Аналит. геометрия. Мазова Р.Е

x =R cos ϕ,

Рис. 6.13

cos

0 ≤t ≤2π.

Рис. 6.14

sin

Циклоида

y

2r

M

a

t

0 at

2πa

x

Рис. 6.15

Параметрическое уравнение циклоиды:

Если параметр t

меняется от 0 до 2π1,

– sin ,.

получается одна арка циклоиды. При

– cos

изменении t от

до

∞

получится кривая, состоящая из бесчисленных

множеств таких

кривых.

∞

1. |a| = 7; 2. z = ± 3;

3.

AB = {– 4; 3; –1}, BA = {4; –3; 1};

4.

x =

2 , y = 1,

z = –1; 5. cosα = 12 / 25, cosβ = – 3 / 5, cosγ = – 16 / 25;

6.

M1(

3 ,

3 ,

3 ),

M2(– 3 , – 3 , –

3 );

7.

a) a b ,

б)

a | |b ;

u

9.

r =

7,

cosrα = 2

/ 7;

10.

M(3 2 , 3, – 3),

r = 3(

2 i + j –

k );

11.

= 2 i

– 6 j + 3 k ,

|u| = 7;

12.

OC =

ir– 2 j

+

k ;

|

OC | =

6 ,

AB =

k – 4 j

– ir;

| AB |

= 3

2 ;

13.

D (4,

0, 6);

14.

C

= 2b –

2 a ;

15.

a)

линейно независимые,

б) cr

= ar / 2 + 2b

/ 3,

в)

линейно зависимые, но вектор cr неколлинеарен

векторам ar

и b ;

16.

| ar

– b | = 22;

17.

Вектор

b

длиннее вектора

a в

три раза; они направлены в противоположные стороны;

18. α = 4, β = – 1.

1.

a) – 6,

б) 9, в)

13,

г) – 61,

д)

73,

е)

37;

2.

135°; 3. B = C = 45°;

4.

– 200;

5. 90°;

6.

прr ar= 4

2 / 3;

7.

2;

8.

cos(a, m) = 5 / (2 7 );

| ar

b

cos(a, n) = – 2 / 7 ;

9.

| = |b |;

10.

– 3 / 2;

11.

α = ± 3 / 5.

1.

1) – 6 j , 2) – 2 k , 3) 6 i – 4 j + 6 k ; 2. 24,5; 3. 21 , h = 4,2 ;

4.

1) 2( k – ir), 2) 2 a ×cr, 3) ar×c , 4) 3; 5. Площадь параллелограмма, постро-

ного параллелограмма; 6. 3

17 , Sδ = 3

17 / 2; 7.

Sδ = 7

5 ,

BD = 2

21 / 3;

8.

| ar + b | = | ar – b | =

5 , S =

6 ;

10.

1,5;

11.

( ar b )

= 30;

12.

(20, 4, 28).

1.

V = 51,

левая; 2.

V = 14, H = 7 3 / 3; 4. c = 5 a + b ; 5. 24; 6. –7;

7.

11; 8.

D1(0, 8, 0),

D2(0, –7, 0).

1.

y = x + 3, y = – x + 3;

2. y = x 3 – 3, y = – x 3 – 3; 3. y

= – 1,5x;

5.

1) k = 2 / 3, b = – 2; 2) k = – 2 / 3, b = 0; 3) k = 0, b = – 3; 4) k = – 3

/ 4, b = 3;

7.

k = 1, b = 1, y = x + 1;

8. 1) x / 3 + y / (–2) = 1; 2) x / (– 4 / 3) + y / 2

= 1;

9.

y = 0, 4x – 3y = 0, y = 4, 4x – 3y + 12 = 0; 10. x / 2 – y / 3 = 1

или

– x / 4 + 2y / 3 = 1;

11. прox AB = 8, прoy AB = 6,

AB = 10;

12. A и C на пря-

мой, В – выше,

а D – ниже прямой;

15.

AB = 4

5 ,

прox AB

= 4,

прoy AB = 8; 16.

Точки M1, M3 и M4

лежат на данной прямой, точки

M2,

M5 и M6

не лежат на ней; 17. (6, 0), (0, –4);

18. (3, –5);

19. A(2, –1),

B(–1, 3),

C(2, 4);

20. (1, –3), (–2, 5), (5, –9), (8, –17); 21.

1) k = 5, b = 3;

b = 3; 22.

1) – 5 / 3, 2) 3 / 5;

23.

1) 2x + 3y – 7 = 0, 2) 3x – 2y – 4 = 0;

24.

3x + 2y = 0,

2x – 3y – 13 = 0;

25.

(2, 1),

(4, 2),

(–1, 7), (1, 8);

26.

(–2, –1);

27. Q(11, –11);

28.

1)

3x – 2y – 7

= 0, 2) 5x + 7y – 7 = 0,

3) 8x + 12y + 5 = 0, 4) 5x + 7y + 9 = 0, 5)

6x – 30y – 7

= 0; 29.

5x – 2y – 33 = 0,

x + 4y – 11 = 0,

7x + 6y + 33 = 0;

30. 7x – 2y – 12 = 0,

5x + y – 28 = 0,

2x – 3y – 18 = 0;

31. 4x + 3y – 11 = 0,

x + y + 2 = 0, 3x + 2y – 13 = 0;

32.

(3, 4);

33.

4x + y – 3 = 0;

34.

Уравнение стороны АВ : 2x + y – 8 = 0,

вершины А : x – 3 = 0; из вершины В :

x + y – 3 = 0; из вершины С : y = 0.

35. 2x –

5y + 3 = 0, 2x – 5y – 26 = 0,

7x – 3y – 33 = 0;

36.

5x + y – 3 = 0,

x – 5y –

11 = 0;

37. x + y – 8 = 0, 11x – y – 28 = 0;

38. (– 12, 5);

39. M1(10, – 5);

40. x – 5y + 3 = 0 или 5x + y – 11 = 0;

41.

4x + 3y + 1 = 0,

42.

Перпендикулярны

1), 3)

и

4);

43. 1) ϕ = 45°,

ϕ = 60°,

ϕ = 90°;

44.

3x + 7y – 5 = 0, 3x + 2y – 10 = 0, 9x + 11y + 5 = 0;

45. 1) (5, 6),

2) (3, 2),

3) (1 / 4, 1 / 3), 4) (2, – 1 / 11), 5) ( – 5 / 3, 2);

48.

1) при a ≠ 3;

2) при a = 3,

b ≠ 2; 3) при

a = 3,

b = 2;

49.

a = – 7;

50. 1) x / 3 + y / 2

= 1,

2) x / (– 6) + y / 8 = 1, 3) x / (9 / 2) + y / 3 = 1,

4) x / (2 / 3) + y / (– 2 / 5) = 1,

5) x / (1 / 5) + y / (1 / 2) = 1; 51.

6 кв.ед.; 52.

(

2 + 1)x + ( 2 – 1)y – 10 = 0,

( 2 – 1)x + (

2 + 1)y + 10 = 0,

x – y – 10 = 0;

53.

3x – 2y – 12

= 0,

3x – 8y + 24 = 0,

3x – 8y + 24 = 0;

54. (2, 0), (0, – 3) и (– 4, 0),

(0, 3 / 2);

55.

1),

4),

6)

и

8)

заданы

нормальными

уравнениями;

56.

1) 4x / 5

– 3y /

5 – 2

=

0,

2) –

4x

/ 5

+

3y /

5

–

10

= 0,

3) –12x / 13 + 5y / 13– 1 = 0,

4)

– x – 2 = 0,

5) 2x /

5 – y /

5 – 1

= 0;

57.

1) α = 0,

p = 2; 2) α = π, p = 2; 3) α = π / 2,

p = 3;

4) α = –π / 2, p = 3;

5)

α = π / 6, p = 3; 6) α = π / 4, p = 2 ; 7) α = – 2π / 3, p = 1; 8) α = – β,

p = q;

9)

α = β –π, p = q;

58. 1) δ = – 3,

d = 3; 2) δ = 1,

d = 1; 3) δ = – 4,

d = 4;

4)

δ = 0,

d = 0 – точка Q лежит на прямой;

59. 1)

по одну сторону;

2)

по разные

стороны;

3) по одну

сторону;

4) по одну сторону;

5)

по разные стороны; 60.

5 кв.ед.;

61.

6 кв.ед.;

64. 4; 65. 1) d = 2,5;

2)

d = 3;

3) d = 0,5; 4) d = 3,5; 67.

3x + 4y + 6 = 0, 3x + 4y – 14 = 0 или

3x + 4y + 6 = 0, 3x + 4y + 26 = 0; 68.

12x – 5y + 61 = 0, 12x – 5y + 22 = 0 или

12x – 5y + 61 = 0, 12x – 5y + 100 = 0;

69. 4x + y + 5 = 0, y – 3 = 0;

70. 1) 3x + 2y – 7 = 0; 2) 2x – y = 0; 3) y – 2 = 0; 4) x –

1 = 0; 5) 4x + 3y – 10 = 0;

6) 3x – 2y + 1 = 0; 71. 74x + 13y + 39 = 0; 72. x – y – 7

= 0; 73. 4x – 5y + 22 = 0;

9.

3x + 3y + z – 8 = 0; 10. 1) и 3) определяют параллельные плоскости;

11. 1) и 2) определяют

перпендикулярные

плоскости;

12. 4x – 3y + 2z = 0;

13.

2x – 3y – 27 = 0;

14.

7x – y – 5z = 0; 15.

x + 2z – 4 = 0;

16.

x = 1; y = – 2;

z = 2; 18.

1) z – 3 = 0; 2) y + 2 = 0; 3) x + 5 = 0; 19. 1) 2y + z = 0; 2) 3x + z = 0;

3)

4x + 3y = 0;

20.

1)

y + 4z + 10 = 0;

2)

x – z – 1 = 0;

3) 5z + y – 13 = 0;

21.

(12, 0, 0); (0, – 8, 0);

(0, 0, – 6); 22.

x / 6 + y / 3 + z / (– 2) = 0; 23. α = – 4;

b = 3; c = 1 / 2;

24.

240 кв.ед.;

25.

x / (– 3) + y / (– 4) – z / 2 = 1;

26.

x + y + z + 5 = 0;

27.

2x – 21y + 2z + 88 = 0; 2x – 3y – 2z + 12 = 0;

28.

1) δ = – 3,

d = 3;

2) δ = 1,

d = 1;

3) δ = 0,

d = 0;

4) δ = – 2, d = 2;

5)

δ = – 3,

d = 3; 29. d = 4;

32.

1)

d = 2;

2)

d = 3,5;

3) d = 6,5; ) d = 1;

5)

d = 0,5; 6)

d = 5 / 6; 33. (0, 7, 0) и (0, – 5, 0); 34. (0, 0, – 2) и

(0, 0, – 6

4

);

13

35.

(2, 0, 0)

и (11 / 43, 0, 0);

36.

3x – y = 0 и x + 3y = 0;

37.

2x + y + z = a;

38.

7x + 14y + 24 = 0.

3.2. Прямая в пространстве

1.

1)

x − 2

=

y

=

z + 3

; 2)

x − 2

=

y

=

z + 3

; 3)

x − 2

=

y

=

z + 3

;

2

−3

5

5

2

−1

1

0

0

4)

x − 2

=

y

=

z + 3

; 5)

x − 2

=

y

=

z + 3

;

2. 1)

x −1

=

y + 2

=

z −1

;

0

0

0

1

2

− 2

1

0

3

2)

x −3

=

y +1

=

z

;

3)

x

=

y + 2

=

z −3

;

4)

x +1

=

y − 2

=

z + 4

;

3

1

2

−1 3

0

− 2

0

0

3. 1) x = 2t + 1; y = – 3t – 1; z = 4t – 3; 2) x = 2t + 1; y = 4t – 1;

z = – 3;

3) x = 3t + 1; y = – 2t – 1; z = 5t – 3; 4. 1) x = t + 2; y = – 2t + 1; z = t + 1; 2) x = t + 3;

y = – t – 1;

z = t ;

3) x = 0;

y = t;

z = – 3t + 1; 5. (9, – 4, 0); (3; 0; – 2); (0, 2, – 3);

6.

x = 5t + 4; y = – 11t – 7; z = – 2;

7.

x −1

=

y − 2

=

z + 7

;

−3

−8

1

8.

x − 2

=

y −3

=

z + 5

;

9. 1)

x − 2

=

y +1

=

z

; 2)

x

=

y +1

=

z −1

;

2

− 4

−5

2

7

4

−5 12

13

3)

x −3

=

y − 2

=

z

;

10.

1)

x = t + 1; y = – 7t ;

z = – 19t – 3; 2)

x = – t + 1;

1

2

1

y = 3t + 2;

z = 5t – 1;

13. 60°;

14.

135°;

15.

cosϕ

= ± 4 / 21;

17. l = 3;

18.

x +1

=

y − 2

=

z + 3

;

19.

x + 4

=

y + 5

=

z −3

; 20.

x = 2t – 5; y = – 3t + 1;

−1

2

−3

6

3

2

z = – 4t ;

21. 1)

(5, 4, 0) и (7, 0, 2);

2) (0, – 4, 0) и (2, 0, 2);

22. 1) x = – z + 3;

y = – z + 5; 2)

x −3

=

y −5

=

z

;

23.

x − 4

=

y −3

=

z

;

24.

Pr{0; 0; 1};

1

1

−1

−1

1

1

25. 1)

Pr

=

ir;

2)

Pr

=

ir+

k ;

3)

P = j + k ;

26.

x +1

=

y − 2

=

z −3

;

3

4

−5

cosα =

0,3

2 ;

cosβ =

0,4

2 ;

cosγ =

– 0,5

2 ;

27.

x = 2;

z

= 3;

28.

x −3

=

y −2

=

z +1

; 29. 1) x = –2 + t ;

y = 1 – 2t ; z = – 1 + 3t ; 2) x = 1 +

−2

0

1

x − a

y −b

z − c

t; y = 1 – t ;

z = 2 + t ;

30.

1)

=

=

, что значит x = a;

y = b;

z

x − a

y −b

0

0

1

= c и

=

;

31. cosϕ = 1 /

3 ; 32. cosϕ = 11 / 26; 34. Направляющий

m

n

вектор

Pr

=

Nr ×N1 =

ir+

3 j +

5 k . Уравнение

прямой

x + 4

=

y −3

=

z

;

1

3

5

35. 3x + 2y = 0;

z = 4;

36.

0,3 38 ;

37. 4

2 / 3.

1.

sinθ = 1 /

6 ; 3. x + z + 1 = 0; 4.

x – 2y + z + 5 = 0;

5.

8x – 5y + z – 11 = 0;

6.

x + 2y – 2z = 1;

7.

x

=

y

=

z

;

17°33′;

8.

(5, 5, – 2);

9.

(6, 4, 5);

3

1

1

10.

(5, 5, 5);

11.

(3,

3,

3);

12. d = 1

/

3 ;

13.

x + 2y – 5z = 0;

14.

x − 2

=

y −1

=

z

;

15.

(1, 1, 2);

70°;

16. (– 1, 2, 2);

30°;

17.

(6, 2, 0);

− 9

8

11

x −1

y

z +1

18.

(3, – 1, 1); 19.

x – y – z = 0;

20.

(– 1, 3, 1); 21.

=

=

;

5

− 4

−1

22.

d = 6 /

5 ; 25. 1) (2, – 3, 6); 2) прямая, параллельная плоскости; 3) прямая

лежит на плоскости;

26.

x − 2

=

y + 4

=

z +1

;

27.

x − 2

=

y + 3

=

z + 5

;

2

5

3

6

−3

−5

28.

2x – 3y – 4z – 1 = 0;

29.

x + 2y + 3z = 0;

30.

A = 3,

D = – 23;

31.

A = – 3, B = 4

1

;

32.

l = – 6,

C = 3 / 2;

33. (3, –2, 4); 34.

Q(2, –3, 2);

Q(4, 1, –3);

2

37. Q(–5, 1, 0); 38. 6x – 20y – 11z + 1 = 0;

35.

36.

(1, 4, – 7);

39.

(2, – 3, – 5) 40. 13x – 14y + 11z + 51 = 0;

41.

x – 8y – 13z + 9 = 0;

42.

x −3

=

y + 2

=

z + 4

;

43. x = 8t – 3;

y = – 3t – 1; z = – 4t + 2;

44.

1) 13;

5

− 6

9

2)

3;

3)

7.

8) (x –

2)2 + (y – 4)2 = 10; 9

) (x – l)2 + y2 = 1; 10) (x –2)2

+ (y – 1)2 = 25. 2. (x – 3)2 +

+ (y + 1 )2 = 38. 3. (x – 5)2

+ (у + 2)2 = 20 и (x –

9

)2

+ (y –

22

)2

= 20. 4. M 1(–1; 5)

5

5

и М2(–2; –2). 5.

7x –4у

= 0. 6.

1)

x2

+

y2

=1; 2)

x2

+

y2

=1 ; 3)

x2

+

y2

=1;

25

25

169

144

4

9

4)

x2

+

y2

=1;

5)

x2

+

y2

=1;

6)

x2

+

y2

=1; 7)

x2

+ y2

=1; 8)

x2

+

y2

=1;

25

16

100

64

169

25

5

16

12

9)

x2

+

y2

=1 или

x2

+

y2

=1. 10)

x2

+

y2

=1;

7. 1) 4 и 3; 2) 2 и 1; 3 ) 5 и 1;

13

117

9

64

9

4

48

4)

15 и

3 ; 5)

5

и

5

6)

1

и

1

7) 1

и

1

8)

1 и 4 9)

1

и

1

10)

1

и 1.

2

3

3

5

2

5

3

3

8. 1) Половина эллипса

x2

+

y2

=1, расположенная в верхней полуплоскости

16

9

x2

y2

(рис. 8.1);

2) половина

эллипса

+

= 1,

расположенная в нижней полу-

9

25

плоскости (рис.

8.2,); 3) половина эллипса

x2

+

y2

=1, расположенная в ле-

4

9

вой полуплоскости (рис. 8.3); 4) половина эллипса

x2

+

y 2

=1, расположен-

4

9

Рис

. 8.1

Рис. 8.2