Аналит. геометрия. Мазова Р.Е

11.Дано: | ar| = 3; |b | = 26; | ar×b | = 72. Вычислить ( a b ) .

12.Даны векторы a = {3; –1; –2} и b = {1; 2; –1}. Найти координаты векторного произведения (2 ar–br )× (2 a + b ).

13.Дано: | a |=10 ; | b |= 2 ; (a b)=12 . Вычислить (a ×b).

14.Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы векторы a + b и a −b были коллинеарны?

1.6.4. Задачи на тему «Смешанное произведение векторов»

c = 2 j +5k и вычислить его объем. Правой или левой будет связка векто-

ров ( ar, br , сr)?

2.Построить пирамиду с вершинами и O(0; 0; 0), A(5; 2; 0), B(2; 5; 0) и C(1; 2; 4) и вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды,

7.Даны вершины тетраэдра: A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7), и D(–5; –4; 8).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

8.Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся в точках A(2; 1; –1), B(3; 0; 1) и C(2; –1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy.

21

2.ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

2.1.Аналитическое представление прямой на плоскости

Уравнение вида Ax + By +C = 0 называется общим уравнением прямой. Если из этого уравнения выразить y (B ≠0 ), то получим уравнение прямой

координат (рис. 2.1, а).

Уравнение y − y0 = k(x − x0 ) является уравнением прямой, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ), и имеет угловой коэффициент k .

Если прямая проходит через точки M1 (x1, y1 ) и M 2 (x2 , y2 ), то ее угловой

коэффициент определяется по формуле

k = y2 − y1 , x2 − x1

а уравнение прямой, проходящей через две точки, принимает вид

Если обе части общего уравнения прямой разделить на ( − C ≠0 ), то по-

лучим уравнение прямой в отрезках (рис. 2.1, б)

ax + by =1,

где a = −C / A ; b = −C / B . Это отрезки, которые прямая отсекает от соответствующих осей координат.

отсчитанный против часовой стрелки от прямой с угловым коэффициентом k1 до прямой с угловым коэффициентом k2 определяется формулой

22

tgϕ = k+2 − k1 .

1 k1k2

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k1 = k2 .

Условием перпендикулярности двух прямых является соотношение k2 = −1/ k1 .

Если в общем уравнении прямой Ax + By +C = 0 один или два из трех коэффициентов обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1) C = 0 ; уравнение имеет вид Ax + By =0 и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2)B = 0 ; уравнение имеет вид Ax + C = 0 и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ox ;

3)B = 0 ; C = 0 ; уравнение может быть записано в виде x = 0 и определяет ось ординат;

4)A = 0 ; уравнение имеет вид By +C =0 и определяет прямую, перпен-

нат на прямую, а β – угол наклона этого перпендикуляра к оси Ox (рис. 2.2).

23

Чтобы привести общее уравнение прямой Ax + By +C = 0 к нормальному ви-

ду, нужно умножить его на нормирующий множитель M = ±1/ A2 + B 2 , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена C .

Расстояние d от точки M(x0 , y0 ) до прямой (рис. 2.2) найдем, если в левую часть нормального уравнения прямой на место текущих координат подставим координаты (x0 , y0 ) и полученное число возьмем по абсолютной величине

d = x0 cosβ + y0 sin β − p

или

A1x + B1 y + C1 = ± A2 x + B2 y + C2 .

A12 + B12

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых, имеет вид

α(A1 x + B1 y +C1 )+β(A2 x + B2 y +C2 )= 0 .

2.2. Примеры решения задач

Пример 1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b = –3 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол α = π6.

Решение:

вобождаясь от знаменателя и перенося все члены в левую часть, получаем общее уравнение прямой x − 3y − 3 3 = 0.

Пример 2. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки a = 6; b = –4.

24

прямой).

Пример 3. Дано общее уравнение прямой 12 x – 5 y – 6 = 0.

Написать: 1) уравнение с угловым коэффициентом; 2) уравнение в отрезках; 3) нормальное уравнение.

Решение:

1. Разрешив уравнение относительно y, получаем уравнение прямой с

Умножив обе части общего уравнения на этот множитель, получаем нор-

оси ординат и отсекает на оси абсцисс отрезок, равный 2/5 (рис. 2.3).

4. Аналогично получаем уравнение y = –7/2. Эта прямая параллельна оси абсцисс.

25

параллельны.

Эту же задачу можно решить через угловые коэффициенты прямых. Приведем уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом. По-

Решение:

Из условия перпендикулярности прямых, заданных общим уравнением, имеем 3 10 +(−5) 6 =0 . Или, через угловые коэффициенты: приведем оба

пересекаются, и найти координаты точки пересечения.

26

A x + B y + C = 0, не пользуясь нормальным уравнением прямой.

Решение:

Задача сводится к определению расстояния между точками M (x0, y0) и N, где N – основание перпендикуляра, опущенного из точки M на данную прямую. Составим уравнение прямой MN.

Так как угловой коэффициент заданной прямой равен − АВ, то угловой коэффициент прямой MN из условия перпендикулярности равен B A и уравнение прямой MN имеет вид y – y0 = B A (x – x0). Это уравнение может быть переписано в виде B (x – x0) = A (y – y0 ).

Для определения координат точки N решим систему уравнений:

A x + B y + C = 0B(x − x0 ) = A( y − y0 ) .

27

тем подставим в левую часть уравнения прямой координаты точки, расстояние до которой мы ищем. Это выражение необходимо взять по модулю

Пример 12. Определить расстояние между параллельными прямыми

3 x + y – 3 10 = 0 и 6 x + 2 y + 5 10 = 0.

Решение:

Задача сводится к определению расстояния от произвольной точки одной прямой до другой прямой.

Полагая, например, в уравнении первой прямой x = 0, получаем y = 3 10 .

Таким образом, M (0, 3 10 ) – точка, лежащая на первой прямой. Определим расстояние точки M до второй прямой:

28

Пример 14. Найти общее уравнение прямой:

Решение:

31 2 3 .

Получим 3x + 2 y - 9 = 0

Пример 15. Найти координаты вершин треугольника, если стороны за-

даны уравнениями: x - 2y + 3 = 0; 2x - y – 3 = 0; x + y – 3 = 0;

Решение:

Пусть АВ – х – 2у + 3 = 0, АС – 2х – у – 3 = 0, ВС – х + у – 3 = 0. Найдем вер-

шинытреугольникаАВСкакточкипересечения сторонтреугольника(рис. 2.4).

Найдем координаты т. А:

Рис. 2.5

х = 3, y = 1. Имеем т. C(2;1).

Таким образом, координаты вершин треугольника: А (3;3); В(1;2); С(2;1). Пример 16. Даны вершины треугольника: М1 (1;2); М 2 (2;3); М3 (3;1). Написать уравнение высоты, опущенной из точки М1 на противо-

положную сторону.

Решение:

Проведем из точки М1 высоту к стороне М2М3 запишем уравнение стороныМ2М3

29

откуда имеем 2х + у - 7=0, у = - 2х+7 т.е. угловой коэффициент прямой k= -2. Тогда, угловой коэффициент перпендикулярной прямой (высоты М1N ) бу-

дет k1 = 12 .

Запишем уравнение высоты, как уравнение прямой, проходящей через одну точку: y-y1 =k(x-x1), где x1 и y1 – координаты точки М1. откуда имеем

у−2 = 12 (х−1), преобразовав, получимуравнениевысотых- 2у+ 3=0 (рис. 2.5).

Пример 17. Даны вершины треугольника M1M2M3: М1(-3;0), M2(2;5), M3(3;2). Найти периметр треугольника, вершинами которого служат середины сторон.

т. Е – середина М1М2, тогда координаты середины стороны будут:

EK= 2,5 . Тогдапериметртреугольникабудет P KFE = 12,5 + 10 + 2,5 (рис. 2.6).

Пример 18. Даны вершины треугольника М1 М2 М3 : М1(-3;0), М2(2;5), М3(3;2). Найти периметр треугольника, вершинами которого служат основания биссектрис, проведенных из вершин М1 М2 М3 к противоположным сторонам.

30