Физика (3 семестр) mobile

Связь между напряжённостью и потенциалом электростатического поля.

Поскольку напряжённость поля и его потенциал являются двумя характеристиками одного поля, то между ними существует однозначная связь, аналогичная связи между потенциальной энергией и силой, действующей на заряд в электростатическом поле.

Введём понятие градиента скалярной величины

Сместим все точки эквипотенциальной поверхности вдоль нормали на величину ,

скалярной функции :

Вдекартовой системе координат:

Градиент потенциала от координат есть вектор, направленный в сторону наискорейшего возрастания функции потенциала, его длина равна производной от потенциала в том же направлении.

Найдём связь потенциала и напряжённости: возьмём ось Х и две точки, бесконечно близкие друг к другу.

Если точки бесконечно близко, так, что , то работа при

перемещении единичного заряда из точки 1 в точку 2 равна:

Приравняем:

Если спроецировать вектор напряжённости на остальные оси, получим так же:

Объединим все выражения:

Какой знак выбрать в уравнении (3) устанавливаем из

физических соображений. Для конкретизации возьмём положительно заряженное тело:

Поскольку потенциал в бесконечно удалённых точках равен нулю, то при движений от точки 1 к точке 2 потенциал уменьшается.

Следовательно:

Напряжённость всегда направлена в сторону уменьшения потенциала.

Циркуляция и ротор электростатического поля.

Выше мы выяснили, что электростатическое поле является консервативным полем, для которого справедливо следующее выражение:

, то есть циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Возьмём произвольную поверхность , опирающуюся на замкнутый контур .

Тогда в математике существует теорема Стокса:

∫

Поскольку циркуляция равна нулю, то и левая часть равенства будет так же равна нулю:

Полученное условие должно выполняться для любой поверхности , опирающейся на замкнутый контур , но это возможно лишь в том случае, когда в каждой точке поля:

, где – (от rotor) вихрь, образованный замкнутыми силовыми линиями.

Таким образом, электростатическое поле – безвихревое.

Ротор вектора напряжённости можно вычислить как:

[ ]

В математике ротор вектора :

Циркуляция характеризует свойство поля усреднённо поверхности, охватываемой контуром . Чтобы получить характеристику свойств поля в точке, нужно уменьшить размеры контура, стягивая его в точку. При этом неограниченно уменьшается как циркуляция, так и площадь.

Величина предела зависит не только от свойств поля в точке наблюдения, но также и от ориентации контура в пространстве, которое задаёт направление положения нормали к

плоскости контура.

Для какого-то направления нормали величина произведение ротора вектора на вектор нормали будет наибольшей, следовательно, это будет направлением ротора вектора .

Граничные условия электростатики.

Рассмотрим границу раздела между двумя диэлектриками с проницаемостями

и.

Выберем на границе раздела воображаемый цилиндрическую

поверхность высоты . Одно основание цилиндра будет находиться в области , другое основание – в области .

Поскольку нас интересует поле вблизи границы раздела, то объём цилиндра выберем очень малым

. Для объёма , ограниченного выбранным цилиндром, запишем теорему Гаусса:

Так как площадь постоянна, то модуль вектора электрической индукции в любой точке этой площади тоже постоянен, следовательно, вычислим интеграл в конечном приращении:

Устремим высоту цилиндра к нулю, тогда:

[ ]

, и получаем:

, где – поверхностная плотность свободных зарядов.

Если на границе раздела двух сред нет свободных зарядов, то нормальная составляющая вектора электрической индукции непрерывна:

Также, если нет свободных зарядов, имеем:

Рассмотрим границу между двумя диэлектриками:

Выберем небольшой прямоугольный

При этом уравнение (6) может быть представлено в конечном приращении:

Устремляем ширину контура к нулю:

[ ]

, тогда имеем:

На грани раздела двух сред касательные составляющие векторов напряжённости электростатического поля непрерывны, тогда получаем:

Полученные граничные условия справедливы и для переменных полей.

Электростатическое поле в проводниках.

Поскольку мы рассматриваем электростатическое поле, то одним из условий является отсутствие токопроводимости, но в проводниках существуют свободные заряды, а

поэтому удельная проводимость проводника не равна нулю.

, где – удельная токопроводимость; (каппа) – диэлектрическая восприимчивость вещества.

Для того, чтобы удельная токопроводимость равнялась нулю, необходимо, чтобы внутри проводника напряжённость поля была равна нулю, т.к. диэлектрическая восприимчивость вещества всегда НЕ равна нулю.

Второе свойство: на границе раздела и должно выполняться граничное условие:

, но внутри проводника напряжённость поля равна нулю, следовательно, равна нулю и напряжённость , поэтому снаружи = 0, отсюда имеем, что линии напряжённоcти поля перпендикулярны поверхности проводника.

Третье свойство: рассмотрим две точки на проводнике,

, где – разность потенциалов.

Следовательно, поверхность проводника имеет постоянный потенциал, то есть, является эквипотенциальной поверхностью.

Используем условие для нормальных составляющих вектора электрической индукции:

, где – поверхностная плотность свободных зарядов.

Имеем однородное электростатическое поле:

Если во внешнее электростатическое поле внести нейтральный проводник, то свободные заряды проводника

будут перемещаться: положительные заряды – вдоль внешнего поля, отрицательные – против внешнего поля.

На одном конце проводника будет собираться отрицательный заряд и, вследствие этого, на этом конце накопится избыточный отрицательный заряд, на другом конце накопится избыточный положительный заряд, эти заряды – индуцированные.

Процесс будет происходить до тех пор, пока напряжённость поля внутри проводника не равна нулю, а линии напряжённости поля вне проводника не станут перпендикулярны поверхности проводника, таким образом нейтральный проводник разрывает линии напряжённости