Физика (3 семестр) mobile
.pdf
|
∫ |
|
∫ |
∫ |
|
, где угол между вектором электрической индукции и нормалью к поверхности нити равен 90 градусов, следовательно,
∫ |
∫ |
Так как |
, имеем: |
2. Найти поле сферы с радиусом , заряженной равномерно с поверхностной плотностью .
Исследуем области, в сферической системе отсчёта
имеем |
: |
|
Первая область при |
: |
Вторая область при |
: |
|
|
Описание свойств векторных полей.
В математике существует теорема Остроградского-
Гаусса. Согласно ей, поток любого вектора сквозь замкнутую поверхность равен:
∫
, где – дивергенция (из Википедии:
дифференциальный оператор, показывающий, насколько расходятся входящий и исходящий потоки в данной точке
векторного поля) вектора ; – объём, ограниченный поверхностью .
Рассмотрим поле вектора электрического смещения:
∫
, но:
|
∫ |
, тогда:
∫ |
∫ |
, после подведения имеем:
Тождественное равенство нулю возможно в случае:
Уравнение (5) – обобщение закона Кулона в дифференциальной форме (теорема Гаусса в дифференциальной форме).
В векторном анализе показано, что отношение какого-
либо вектора через замкнутую поверхность |
к величине |
||||
объёма , ограниченного , при |
|
|
(если предел) |
||
не зависит от формы поверхности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел отношения получил название дивергенции |
|||||
(расхождения), поскольку поток вектора и |
– скалярны, |
||||
то и дивергенция вектора – скаляр. |
|
|
|
Физический смысл понятия дивергенция: поток из точки или из бесконечно малого объёма. С помощью этого понятия можно исследовать пространство на наличие источников поля A.
Если , то в исследуемой точке находится источник поля.
Если |
|
, то в исследуемой точке имеется сток. |
Если , то в исследуемой точке пространства источников поля нет.
Как вычислить дивергенцию:
Дивергенция любого вектора вычисляется, как:
,где (набула) – оператор Гамильтона.
для декартовых координат:
Тогда:
( |
|
|
|
|
|
) ( |
|
) |
|
|
|
, при этом мы учли, что: |
|
|
|
|
|
Электростатическое |
поле. |
Электростатика рассматривает процессы, неизменные во времени:
, а также поля, создаваемые неподвижными зарядами. Если заряд неподвижен, то плотность токопроводимости равна нулю:
Потенциал электростатического поля:
Имеем неподвижный заряд , который создаёт в пространстве поле, напряжённость которого равна:
В этом поле перемещаем другой точечный заряд от положения 1 в положение 2. В каждой точке поля от заряда
со стороны поля на заряд |
действует сила: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа, совершённая силами поля при перемещении заряда выражается криволинейным интегралом:
∫ [ ] ∫
∫ |
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
Из формулы (3) видно, что работа не зависит от формы пути и определяется только начальным и конечным положением заряда (координатами).
Силовые поля, удовлетворяющие такому условию,
называются потенциальными, следовательно, электростатическое поле точечного заряда – потенциально.
В общем случае любую систему зарядов можно мысленно разделить на элементарные части, каждая из которых может рассматриваться как точечный заряд. В число таких зарядов входят и индукционные заряды на проводниках и диэлектриках, поэтому любое электростатическое поле, вне зависимости от того, создаётся оно в вакууме или диэлектрике, потенциально.
Пусть в электростатическом поле заряд переносится из точки 1 в точку 2 сначала по пути 1-3-2, затем по пути 1-4-2.
Следовательно при перемещении заряда по замкнутому пути работа поля равна нулю. Если перемещаем единичный заряд, то:
[ ]
Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряжённости по замкнутому контуру .
Это приводит к другому определению потенциального поля, эквивалентному данному выше: векторное поле вектора напряжённости называется потенциальным, если циркуляция вектора напряжённости по любому замкнутому контуру равна нулю.
Уравнение (4) – второе фундаментальное уравнение электростатики. Из этого уравнения следует, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми.
Работа сил консервативного поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии:
Сравнивая уравнения (5) и (3), получим выражение для потенциальной энергии заряда в поле заряда :
Константа в уравнении (6) выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность потенциальная энергия обращалась в ноль.
Пусть заряд - пробный. Тогда из уравнения (7) видно, что потенциальная энергия, которой обладал пробный заряд, зависит не только от величины пробного заряда, но и от величины заряда, создающего поле, и от расстояния между зарядами, следовательно, потенциальная энергия может быть использована для описания поля подобно тому, как была использована для этой цели сила, действующая на пробный заряд.
Разные пробные заряды будут обладать в одной точке поля разными потенциальными энергиями. Однако
отношение потенциальной энергии к величине пробного заряда будет для всех зарядов одинаковым. Такая величина является потенциалом поля в данной точке и является энергетической характеристикой электростатического поля:
Потенциал поля точечного заряда:
Если поле создано суперпозицией точечных зарядов, то потенциал поля равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из зарядов.
∑
Заряд , находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией:
Работа сил поля по перемещению из точки 1 в
точку 2 может быть выражена через разность потенциалов:
Если заряд из точки с потенциалом удалить на бесконечность, где потенциал равен нулю, то работа сил поля:
Таким образом, потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность. Такую же работу нужно совершить против сил электростатического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.