Аналит. геометрия. Мазова Р.Е

2)x −3y −5 =0;

3)3x + 2y −1 =0 ;

4)x −3y + 2 = 0;

5)10x + 24y +15 =0.

60.Точка A(2; -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x − 2y −7 =0 . Вычислить площадь этого квадрата.

63.Доказать, что прямая 2x −3y + 6 =0 не пересекает отрезок, ограничен-

ный точками M1(-2; -3), M2(1; -2).

64.Даны вершины треугольника A(-10; -13), B(-2; 3) и C(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины B на медиану, проведенную из вершины C.

65.Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:

1)3x − 4y −10 =0 , 6x −8y +5 =0;

2)5x −12y + 26 =0 , 5x −12y −13 =0 ;

3)4x −3y +15 =0 , 8x −6y + 25 =0 ;

4)24x −10y +39 =0, 12x −5y − 26 =0 .

66.Доказать, что прямая 5x − 2y −1 =0 параллельна прямым 5x − 2y + 7 =0 , 5x − 2y −9 =0 и делит расстояние между ними пополам.

5x +12y + 29 =0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка M1(-3; 5) лежит на стороне этого квадрата.

69.Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек A(5; -1) и B(3; 7).

1)проходящей через точку A(3; -1);

2)проходящей через начало координат;

41

3)параллельной оси Ox;

4)параллельной оси Oy;

5)параллельной прямой 4x +3y +5 =0 ;

6)перпендикулярной прямой 2x +3y + 7 =0 .

71.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x − 2y +5 =0 , 4x +3y −1 =0 и отсекающей на оси ординат отрезок b = −3. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

72.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых 2x + y − 2 =0 , x −5y − 23 =0 и делит пополам отрезок, ог-

раниченный точками M1(5; -6) и M2(-1; -4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

75.Дано уравнение пучка прямых α(3x + y −1)+β(2x − y −9 = 0). Доказать, что прямая x +3y +13 =0 принадлежит этому пучку.

42

3. ПР ЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРО СТРАНСТВЕ

3.1. Уравнение плоскости

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоско-

крывая скобки и обозначая число ( − Ax0 − By0 − Cz0 ) буквой D, можно представить его в виде Ax + B y +Cz + D =0 .

Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости, при которых некоторые коэффициент ы обращаются в нуль.

3)C = D = 0 Ax + By =0 – плоскость проходит через ось Oz ;

4)B = C = 0 Ax + D = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz ;

43

где коэффициенты А, В и С взяты из общего уравнения плоскости. Расстояние от точки М1 до плоскости можно найти из нормального уравнения плоскости

d = x1 cos α + y1 cos β + z1 cos γ − p .

Или, используя запись общего уравнения плоскости, воспользоваться формулой

d = | Ax1 + By1 + Cz1 + D |

A2 +B2 +C 2 .

Уравнение плоскости в отрезках на осях: xa + by + cz =1,

где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат (рис. 3.3). Угол, образованный двумя плоскостями,

Условие перпендикулярности двух плоскостей

A1A2 + B1B2 + C1 C2 = 0 .

Уравнение пучка плоскостей, проходя щих через линию пересечения двух данных плоскостей α (A1 x + B1 y + C1 z + D1) + β (A2 x + B2 y + C2 z + D2) = 0.

44

Используя выражения для смешанного произведения в координатной форме, можно получить уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащих на одной прямой:

3.1.1. Примеры решения задач

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2, 3, 5) перпендикулярно вектору N = 4 i + 3 j + 2 k .

Решение:

Достаточно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору 4 (x – 2) + 3 (y – 3) + 2 (z – 5) = 0, т.е. 4 х+ 3 y + 2 z – 27 = 0.

Вектор N {2, –6, –3}, перпендикулярный данной плоскости, перпендикулярен и любой параллельной ей плоскости. Следовательно, искомая плоскость проходит через точку M0 (2, –3, –7) перпендикулярно вектору N {2, –6, – 3}. Находим уравнение плоскости 2 (x – 2) – 6 (y + 3) – 3 (z + 7) = 0, 2 x – 6 y –

3 z – 43 = 0.

Пример 3. Через точки M (3, –2, 1) и N (0, 3, 5) провести плоскость, которая отсекала бы на осях OX и OY равные положительные отрезки.

45

Откуда находим a = b = 12 , c = –1. Искомое уравнение плоскости бу-

дет 2х + 2у – z = 1

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (2, –3, 5) перпендикулярно линии пересечения плоскостей

2 x + y – 2 z + 1 = 0, x + y + z – 5 = 0.

Решение:

Перпендикулярные каждый своей плоскости векторы N1 {2, 1, –2} и N2 {1, 1, 1} перпендикулярны линии их пересечения и, следовательно, параллельны искомой плоскости. Таким образом, искомая плоскость проходит через точку M0 параллельно двум векторам N1 и N2 .

Пусть M (x, y, z) – произвольная точка плоскости, тогда векторы

_______

M 0 M {x – 2, y + 3, z – 5}, N1 {2, 1, –2} и N2 {1, 1, 1}

компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю:

Раскрывая определитель, получим искомое уравнение:3 x – 4 y + z – 23 = 0.

Пример 5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M1 (2, 3,

–1) и M2 (1, 5, 3) перпендикулярно плоскости

3 x – y + 3 z + 15 = 0.

Решение:

Вектор N {3, 1, –3}, перпендикулярный данной плоскости, будет, очевидно, параллелен искомой. Таким образом, искомая плоскость проходит через точки M1 и M2 параллельно вектору N . Надо только проверить, что век-

если из координат конца вычесть координаты начала: M1M 2 {–1, 2, 4}. По-

_______

скольку координаты векторов M1M 2 и N непропорциональны, эти векторы неколлинеарны.

_______

Пусть M (x, y, z) – произвольная точка плоскости, тогда векторы M1M ,

_______

M1M 2 и N компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю:

46

Вычисляя определитель, получим искомое уравнение

2 x + 3 y – z – 14 = 0.

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M1 (1, 2, 3), M2 (4, –1, –2), M3 (4, 0, 3).

Решение:

Пусть M (x, y, z) – произвольная точка плоскости, тогда векторы

Пример 7. Привестикнормальномувидууравнение3 x – 6 y + 2 z + 14 = 0.

Решение:

Находим нормирующий множитель (берем со знаком «минус», посколь-

ку D = 14 > 0):

Отсюда видно, что расстояние плоскости от начала координат p = 2. Пример 8. Определить расстояние от точки M0 (3, 5, –8) до плоскости

6 x – 3 y + 2 z – 28 = 0.

Решение:

Используя формулу расстояния от точки до плоскости, находим

47

плоскости отрицателен, то M0 и начало координат лежат по одну сторону от заданной плоскости.

Пример 9. Из т. P (2, 3, -5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Решение:

Проекции точки на координатные плоскости будут – M1 (2, 3, 0), M2 (2, 0, -5), M3 (0, 3, -5). Воспользуемся выражением для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки

Тогда уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, будет

Уравнение плоскости через точку M, перпендикулярную вектору N3 ,

запишется в виде

2 ( x − 3) + ( y + 1) − 2 ( z + 5) = 0, 2 x + y − 2 z − 15 = 0 .

48

3.1.2.Задачи для самостоятельного решения

1.Построить плоскости:

1)5x – 2y + 3z – 10 = 0; 2) 3x + 2y – z = 0; 3) 3x + 2z = 6; 4) 2z – 7 = 0.

2.Построить плоскость 2x + 3y + 6z – 12 = 0 и найти углы нормали к плоскости с осями координат.

3.Даны точки M1(0, – 1, 3) и M2 (1, 3, 5). Написать уравнение плоскости,

проходящей через точку M1 и перпендикулярной к вектору N = M1M 2 .

4.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2, 1, – 1) и имеет нормальный вектор N = {1; – 2; 3}.

5.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор N = {5; 0; – 3}.

6.Даны две точки M1(3, – 1, 2) и M2 (4, – 2, – 1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору M1M 2 .

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3, 4, – 5) па-

раллельно двум векторам a 1 = {3; 1 ; – 1} и a 2 = {1 ; – 2; 1}.

8.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2, – 1, 3) и M2(3, 1, 2) параллельно вектору a = {3; – 1; 4}.

9.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки:

M1(3, – 1, 2), M2 (4, – 1, – 1) и M3 (2, 0, 2).

10.Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:

1) 2x – 3y + 5z – 7 = 0, 2x – 3y + 5z + 3 = 0; 2) 4x + 2y – 4z + 5 = 0, 2x + y + 2z – 1 = 0; 3) x – 3z + 2 = 0, 2x – 6z – 7 = 0.

11. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

1) 3x – y – 2z – 5 = 0, x + 9y – 3z + 2 = 0; 2) 2x + 3y – z – 3 = 0, x – y – z + 5 = 0; 3) 2x – 5y + z = 0, x + 2z – 3 = 0.

12.Определить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x – 3y + 2z – 3 = 0.

13.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(3, – 2, – 7) параллельно плоскости 2x – 3z + 5 = 0.

14.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

49

18.Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1)через точку M1(2, – 3, 3) параллельно плоскости 0xy;

2)через точку M2 (1, – 2, 4) параллельно плоскости 0xz;

3)через точку M3 (– 5, 2, – 1) параллельно плоскости 0yz.

19.Составить уравнение плоскости, которая проходит:

4)через ось 0x и точку M1(4, – 1, 2);

5)через ось 0y и точку M2 (1, 4, – 3);

6)через ось 0z и точку M3 (3, – 4, 7).

20.Составить уравнение плоскости, которая проходит:

9)через точки Q1(3, – 2, 5) и Q2 (2, 3, 1) параллельно оси 0z.

21.Найтиточкипересеченияплоскости 2x – 3y – 4z – 24 = 0 сосямикоординат.

22.Дано уравнение плоскости x + 2y – 3z – 6 = 0. Написать для нее уравнение в отрезках.

23.Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3x – 4y – 24z+12 = 0 на координатных осях.

24. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость 5x – 6y + 3z + 120 = 0 от координатного угла 0xy.

25.Плоскость проходит через точку M1(6, – 10, 1) и отсекает на оси абсцисс (ось 0x) отрезок a = – 3 и на оси аппликат (0z) отрезок c = 2. Составить для этой плоскости уравнение в отрезках.

26.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2, – 3, – 4) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (каждый отрезок считать направленным из начала координат).

27.Составить уравнениеплоскости, которая проходит через точки M1(– 1, 4, – 1), M2(– 13, 2, – 10) и отсекает на осях абсцисс и аппликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

28.Вычислить величину отклонения δ и расстояние d точки от плоскости в каждом из следующих случаев:

50