Аналит. геометрия. Мазова Р.Е

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

10 16 −19 4 6

10 16 −19 4 6

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2015

Размер:

3.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

построенного на векторах ar, b , с , V = |±a b с |; «+» – при правой связке, «–» при левой связке. Высота параллелепипеда h (рис. 1.4). Объем пирами-

ды, построенной на векторах a ,				b , с :		V =\| ±1		( a b с )\|.
	r	r					6
Если векторы	r	r	заданы своими координатами, то
Если векторы	a , b	и с	заданы своими координатами, то
			rrr		ax	ay	az	.
					ax	ay	az
				=	bx	by	bz
			abc	=	bx	by	bz
					cx	cy	cz

Свойства смешанного произведения:

1. От перестановки двух любых сомножителей смешанное произведе-

ние меняет знак: (( a ×br ) сr) = – ((b ×a ) с) = – ( с (b ×a ));

2. При циклической перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется: (( ar×br ) сr) = ( ( cr×ar) b ) = ((b ×cr) ar);

3. Смешанное произведение обращается в нуль, если хотя бы один из векторов равен нулю;

4. Если любые два из трех данных векторов равны или коллиниарны,

то их смешанное произведение равно нулю;

5. Если векторы

= 0, при этом меж-

a ,

b ,

с компланарны, то a b

ду векторами a , b

и с

существует линейная зависимость вида с

=ma +nb .

1.5. Примеры решения задач

Пример 1.

+ 30

− 60 k

и его направ-

Найти длину вектора a = 20i

ляющие косинусы.

Решение:

a = 202 + 302 + 602 = 70,

cos α = 20

= 2 ,

cos β = 30

= 3 ,

cos γ = −60

= −

6 .

Пример 2. Найти модуль вектора

a и орт данного направления, где

a = i − 2 j − k + (6i −15 j + 3k) .

Решение:

+2 k , модуль вектора a будет

Находим

a =

7 i −

17 j

аr =

49 + 289 + 4 =

342.

7ir

−17 rj +

342

342 i −

342

j +

342 k.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов a =3i + 4 j + 7 k , b = 2i −5 j + 2 k .

Решение:

Находим (a,

)= 3 2 + 4(−5) + 7 2 = 0. Так как a,

= 0

a ≠ 0,

≠ 0 ,

то a

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов

(5a − 2b) , где

| a|=4, |b |=6. ( a^ b ) =2π/3.

Решение:

(2a −3b) (5a −2b) =10аr2 −19аrb +6b 2 =

2π

=10

−19

cos

Пример 5. Определить, при каком значении m

векторы 3 a + m

a – 2

будут взаимно

перпендикулярны, если

a = 7 2 ;

= 4;

( a

) = π 4 .

Решение:

Если два вектора взаимно перпендикулярны, то их скалярное произве-

дение равно нулю. Возьмем скалярное произведение векторов 3 a + m

a – 2

и, приравняв его нулю, найдем m:

(3 a + m

)( a – 2

) = 0;

3 a 2– 6 a b cos 4 + m a b cos

4 – 2 m b 2 = 0;

3 49 2 – 6 7 2

+ m 7

2 4

– 2 m 16 = 0;

294 – 168 + 28 m – 32 m = 0,

4 m =126, m =126 4 = 31,5.

Пример 6. Определить

угол

между

векторами

a = 2 i

+ j + 3 k

+ 6

− 7 k

= 4i

Решение:

)= a

Так как

cos ϕ , то cos ϕ =

. Имеем

(a b )

)=2 4 + 1 6 – 3 7 = –7;

a =

22 +12 + 32

14 ;

42 + 62 + (−7)2 = 101.

Следовательно,

	cos ϕ =				− 7		= −	7		,	ϕ =		π− arccos		7
	cos ϕ =				14	101	= −			,	ϕ =		π− arccos		1414	.
					14	101	1414								1414
Пример 7.				Найти		проекцию		вектора					a = −2i −5 j − 7k			на	вектор
(a − 2b) ,	где		b =i − j + k.
Решение:			2		с.										4	3	9 .
Пустьс			2		с.
Из формулы		скалярного произведения находим проекцию
Из формулы			2			2	2		5		2		7	2
					прсr ar =( arc)			=8+15+63 = 86 .
							с				106		106
Пример			8.		Даны	радиус-векторы						вершин		треугольника			ABC:
				,					,		^		2	. Показать, что тре-
угольник	равнобедренный. Найти угол (											).
угольник	2		3			3	2	3				).

Решение:

1. Выпишем координаты вершин треугольника: A(-1,2,-3); B(-3,2,3); C(1,2,1).

Найдем координаты векторов, составляющих треугольник:

2,0,6 ,			2,0,4 ,	4,0, 2 .
Так как длины сторон	AC	= BC =	20 =2 5	, то треугольник АВС рав-

нобедренный.

2.Из формулы скалярного произведения найдем угол между векторами

		cos ^ .	·	3 4 9		√	77	.
^		cos ^ .	\| \|·\| \|	√14 · √	22	77		.
		77
	= π – arccos	77 .

Пример 9. Доказать, что треугольник с вершинами А(0;0), В(3;1), С(1;7) прямоугольный.

Решение:

Покажем, что в треугольнике АВС один угол прямой. Найдем вектора

ВС и ВА:

ВС{−2;6}

ВА{−3;−1}

Используя					формулу					скалярного	произведения	векторов
(arb )= X	1	X	2	+Y Y + Z			Z	2	,	найдем (BC,BA) =−2(−3)+6(−1)=0 (рис. 1.5).
	1		2	1	2	1		2

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Значит угол В = 90°, следовательно, треугольник АВС прямоугольный.

Пример 10. Дан треугольник АВС: А(-2;1), В(4;8), С(10;6). Доказать, что треугольник тупоугольный.

Решение:

Покажем, что в треугольнике А(-2;1), В(4;8), С(10,6) один угол тупой. Найдем вектора: BC и BA :

ВА{6;−2}, ВС{−6;7}.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

( BA BC ) = x1 x2 + y1 y 2 = −6 6 + 7 (− 2 )= −36 − 14 = −50 .

Скалярное произведение двух векторов отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол, таким образом, АВС тупоугольный (рис. 1.6).

Пример 11. Найти векторное произведение векторов a = 2 i +3 j + 5 k и b =i + 2 j + k .

Решение:

i j k

a ×b = 2 3 5 = −7i + 3 j + k . 1 2 1

Пример 12. Найти орт направления [(a + b) ×b ], где a ={1;0;1} и

b ={1;2;-2}.

Решение:

Найдем вектор с через векторное произведение

1	0	1	0	1	1	1	1	0
1	2	2	2	2	1	2	1	2

	r02		2+1+22		.	5
	r02		2+1+22			5
	c	=			=		.		2
	c	=		3	=	3	.
				3		3
Пример 13. Найти вектор										, если
Решение:				и		0,2,1		.
1,		1,2				0,2,1

Перемножим векторно векторы, учитывая, что
[ ar×( ar+br) ]+[ar×( ar−2b ) ]=ar×ar+ar×b +ar×ar−2 ar×br=−0,[ ar×br]
−	3r	r		r	r	r		1	2	1	2	1	1
r
				1		1	2	2 1		0 1		0 2
−( −5i − j +3k ) =5i0+ j2−3k1.
Пример 14. Найти модуль векторного произведения векторов (2a −b) и
(a −2b) , где a = {1;0;-1}						b ={1, 2;-2}.
Решение:				2			с,	2
Пусть вектор						1,				, тогда:
с 1,	2,0 ,		1		2		4,3 ,	2	0	1	0	1	2
						0
6	3	6	.1		4	3		4	3	1	3	1	4
					[cr x d ]= 36 +9 +36 = 81 =9.

Пример 15. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

Решение:		и	, где		1,3,0	и		6,4,2	.
векторах		и	, где			и			.
Пусть	7	,	2	7	,		7	2	7	7
	7	7	2	7	2		7	2	7	7
12	+4 5	1 .	2	1	2		5	2	5	1
12		28

= √144 16 784 √944 4√59 (кв. ед.).

Пример 16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

векторах a = 6i

+3 j − 2 k и b =3i − 2 j +6 k.

Решение:

Находим векторное произведение a на

a ×

3 − 2

=14i

− 42 j − 21k .

− 2

Так как модуль векторного произведения двух

векторов равен площади постро-

енногонанихпараллелограмма, то S = a ×b =

142 + 422 + 212 = 49 (кв. ед.).

Пример 17. Найти площадь треугольника ABC с вершинами A (1, 2, 0), B (3, 0, –3) и C (5, 2, 6).

Решение:

Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма,

построенного на векторах

: S = 1

. Найдем координаты

векторов

={2;−2;−3};

={4;0;6}.

AС

Их векторное произведение

=4 (−3 i

).,

− 2 −3

− 6

+ 2 k

поэтому

−6

= 4 (−3)2 + (−6)2 + 22 = 28, и сле-

+ 2 k

= 4 −3i

довательно, S = 14 (кв. ед.).

Пример 18.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

векторах

6 a – 3

= 3 a + 2

, если a = 3;

= 5;

( a b )= π6 .

Решение: Вычислим векторное произведение векторов AB и AD

[(6 a – 3b )х(3 a + 2b )]=18( a ×a )–9 (b ×a ) +12 ( a ×b ) – 6 (b ×b ) = 21( a ×b ),

где a ×a =

= 0;

×a = −a ×

Итак, S =21 a ×

= 21 3 5 1 2 = 157,5 (кв. ед.)

Пример 19. Найти смешанное произведение векторов a = 2 i

− j −k ,

+3 j −k и c =i + j +4 k .

Решение:

r r r

−1

= 26 +5 + 2 = 33.

a b c

−1

Пример 20.

Показать, что векторы a = 2 i

− j +2k , b = i + 2 j −3k

− 4

+7 k

компланарны.

c = 3i

Решение:

r r r

−1

−3

= 2 2 +1 16 + 2 (−10) = 0.

a b c

− 4

Так как

c = 0 , то заданные векторы компланарны.

Пример

21. Найти

объем

треугольной пирамиды с вершинами

A (2, 2, 2), B (4, 3, 3), C (4, 5, 4)

и D (5, 5, 6).

Решение:

Найдем векторы

, совпадающие с ребрами пирамиды,

сходящимися в вершине A:

AB = 2 i + j +k , AC = 2i + 3 j +2 k , AD = 3i + 3 j +4 k .

Находим смешанное произведение этих векторов, используя координаты этих векторов

					2	1	1
(				) =	2	3	2	= 2 6 −1 2 −1 3 = 7.
	AB	AC	AD
					3	3	4

Так как объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построен-

ного на векторах AB, AC и AD , то Vпир = 76 (куб. ед.).

1.6.Задачи для самостоятельного решения

1.6.1.Задачи на тему «Векторы и действия над ними»

1.Вычислить модуль вектора a = {6; 3; –2}.

2.Даны координаты вектора x = 4, y = –12. Определить третью координату z при условии, что | ar| = 13.

3.ДаныточкиA(3, –1, 2) иB(–1, 2, 1). Найтикоординаты векторов AB и BA .

4.Дан модуль вектора | ar| = 2 и углы α = 45°, β= 60°, γ = 120°, которые составляет вектор с осями координат. Вычислить проекции вектора на координатные оси.

5. Вычислить направляющие косинусы вектора a {12; –15; –16}.

6.Определить координаты точки M, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.

7.Как должны быть связаны ненулевые векторы a и

АC br , чтобы имело место соотношение: а) | ar + b |=| ar −b |;

				б) ax / \| ar\|= bx / \| b \|.
				б) ax / \| ar\|= bx / \| b \|.
				8.	По сторонам OA и OB прямоугольника OACB отложе-
i				ны единичные векторы		i и j (рис. 1.7). Выразить через i
О		r	В	и j векторы OA, AC, CB, BO, OC иBA,			если \|OA\| = 4 и
О		j	В	\|OB\| = 3.
		Рис. 1.7		\|OB\| = 3.
		Рис. 1.7		9.	Построить вектор rr =OM =2i +3 j +6 kr,			определить
	его		длину	и	направление	(проверить	по	формуле
	cos2 α + cos2 β + cos2				γ =1).

10.Радиус-вектор точки M составляет с осью Ox угол 45° и с осью Oy угол 60°. Длина его r = | rr|= 6 . Определить координаты точки M, если ее координата z отрицательна, и выразить вектор OM = rr через орты i , j , k .

11.Даны точки A(1, 2, 3) и B(3, –4, 6). Построить вектор AB =ur, его проекции

на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы вектора ur с осями координат.

12.Построить параллелограмм на векторах OA = ir + rj иOB = k −3rj и определить его диагонали.

13.Даны три последовательные вершины параллелограмма A(1, –2, 3), B(3, 2, 1) и C(6, 4, 4). Найти его четвертую вершину D.

Указание. Из равенства AD = BC следует, что равны и их координаты: x – 1 = 6 – 3 и т.д.

14. На плоскости xOy построить векторы:

OA = ar = 2ir, OB =b =3ir + 3rj и OC = cr = 2ir + 6 rj .

Разложить геометрически и аналитически вектор с по векторам ar и b .

15.Установить, в каких случаях тройки векторов a ,b и сr будут линейно зависимы, и в том случае, когда это возможно, представить вектор с как линейную комбинацию векторов a и b :

1)ar={5; 2; 1}; br ={–1; 4; 2}; с ={–1; –1; 6};

2)ar={6; 4; 2}; br ={–9; 6; 3}; с ={–3; 6; 3};

3)ar={6; –18; 12}; br ={–8; 24; –16}; с ={8; 7; 3}.

16.Даны: | ar| = 13; |br | = 19 и | a +b | = 24. Вычислить | a –b |.

17.Проверить коллинеарность векторов a = {2; –1; 3} и b = {–6; 3; –9}. Установить, какой из них длиннее и во сколько раз, как они направлены - в одну или в противоположные стороны.

18.Определить, при каких значениях α

и β

векторы

a = –2i +3 j +βk

br = αi –6 j +2 kr

коллинеарны.

19.Проверить,

что четыре точки A (3,

–1,

2),

B (1,

2, –1),

C (–1,

–3),

D (3, –5, 3)

служат вершинами трапеции.

1.6.2. Задачи на тему «Скалярное произведение векторов»

Векторы

ar и

образуют угол 2π/3.

Зная, что | a | =

3; и | br |

вычислить:

;

3) ( a +b )2;

4) (3 a

–2b )( a

+2b );

5) (3 a

+2b )2;

6) ( a –b ) .

и b = i –2 j +2 kr.

Определить угол между векторами

a = –i + j

Определить углы

ABC с вершинами A(2; –1; 3), B(1; 1; 1) и C(0; 0; 5).

Даны векторы

ar= {4; –2; –4} и

b = {6; –3; 2}. Вычислить скалярное

произведение векторов 2 ar–3b и a +2b .

Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах ar = 2i + j и

br = –2 j + k .

Даны векторы

a = i + j +2 k и b = i – j +4 k . Определить прrar и прarb .

r b2

Раскрыть скобки в выражении (2 i – j )· j +( j –2 k )· k +(i –2 k ) .

8.				r	r	r		и n – единичные векторы с углом 120° ме-
8.	Дан вектор a				=2 m – n , где m			и n – единичные векторы с углом 120° ме-
						r r		r r
	жду ними. Найти cos(a, m) и cos (a, n) .
9.	Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы вектор
	r	r
	a	+ b был перпендикулярен вектору a –b .
10.	Даны		единичные			векторы		a , b и	с ,	удовлетворяющие условию
	r	r	r			r	·b +b · с + с · a .
	a	+b +с = 0. Вычислить a					·b +b · с + с · a .
11.	Дано:		\| ar\|	=	3; \|br	\| = 5.	Определить,		при	каком значении α векторы
	r		r	r	r
	( a +α·b ),			( a	–α·b ) будут взаимно перпендикулярны.
12.	Даны три вектора:					a ={1; −3; 4}, b ={3; − 4; 2} и c = {−1; 1; 4}. Вычислить

прb+c a.

1.6.3. Задачи на тему «Векторное произведение векторов»

1. Определить и построить вектор с = a ×b , если: 1) a = 3i , br = 2 k ; 2) ar = i + j , br = i – j ; 3) ar = 2i +3 j , b = 3 j +2 k . Найти в каждом случае

площадь параллелограмма, построенного на векторах a и br .

2.Вычислить площадь треугольника с вершинами A(7; 3; 4), B(1; 0; 6) и

C(4; 5; –2).

3.Построить параллелограмм на векторах a = 2 j + k , b r и вычис-= i +2 k

лить его площадь и высоту.

4. Раскрыть скобки и упростить выражения: 1) i ×( j + kr) – j ×(i + kr) + k ×(i + j + k ) ;

	r	r	r		r	r	+ с )×b + (b – с )×a ;
	2) ( a +b + с )×			с + ( a		+b	+ с )×b + (b – с )×a ;
	r	r	r	r		r	r
	3) (2 a	+b )×(с		– a ) + (b + с )×( a +b ) ;
	4) 2 i ( j хk ) +3 j ( i хk ) + 4 k ( i х j ) .
5.				r		r	+b ) = 2 a ×b , и выяснить геометрическое значе-
5.	Доказать, что ( a –b )×( a						+b ) = 2 a ×b , и выяснить геометрическое значе-
	ние этого тождества.						r
6.	Построить векторы				r		r
6.	Построить векторы				a	= 3 k –2 j , b = 3i –2 j , с = a ×b . Вычислить модуль
		r					r	r
	вектора с		и площадь треугольника, построенного на векторах a					и b .
7.	Построить треугольник с вершинами A(1; –2; 8), B(0; 0; 4) и C(6; 2; 0).
	Вычислить его площадь и высоту BD.
8.	Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на век-
			r– j и br		= i + j + k .
9.				r	+	r	× ( a + 2b ) = ( 3 a ×b ) .
9.	Доказать, что ( 2 a				+	b )	× ( a + 2b ) = ( 3 a ×b ) .

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.2015446.41 Кб84Алгоритмические языки и программирование.pdf
#
18.11.20191.75 Mб22АлгСтрДанных_Задания_Курсовые работы.docx
#
27.03.2015243.2 Кб50Алюминий-кальций 12%.doc
#
27.03.2015207.87 Кб33Алюминий-кальций 20%.doc
#
27.03.2015208.9 Кб47Алюминий-кальций 25%.doc
#
28.03.20153.21 Mб91Аналит. геометрия. Мазова Р.Е..pdf
#
27.03.201594.21 Кб75Анкета_1_Определение уровня удовлетворённости.doc
#
27.03.20157.78 Mб21Артем_диплом.doc
#
28.03.201536.84 Кб77АТТЕСТАЦИОННЫЙ ЛИСТ Овчинников.docx
#
11.03.2016147.8 Кб12АТТЕСТАЦИОННЫЙ ЛИСТ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ.docx
#
11.03.2016192.24 Кб32АТТЕСТАЦИОННЫЙ ЛИСТ ПО ПП.01.01.docx