямые.

Указание: Положить в уравнениях прямой 1) z = 0; 2) y = 0.

22.Уравнения прямой x + 2y + 3z – 13 = 0, 3x + y + 4z – 14 = 0 написать: 1) в проекциях; 2) в канонической форме. Найти следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую и ее проекции.

23.Написать уравнениеr прямой, проходящей через точку A(4, 3, 0) и параллельно вектору P { – 1; 1; 1} . Найти след прямой на плоскости y0z и построить прямую.

24.Построить прямую x = 4, y = 3 и найти ее направляющий вектор.

25.Построить прямые: 1) y = 3, z = 3; 2) y = 2, z = x + 1; 3) x = 4, z = y. Оп-

ределить их направляющие векторы.

26.Написать уравнения прямой, проходящей через точки A(– 1, 2, 3) и B(2, 6, – 2), инайтиеенаправляющиекосинусы.

27.Построить прямую, проходящую через точки A(2, – 1, 3) и B(2, 3, 3), и написать ее уравнения.

59

28.Составить уравнение прямой, проходящей через т. М(3, 2, –1) и пересекающей ось ОХ под прямым углом.

29. Написать параметрические уравнения прямой:

1)проходящей через точку (– 2, 1, – 1), параллельно вектору Pr{1; –2; 3};

2)проходящей через точки A(3, – 1, 4) и B(1, 1, 2).

30.Написать уравнения прямой, проходящей через точки (a, b, c):

1)параллельно оси 0z;

2)перпендикулярно к оси 0z.

31.Найти угол прямой x = 2z – 1, y = – 2z + 1 с прямой, проходящей через начало координат и через точку (1, – 1, – 1).

y = 1 – z.

34.Написать уравнения прямой, проходящей через точку (– 4, 3, 0), параллельно прямой x – 2y + z = 4, 2x + y – z = 0.

35.Написатьуравнениеперпендикуляра, опущенногоизточки(2, – 3, 4) наось0z. Указание: Искомая прямая проходит еще через точку (0, 0, 4).

36.Найти расстояние от точки M(2, – 1, 3) до прямой