Аналит. геометрия. Мазова Р.Е

x2

+

y2

=1.

(5.4)

2

2

z2

z2

a

1 +

b

1 +

h2

h2

Рис. 5.3

Рис. 5.4

′

z 2

′

z 2

a

= a 1+ h2

и

b

= b

1+ h2 ,

причем a′ и b′ увеличиваются с увеличением | z |.

В сечениях, параллельных плоскостям yoz и xoz, будем иметь:

•

при y = h

x2

−

z2

=1 −

h2

,

a2

c2

b2

x2

−

z2

=1.

h2

2

2

1 −

h2

(5.5)

a 1−

b2

c

b2

a

′

= a

h2

и c

′

= c

h2

;

1 − b2

1 − b 2

•

при

y = 0

имеем гиперболу

x2

−

z2

= 1.

a2

c2

x2

+

y2

−

z

2

= −1.

(5.6)

a2

b2

c2

При

сечении

плоскостями

z = h ,

где

h = const ,

параллельными

плоскости

xoy,

и меем эллипс

x2

+

y2

=

h

2

− 1.

a2

b2

c

2

x2

+

y2

=1.

(5.7)

2

2

h2

h2

a

−1

b

−1

c2

c2

Рис. 5.5

Из (5.7) видно,

что

при h < c поверх-

′

h2

′

h2

a

= a c2

− 1

и b

= b c2

−1 .

x

2

z

2

y

2

Из

(5.6)

получаем

−

+

,

2

2

2

a

c

= − 1

b

разделив на 1 +

y2

, получим

b2

x2

−

z2

= −1

2

2

y2

y2

a

1 +

c

1−

b2

Рис. 5.6

b2

′

y2

′

y2

a

= a 1

+ b2

,

c

= c 1

+ b2 .

x2

+

y2

−

z2

= 0 .

(5.8)

a2

b2

c2

Рис. 5.7

Рис. 5.8

x

2

+

y2

=

h2

a2

b2

c2

x2

+

y2

=1

ah

2

a h

2

c

c

x2

+

y2

= 2z ,

(5.9)

p

q

2

y

2

2

y

2

z = 1

x

+

или

x

+

=1,

2

q

2 pz

2qz

p

Рассмотрим сечения данной поверхности

плоскостями, параллельными

координатным

плоскостям. При

z = h ,

h = const , имеем эллипсы

x2

+

y2

=1

(5.10)

2 ph

2qh

Рис. 5.9

Рис. 5.10

Из (5.10) видно, что поверхность существует h > 0 и при h = 0 в ырожда-

ется в точку. При сечении поверхности плоскостями,

параллельными xoy и

yoz, имеем параболу. При y = 0

z =

x2

, при увеличении y парабола смеща-

2 p

ется вверх по оси oz.

5.6 . Эллиптический цилиндр

x2

+

y2

=1.

(5.11)

a2

b2

Рис. 5.11

Рис. 5.12

x2

−

y2

=1.

(5.12)

a2

b2

Рис. 5.1 3

Рис. 5.14

В сечении

плоскостями, параллельными

xoy, имеем гиперболы

с действительно

й и мнимой полуосями a и b.

При сечении поверхности

Рис. 5.15

Рис. 5.16

M

дящая через нее ось ОР (полярная ось), а также указана

единица масштаба. Определим положение произволь-

r

ной т. М.

φ

p

Расстояние от О до М называется полярным ра-

диусом т. М. Угол между полярной осью и отрезком

Рис. 6.1

ОМ называется полярным углом т. М. Угол ϕ будем

брать в границах−π < ϕ≤ π. r = ОМ.

Тогда очевидно что т. М плоскости xOy соответствует пара чисел r и ϕ .

И обратно, пара чисел r

и ϕ соответствует единственной точке плоскости.

Полярный

радиус

и

полярный

угол –

это полярные координаты

M ( r ,ϕ) (рис. 6.1).

Пример. Построить т. А(2; 3 π)

в полярной системе координат (рис. 6.2).

4

Проведем через полюс ось под углом и от-

A

ложим отрезок ОА. Конец этого отрезка и будет

искомой точкой.

3

π

Дано: декартовая система координат и по-

4

лярная система координат. Полюс расположен в

o

P

начале

координат,

полярная

ось совпадает с

Рис. 6.2

осью ОХ. В декартовой системе – М(х,у). В по-

лярной системе M ( r ,ϕ) .

y

M

X =прx OM , Y =прy OM,

r

X =прx OM =r cos ϕ, Y =прy OM =r sin ϕ,

φ

поэтому

x =r cos ϕ,

y =r sin ϕ.

p

x

Чтобы

найти полярные

координаты, зная

Рис. 6.3

декартовы, нужно найти r и ϕ :

x2 + y2 =r 2 (cos 2ϕ+sin 2 ϕ) r =

x2 + y 2

; tg ϕ=

y

(рис. 6.3).

x

Найти полярные координаты этой точки.

3

π

3

r =

1 + 1= 2 ,

tg ϕ= −1 ϕ = 4 π

и

ϕ= − 4

нужно взять ϕ = 4 π

так как sin ϕ

в данном случае имеет отрицательное значение.

Таким образом, полярные координаты точки будут

r = 2 ,

ϕ =−

π .

4

Уравнение прямой в полярной системе координат

Положение прямой L будет определяться её

L

расстоянием p от полюса до прямой и углом α (α

M (r; φ)

– угол между полярной осью и осью L (l L).

l

Все точки данной прямой (и только они) будут

r

φ P

обладать свойством: проекция ОМ на ось l будет

равна p.

α

прl ОМ = p,

0

p

r cos(ϕ−α) = p – уравнение прямой (рис. 6.4).

Рис. 6.4

Уравнение окружности

Пусть

требуется

найти

уравнение

окружности, проходящей через полюс,

центр

r

M

которой лежит на полярной оси, а радиус

равен a.

O

a

φ

Возьмем

на

окружности произвольную

C

D

P

т. М и соединим её с т. О и т. D.

Координатами т. М будут угол φ и длина

r

отрезка ОМ.

Рис. 6.5

Окружность

–

геометрическое

место

точек (г.м.т.) вершин прямых углов, опирающихся на её диаметр.

Следовательно,

OMD – прямоугольный. Отсюда

r = 2αcosϕ – уравнение окружности (рис. 6.5).

Вид

уравнения зависит от выбора полюса и полярной оси. Если мы

выберем центр окружности в полюсе, то уравнение

окружности будет r = a

( 0 ≤ ϕ <2π).

Все возможные виды уравнений окружности в полярной системе коор-

динат представлены на рис. 6.6.

ϕ

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2

π

3

π

5

π

π

3

4

6

r

2а

1,85а

1,7 а

1,5а

1

0,5а

0,3а

0,1а

0

r = aekϕ

a,k − const, > 0

Таблица 6.2

π

ϕ

−π

− π

0

π

2

2

r

ae−kπ

−

kπ

а

kπ

aekπ

ae

2

ae 2

φ; – const,

0.

3π

3πa

2

2

2π

2πa

лепестковой розы в полярных координатах ρ

|sin2φ| (рис. 6.10).

Трехлепестковая роза

acos3φ

asin3φ

Рис. 6.11

Рис. 6.12